第六章 条件异方差模型 EViews中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的条件均值模型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的——建立变量的条件方差或变量波动性模型。

　 §6.1 自回归条件异方差模型 自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。 ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle, R.)提出，并由博勒斯莱文(Bollerslev, T., 1986)发展成为GARCH (Generalized ARCH)——广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。

如果 ut 的均值为零，对 yt 取基于(t-1)时刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的关系： 6.1.1 ARCH模型 为了说得更具体，让我们回到k -变量回归模型： (6.1.1) 如果 ut 的均值为零，对 yt 取基于(t-1)时刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的关系： (6.1.2) 由于 yt 的均值近似等于式（6.1.1）的估计值，所以式（6.1.1）也称为均值方程。

（6.1.7） 然而，容易加以推广。 例如，一个ARCH (p)过程可以写为： （6.1.8） 由于(6.1.7)中 ut 的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程： （6.1.7） 然而，容易加以推广。 例如，一个ARCH (p)过程可以写为： （6.1.8）

如果扰动项方差中没有自相关，就会有 H0 ： 这时 从而得到扰动项方差的同方差性情形。 恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设： 其中，ût 表示从原始回归模型（6.1.1）估计得到的OLS残差。

6.1.2 GARCH(1, 1)模型 我们常常有理由认为 ut 的方差依赖于很多时刻之前的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。这里的问题在于，我们必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方程(6.1.8)不过是t2的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个t2的滞后值代替许多ut2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型(generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简记为GARCH模型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。

在标准化的GARCH(1,1)模型中： (6.1.11) (6.1.12) 其中：xt 是1×(k+1)维外生变量向量，γ 是(k+1)×1维系数向量。 (6.1.11)中给出的均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。由于t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差 ，所以它被称作条件方差，式(6.1.12)也被称作条件方差方程 。

2．用均值方程(6.1.11)的扰动项平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息： ut2-1（ARCH项）。 (6.1.12)中给出的条件方差方程是下面三项的函数： 1．常数项（均值）： 2．用均值方程(6.1.11)的扰动项平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息： ut2-1（ARCH项）。 3．上一期的预测方差：t2-1 （GARCH项）。 GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差t2-1的说明。

方差方程的回归因子 方程(6.1.12)可以扩展成包含外生的或前定回归因子z的方差方程： （6.1.17） 注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。可以引入到这样一些形式的回归算子，它们总是正的，从而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以要求：

这里，p是GARCH项的阶数，q是ARCH项的阶数。 高阶GARCH(p, q)模型 高阶GARCH模型可以通过选择大于1的 p 或 q 得到估计，记作GARCH(p, q)。其方差表示为： （6.1.18） 这里，p是GARCH项的阶数，q是ARCH项的阶数。

6.1.3 ARCH的检验 下面介绍检验一个模型的残差是否含有ARCH效应的两种方法：ARCH LM检验和残差平方相关图检验。 Engle在1982年提出检验残差序列中是否存在ARCH效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test），即ARCH LM检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小与最近的残差值有关。ARCH本身不能使标准的OLS估计无效，但是，忽略ARCH影响可能导致有效性降低。

ARCH LM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验原假设：残差中直到q阶都没有ARCH，运行如下回归： 式中 ût 是残差。这是一个对常数和直到 q 阶的滞后平方残差所作的回归。这个检验回归有两个统计量： （1）F 统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所作的一个省略变量检验； （2）TR2 统计量是Engle’s LM检验统计量，它是观测值个数 T 乘以回归检验的 R2 ；

2. 平方残差相关图 显示直到所定义的滞后阶数的平方残差ût2的自相关性和偏自相关性，计算出相应滞后阶数的Ljung-Box统计量。平方残差相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性（ARCH）。如果残差中不存在ARCH，在各阶滞后自相关和偏自相关应为0，且Q统计量应不显著。可适用于使用LS，TSLS，非线性LS估计方程。显示平方残差相关图和Q-统计量，选择View/Residual Tests/Correlogram Squared Residual，在打开的滞后定义对话框，定义计算相关图的滞后数。

例6.1 沪市股票价格指数波动的GARCH模型 为了检验股票价格指数的波动是否具有条件异方差性，本例选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作为样本序列，这是因为上海股票市场不仅开市早，市值高，对于各种冲击的反应较为敏感，因此，本例所分析的沪市股票价格波动具有一定代表性。在这个例子中，我们选择的样本序列{sp}是1998年1月3日至2001年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为了减少舍入误差，在估计时，对{sp}进行自然对数处理，即将序列{log(sp)}作为因变量进行估计。

首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结果如下： 由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程——随机游动（Random Walk）模型描述，所以本例进行估计的基本形式为： (6.1.25) 首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结果如下： (6.1.26) （15517） R2= 0.994 对数似然值 = 2871 AIC = -5.51 SC = -5.51

可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟和的程度也很好。但是需要检验这个方程的误差项是否存在条件异方差性，。

图6.1 股票价格指数方程回归残差 观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的“成群”现象：波动在一些较长的时间内非常小（例如2000年），在其他一些较长的时间内非常大（例如1999年），这说明残差序列存在高阶ARCH效应。

因此，对式(6.1.26)进行条件异方差的ARCH LM检验，得到了在滞后阶数p = 3时的ARCH LM检验结果： 此处的P值为0，拒绝原假设，说明式（6.1.26）的残差序列存在ARCH效应。还可以计算式（6.1.26）的残差平方的自相关（AC）和偏自相关（PAC）系数，结果如下：

ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差： 金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回归模型。在ARCH-M中我们把条件方差引进到均值方程中: （6.1.29） ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差： 或取对数

ARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险紧密相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指数的票面收益（returet）依赖于一个常数项，通货膨胀率t 以及条件方差(风险)： 这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为 GARCH-M模型。

在EViews中估计ARCH模型 估计GARCH和ARCH模型，首先选择Quick/Estimate Equation或Object/ New Object/ Equation，然后在Method的下拉菜单中选择ARCH，得到如下的对话框。

一、均值方程(Mean equation) 在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形式可以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果方程包含常数，可在列表中加入C。如果需要一个更复杂的均值方程，可以用公式的形式输入均值方程。 如果解释变量的表达式中含有ARCH—M项，就需要点击对话框右上方对应的按钮。EViews5.0中的ARCH-M的下拉框中，有4个选项： 1.选项None表示方程中不含有ARCH−M项； 2.选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差； 3.选项Variance则表示在方程中含有条件方差 2。 4.选项Log(Var)，表示在均值方程中加入条件方差的对数ln( 2)作为解释变量。

(1) 在下拉列表中选择所要估计的ARCH模型的类型。 (2) 在Variance栏中，可以列出包含在方差方程中的外生变量。 二、方差设定和分布设定 (Variance and distribution specification) EViews5的选择模型类型列表 (1) 在下拉列表中选择所要估计的ARCH模型的类型。 (2) 在Variance栏中，可以列出包含在方差方程中的外生变量。 (3) 可以选择ARCH项和GARCH项的阶数。 (4) 在Threshold编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的个数为0。 (5) Error组合框是设定误差的分布形式，缺省的形式为Normal（Gaussian）。

三、估计选项（Options） EViews为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只要点击Options按钮并按要求填写对话即可。

ARCH的估计结果 利用GARCH(1, 1)模型重新估计例6.1的式（6.1.25），结果如下：

注意如果在均值方程中不存在回归量，那么这些标准，例如R2也就没有意义了。 ARCH估计的结果可以分为两部分：上半部分提供了均值方程的标准结果；下半部分，即方差方程包括系数，标准误差，z-统计量和方差方程系数的P值。在方程(6.1.12)中ARCH的参数对应于，GARCH的参数对应于 。在表的底部是一组标准的回归统计量，使用的残差来自于均值方程。 注意如果在均值方程中不存在回归量，那么这些标准，例如R2也就没有意义了。

例6.1利用GARCH(1, 1)模型重新估计的方程如下： 均值方程： （23249） 方差方程： （5.27） （11.49） （33.38） R2=0.994 D.W.=1.94 对数似然值 = 3003 AIC = -5.76 SC = -5.74

方差方程中的ARCH项和GARCH项的系数都是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时AIC和SC值都变小了，这说明这个模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行条件异方差的ARCH—LM检验，相伴概率为P = 0.91，说明利用GARCH模型消除了原残差序列的异方差效应。ARCH和GARCH的系数之和等于0.982，小于1，满足参数约束条件。由于系数之和非常接近于1，表明一个条件方差所受的冲击是持久的，即它对所有的未来预测都有重要作用，这个结果在高频率的金融数据中经常可以看到。

例6.2 估计我国股票收益率的ARCH—M模型 选择的时间序列仍是1998年1月3日至2001年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数{sp}，股票的收益率是根据公式：re  ln(spt /spt-1) ，即股票价格收盘指数对数的差分计算出来的。 ARCH-M模型： re   + t + ut

估计出的结果写成方程: 均值方程: (-2.72) (3.00) 方差方程: (5.43) (12.49) (29.59) 对数似然值 = 3007 AIC = -5.77 SC = -5.74 在收益率方程中包括 t 的原因是为了在收益率的生成过程中融入风险测量，这是许多资产定价理论模型的基础 —— “均值方程假设” 的含义。在这个假设下， 应该是正数，结果  = 0.27，因此我们预期较大值的条件标准差与高收益率相联系。估计出的方程的所有系数都很显著。并且系数之和小于1，满足平稳条件。均值方程中t 的系数为0.27，表明当市场中的预期风险增加一个百分点时，就会导致收益率也相应的增加0.27个百分点。

ARCH模型的视图与过程 3. 协方差矩阵 4. 系数检验 一旦模型被估计出来，EViews会提供各种视图和过程进行推理和诊断检验。 1. Actual, Fitted, Residual 窗口列示了各种残差形式。 2. 条件SD图 显示了在样本中对每个观测值绘制向前一步的标准偏差t 。t 时期的观察值是由t-1期可得到的信息得出的预测值。 3. 协方差矩阵 4. 系数检验 5. 残差检验/相关图-Q-统计量

二、ARCH模型的过程 2．构造GARCH方差序列 1．构造残差序列 将残差以序列的名义保存在工作文件中，可以选择保存普通残差 ut 或标准残差 ut /t 。残差将被命名为RESID1，RESID2等等。可以点击序列窗口中的name按钮来重新命名序列残差。 2．构造GARCH方差序列 将条件方差t2以序列的名义保存在工作文件中。条件方差序列可以被命名为GARCH1，GARCH2等等。取平方根得到如View/Conditional SD Gragh所示的条件标准偏差。

3．预测 例3 假设我们估计出了如下的ARCH(1) (采用Marquardt方法)模型： (ARCH_CPI方程中加入CPI做解释变量 ，留下2001年10月—2001年12月的3个月做检验性数据)

使用估计的ARCH模型可以计算因变量的静态的和动态的预测值，和它的预测标准误差和条件方差。为了在工作文件中保存预测值，要在相应的对话栏中输入名字。如果选择了Do gragh选项EViews就会显示预测值图和两个标准偏差的带状图。

估计期间是1/03/1998- 9/28/2001，预测期间是10/02/2001 - 12/31/2001左图表示了由均值方程和SP的预测值的两个标准偏差带。

§6.2 非对称ARCH模型 在资本市场中，经常可以发现这样的现象：资产的向下运动通常伴随着比之程度更强的向上运动。为了解释这一现象，Engle和Ng（1993）绘制了好消息和坏消息的非对称信息曲线。 波动性 0 信息

本节将介绍3种能够描述这种非对称冲击的模型：TARCH模型、EGARCH模型和PARCH模型。 估计TARCH模型，EViews5要在Threshold选项中填“1” ，表明有1个非对称项，可以有多个。其他的选项与GARCH模型的选择相似。

6.2.1 TARCH模型 (6.2.1) 其中，dt-1是虚拟变量：当 ut < 0 时， dt-1=1；否则，dt -1=0 。 TARCH或者门限(Threshold)ARCH模型由Zakoian (1990) 和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)独立的引入。条件方差指定为： (6.2.1) 其中，dt-1是虚拟变量：当 ut < 0 时， dt-1=1；否则，dt -1=0 。 在这个模型中，好消息(ut >0)和坏消息(ut < 0)对条件方差有不同的影响：好消息有一个 的冲击；坏消息有一个对+ 的冲击。如果  0 ，则信息是非对称的，如果  > 0 ，我们说存在杠杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果  < 0 ，则非对称效应的作用是使得波动减小。

例6.3 货币政策对物价影响的非对称效应分析 由于货币政策及其它政策的实施力度以及时滞导致经济中出现了不同于货币政策开始实施阶段的条件因素，导致货币政策发生作用的环境发生了变化，此时，货币政策在产生一般的紧缩或者是扩张的政策效应基础上，还会产生一种特殊的效应，我们称之为“非对称”效应。表现在经济中，就是使得某些经济变量的波动加大或者变小。本例使用1991年第一季度至2003年第一季度的数据建立了通货膨胀率(t)的TARCH模型: 均值方程： 方差方程：

变量的选取: 采用居民消费物价指数（CPI，上年同期=100）减去100代表通货膨胀率t ，货币政策变量选用狭义货币供应量M1的增长率(M1Rt )、银行同业拆借利率（7天）(R7t )，使用银行同业拆借利率代替存款利率，是由于目前我国基本上是一个利率管制国家，中央银行对利率直接调控，因此名义存款利率不能够反映市场上货币供需的真实情况。全国银行间同业拆借市场于1996年1月成立，1996年7天以内的同业拆借的比重为28.78%，而2001年已上升为82.23%，。所以用同业拆借利率代表金融市场的市场化的利率。模型中解释变量还包括货币流通速度(Vt)（Vt = GDPt / M1t）、通货膨胀率的1期滞后(t-1)代表预期通货膨胀。

由TARCH模型的回归方程和方差方程得到的估计结果为： (-2.62) (25.53) (5.068) (-3.4) (1.64) (1.152) (0.94) (-3.08) (3.9) R 2 = 0.96 D.W.= 1.83 结果表中的(RESID<0)*ARCH(1)项是(6.2.1)式的  ，也称为TARCH项。在上式中， TARCH项的系数显著不为零，说明货币政策的变动对物价具有非对称效应。需要注意，方差方程中 = -0.399 ，即非对称项的系数是负的。这就说明，货币政策对于通货膨胀率的非对称影响是使得物价的波动越来越小。

观察残差图，还可以发现货币政策的非对称作用在不同阶段对通货膨胀率表现是不同的：在经济过热时期，如1992年～1994年期间，通过均值方程中货币政策变量的紧缩作用，导致了货币政策对通货膨胀的减速作用非常明显，但是由于通货膨胀率方程的残差非常大，由方差方程可知这一时期物价波动很大，但 ût  0 ，则 dt-1= 0，所以TARCH项不存在，即不存在非对称效应。1995年～1996年初 ût  0 ，则TARCH项存在，且其系数  是负值，于是非对称效应使得物价的波动迅速减小。当处于经济增长的下滑阶段，它的残差只在零上下波动，虽然出现负值比较多，但这一时期的货币政策非对称扩张作用非常小。

对于高阶TARCH模型的制定，EViews将其估计为： (6.2.2) 6.2.2 EGARCH模型 EGARCH或指数（Exponential）GARCH模型由纳尔什（Nelson，1991）提出。条件方差被指定为： (6.2.5) 等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的， 而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。 杠杆效 应的存在能够通过 < 0的假设得到检验。如果  0 ，则冲击 的影响存在着非对称性 。

均值方程： 方差方程： 例6.4 股票价格波动的TARCH模型和EGARCH模型 那么在我国的股票市场运行过程当中，是否也存在股票价格波动的非对称性呢？利用沪市的股票收盘价格指数数据，我们估计了股票价格波动的两种非对称模型，结果分别如下： ① TARCH模型： 均值方程： (19679) 方差方程： (5.55) (7.63) (5.31) (45.24) 对数似然值 =3009 AIC = -5.77 SC = -5.75

当出现“利好消息”时，即当 ût  0 时，有一个 杠杆效应项由结果中的RESID(-1)^2(RESID(-1)<0) 描述，它是显著为正的，所以存在非对称影响。在TARCH模型中，杠杆效应项的系数显著大于零，说明股票价格的波动具有“杠杆”效应：利空消息能比等量的利好消息产生更大的波动： 当出现“利好消息”时，即当 ût  0 时，有一个 的冲击； 而出现“利空消息”时，即当 ût  0 时，则会带来 的冲击。

② EGARCH模型： 均值方程： (19897.8) 方差方程： (-7.26) (9.69) (-5.64) (122.43) (-7.26) (9.69) (-5.64) (122.43) 对数似然值 =3020.3 AIC = -5.79 SC = -5.76

此例中 是负的并在统计上是显著的，这表明在样本期间沪市的股票收盘价格指数中存在杠杆效应。 这个例子中，利空消息能比等量的利好消息产生更大的波动的结果在EGARCH模型中也能够得到印证，在EGARCH模型中， ，其非对称项 的系数小于零， 。 当ût  0 时，有一个 倍的冲击； 当ût  0 时，有一个 倍冲击 。 此例中 是负的并在统计上是显著的，这表明在样本期间沪市的股票收盘价格指数中存在杠杆效应。

§6.3 成分ARCH模型(Component ARCH Model) GARCH (1,1) 模型将条件方差设定为： (6.3.1) 令 其中 是非条件方差或长期波动率， (6.3.1)变为： (6.3.2) 表示了均值趋近于 ，这个 在所有时期都为常数。

成分ARCH模型允许均值趋近于一个变动的水平qt： (6.3.3) (6.3.4) 此处t 仍然是波动率，而qt 代替了 ，它是随时间变化的长期变动。 (6.3.3)描述了暂时成分 t2 - qt ，它将随+ 的作用收敛到零。 (6.3.4)描述了长期成分qt 它将在  的作用下收敛到 。典型的  在0.99和1之间，所以qt 缓慢的接近 。

在暂时方程中还可以引入非对称影响，称为非对称的成分ARCH模型。它的条件方差方程的形式为： (6.3.6) (6.3.7) 其中 z 是外生变量，d 是虚拟变量，表示负的冲击，当 ut-1＜0时，dt = 1；否则，dt = 0。只要   0，冲击就会对变动率的短期波动产生非对称的影响； > 0 意味着条件方差中的暂时杠杆效应。需要注意，这种非对称效应只出现在短期波动中，对长期波动率的影响则主要体现在系数 的变化上。

在EViews中估计成分ARCH模型 选择Model下拉列表中的Component ARCH(1,1)，非对称成分ARCH模型还要对非对成项个数做选择。 我们在前面的例子中已经估计了沪市的股票收盘价格指数的GARCH模型，但是方差方程被假定为均值不变的，在引入了CGARCH模型后，重新进行估计，得到的结果为：

例 6.5 1. CGARCH模型：

均值方程： 方差方程： (21247) (4.675) (9.37) (0.74) (118.06) (3.91) (4.675) (9.37) (0.74) (118.06) (3.91) R2 = 0.994 对数似然值 = 3010 AIC = -5.77 SC = -5.74 在暂时成分方程中，+ 之和为0.8372，小于1，表示暂时成分 2- qt 将收敛于零；而长期波动率 qt 则通过  的作用，本例中 = 0.994，缓慢的收敛于均值0.0009。

2. 非对称的CGARCH模型：

前面已经证明了股价的波动具有非对称效应，“利空消息”产生的波动比等量的“利好消息”产生的波动大，利用非对称CGARCH模型，我们可以进一步印证这个结论： 均值方程： (50005) 方差方程： （3.28） （1.21） （9.83） (1.73) (123.96) 　　 (4.17) R2 = 0.994 对数似然值 = 3006 AIC = -5.76 SC = -5.73

方差方程的统计结果中的系数C(2)、C(3)、C(4)和C(5)的含义与对称的CARCH模型的含义相同，系数C(7)对应着对称CARCH模型中的系数C(6)，而这里的系数C(6)就是代表了暂时方程(6.3.7)中的非对称项的系数 。此处的估计值为0.046，意味着这种非对称效应的结果是使得长期波动率以更快的速度收敛到稳态。说明存在杠杆效应。由于哑变量 d 表示负冲击，所以这种杠杆效应就可以解释为负的冲击比正的冲击带来的波动大。需要注意的是，这种非对称效应只出现在暂时方程中，也就是说，出现的这种非对称效应只是暂时的，它对长期波动率 qt 的影响是：它使得长期方程中 的减小为0.988，这将会导致长期波动率 qt 以更快的速度收敛于稳态。