第二部分 运算——代数 第三章 有理数与实数 首都师范大学 王尚志

第三章 有理数与实数 有理数与实数教学中一些问题 1、在初中阶段，有理数重要？还是无理数重要？--理由 第三章 有理数与实数 有理数与实数教学中一些问题 1、在初中阶段，有理数重要？还是无理数重要？--理由 2、为什么学生学习负数运算经常出现错误？如何改进？ 3、为什么（--1） ×（--1）= 1 ？ 4、你会求“85开35次方的根”吗？如何教根号2？ 5、如何认识实数指数幂？ 6、历史上先由对数后有指数？教学上先定义指数再引入对数？为什么？ 7、从有理数拓展到实数关键思想是什么？ 8、结合高中数学需要用到哪些实数性质？

第三章 有理数与实数 有理数与实数的功能： 万物皆数——从自然数到有理数 从自然数到分数： 分数的意义 分数的表示：小数与分数 第三章 有理数与实数 有理数与实数的功能： 万物皆数——从自然数到有理数 从自然数到分数： 分数的意义 分数的表示：小数与分数 分数的性质——等价类、序性质 分数的运算 从自然数到负数： 负数的意义 负数的表示 负数的运算 整数的运算——群、环 有理数运算——域 有理数序性质

第三章 有理数与实数 有理数与实数的功能： 实数理论（1）：从有理数到实数 的不同方式 实数概念认识 实数运算 实数中几个问题—— 第三章 有理数与实数 有理数与实数的功能： 实数理论（1）：从有理数到实数 的不同方式 实数概念认识 ——从无限循环小数到无限不循环小数（序） ——有上界有理数集合等价类（序--确界定义） ——单调递增有理数列的等价类（序） ——戴德金分割的等价类（序） ——有理哥西数列的等价类（完备） ——无穷有界有理数集合的聚点（完备） 实数运算 实数中几个问题—— ——会计算85开34次方吗？如何教根号2？（教学） ——整数指数幂—分数指数幂---实数指数幂---指数函数---指数函数性质---对数函数 ——代数数与超越数 ——圆周率与自然对数

第三章 有理数与实数 有理数与实数的功能： 实数理论（2）：实数结构（代数、序、度量） 实数代数结构 实数序结构 实数度量（拓扑）结构 第三章 有理数与实数 有理数与实数的功能： 实数理论（2）：实数结构（代数、序、度量） 实数代数结构 ——实数运算 ——有理数域扩充 ——实数域 实数序结构 ——稠密性 ——界与确界（连续性） 实数度量（拓扑）结构 ——距离：反身性、对称性、三角不等式 ——极限与连续 ——实数是研究函数基础 实数基数性质 ——自然数、有理数、实数 ——连续统假设—哲学思考 实数性质一致性

第三章 有理数与实数——分数 万物皆数——从自然数到有理数 从自然数到分数： 分数与小数的意义 除的结果： 单位、 数量、 特殊单位：小数 第三章 有理数与实数——分数 万物皆数——从自然数到有理数 从自然数到分数： 分数与小数的意义 除的结果： 单位、 数量、 特殊单位：小数 商不变原则与分数基本性质（值的一致性）、 分数相对性与绝对性 百分数——相对性 量、数的比和比值： 相同量不同取值的比 不同量的比 正比例关系与反比例关系 模型：路程、速度与时间，总价、单价与数量等 分数的表示 每一个分数可以化为有限小数或无限循环小数 每一个有限小数或无限循环小数可以表述为分数，且后者可化为前者 每种表示的作用： 例如，用分数很容易说明有理数运算的封闭性的表示， 用无限循环小数证明运算封闭，就比较困难。

第三章 有理数与实数——分数 万物皆数——从自然数到有理数 从自然数到分数： 分数的性质 分数的运算 分数相等与不等 第三章 有理数与实数——分数 万物皆数——从自然数到有理数 从自然数到分数： 分数的性质 分数相等与不等 分数基本性质：分数与分数的值——等价分类 分数基本性质与商不变性 分数稠密性 分数有序性、无界性 分数的运算 分数加、减、乘、除运算的封闭性 小数加、减、乘、除运算的封闭性——有限小数与无限循环小数 分数（小数）加、减、除运算的关键统一单位 分数（小数）乘运算产生新的单位

第三章 有理数与实数——负数 从自然数到负数： 负数的意义 负数的表示 实际背景：具有相反意义的量 数学背景：减法运算的封闭性 第三章 有理数与实数——负数 从自然数到负数： 负数的意义 实际背景：具有相反意义的量 数学背景：减法运算的封闭性 负数的表示 代数意义：符号与数值 几何意义：方向与绝对值

第三章 有理数与实数——负数 从自然数到负数： 负数的运算 负数的表示 为什么（-1）×（-1）= 1 ？ 第三章 有理数与实数——负数 从自然数到负数： 负数的运算 为什么（-1）×（-1）= 1 ？ ——什么是规定的？什么是可以推证的？ 一个很好探究活动：梳理所有与负数有关的内容 哪些是关键环节？ 如何对待这些环节减少运算错误？ 反思如何提高运算能力？ 负数的表示 代数意义：符号与数值 几何意义：坐标轴上方向与绝对值

第三章 有理数与实数——负数 从自然数到负数： 整数的运算——群、环 有理数运算——域 有理数序性质 整数与加法运算——群与对称性 第三章 有理数与实数——负数 从自然数到负数： 整数的运算——群、环 整数与加法运算——群与对称性 整数与加、乘运算——环 具有两种运算的运算结构 ——经常使用的环结构 有理数运算——域 有理数加、减、乘、除运算——域 有理数域拓展 有理数序性质 有理数与线性序（全序） 稠密性 自同构

第三章 有理数与实数 有理数与实数的功能： 实数理论（1）：从有理数到实数 的不同方式 实数概念认识 第三章 有理数与实数 有理数与实数的功能： 实数理论（1）：从有理数到实数 的不同方式 实数概念认识 ——从无限循环小数到无限不循环小数（序） ——有上界有理数集合等价类（序--确界定义） ——单调递增有理数列的等价类（序） ——戴德金分割的等价类（序） ——有理哥西数列的等价类（完备） ——无穷有界有理数集合的聚点（完备） 与中小学数学联系： 从无限循环小数（分数）到无限不循环小数（序） 运算性质证明 序性质证明

第三章 有理数与实数 有理数与实数的功能： 实数理论（1）：从有理数到实数 的不同方式 实数运算 实数中几个问题—— 实数域 第三章 有理数与实数 有理数与实数的功能： 实数理论（1）：从有理数到实数 的不同方式 实数运算 实数域 实数中几个问题—— ——会计算85开34次方吗？如何教根号2？（教学） ——整数指数幂—分数指数幂---实数指数幂---指数函数---指数函数性质---对数函数 ——代数数与超越数 ——圆周率与自然对数

第三章 有理数与实数 有理数与实数的功能： 实数理论（2）：实数结构（代数、序、度量） 实数代数结构 实数序结构 ——实数运算 第三章 有理数与实数 有理数与实数的功能： 实数理论（2）：实数结构（代数、序、度量） 实数代数结构 ——实数运算 ——有理数域扩充 ——实数域 实数序结构 ——稠密性 ——界与确界（连续性）

第三章 有理数与实数 有理数与实数的功能： 实数理论（2）：实数结构（代数、序、度量） 实数度量（拓扑）结构 与中小学联系： 第三章 有理数与实数 有理数与实数的功能： 实数理论（2）：实数结构（代数、序、度量） 实数度量（拓扑）结构 ——距离：反身性、对称性、三角不等式 ——极限与连续 ——实数是研究函数基础： 函数极限、连续、界、确界 与中小学联系： 例如，绝对值与不等关系 认识基本初等函数定义： 幂函数、指（对）数函数、三角函数 认识函数性质：反函数存在性——严格单调连续函数存在反函数 单调性证明 连续函数的值域——最小值与最大值（无穷）

第三章 有理数与实数 有理数与实数的功能： 实数理论（2）：实数结构（代数、序、度量） 实数不同结构性质的相关性与一致性： 第三章 有理数与实数 有理数与实数的功能： 实数理论（2）：实数结构（代数、序、度量） 实数基数性质 ——自然数、有理数、实数 ——连续统假设—哲学思考 实数不同结构性质的相关性与一致性： ——相关性：例如，运算与顺序 ——一致性：例如，确界、极限、连续 与中小学数学联系： 讨论许多数学问题过程： 从自然数、到有理数，从有理数到实数 例如，运算律证明 函数概念建立：例如，自然数指数幂——正数指数幂——有理指数幂——实数指数幂

第三章 有理数与实数 有理数与实数教学中一些问题 1、在初中阶段，有理数重要？还是无理数重要？--理由 第三章 有理数与实数 有理数与实数教学中一些问题 1、在初中阶段，有理数重要？还是无理数重要？--理由 2、为什么学生学习负数运算经常出现错误？如何改进？ 3、为什么（--1） ×（--1）= 1 ？ 4、你会求“85开35次方的根”吗？如何教根号2？ 5、如何认识实数指数幂？ 6、历史上先由对数后有指数？教学上先定义指数再引入对数？为什么？ 7、从有理数拓展到实数关键思想是什么？ 8、结合高中数学需要用到哪些实数性质？

谢 谢！