24.1.4圆周角

一. 复习引入: . 1.圆心角的定义: 顶点在圆心的角叫圆心角 2. 圆心角、弧、弦弦心距四个量之间关系是： 一. 复习引入: . O B C 1.圆心角的定义: 顶点在圆心的角叫圆心角 2. 圆心角、弧、弦弦心距四个量之间关系是： 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余三个量都分别相等。

B A C O 预习反馈 圆周角定义: 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角. ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. 特征：

不是 不是 是 不是 不是 判别下列各图形中的角是不是圆周角,并说明理由。 归纳：一个角是圆周角的条件： ①顶点在圆上；②两边都和圆相交. 图１ 图２ 图３ 不是 不是 图４ 图５ 归纳：一个角是圆周角的条件： ①顶点在圆上；②两边都和圆相交.

有没有圆周角？ ⌒ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？ ⌒ ⌒ 它们都对着同一条弧

下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC和圆周角∠A是对同一条弧？

. 问题情境 观察∠D、∠E、∠F位置有什么共同特征?猜想这三个角的大小有什么关系? 当球员在D、E、F处射门时,在哪个点最合适呢？ M N O E F

同弧所对的圆周角及圆心角的关系： 同一条弧所对的圆周角的度数相等，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的一半。 ∠ACB= ∠AOB 我发现了： 同弧所对的圆周角及圆心角的关系： 同一条弧所对的圆周角的度数相等，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的一半。 ∠ACB= ∠AOB 1 2 ∠ADB=∠ACB= ∠AOB 1 2 即：

合作探究 . （ 请同学们在练习本上画⊙O，并在⊙O中尽可能多地画AB所对的圆周角,并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系? （同桌交流） O

结 论: 圆周角与圆心的位置关系分三种情况： （1）圆心在圆周角的一边上； （2）圆心在圆周角的内部； （3）圆心在圆周角的外部

我们先来证第（1）种情况： 证明：∵ OB=OP ∴∠P=∠B ∵∠AOB是△OBP的外角 ∴∠P=1/2 ∠AOB

我们再来证明第（2）情况： 连结PO并延长交⊙于C 由（1）可知： ∠APC=1/2∠AOC ∠BPC=1/2 ∠BOC ∴ ∠APC+ ∠BPC =1/2（ ∠AOC+ ∠BOC） 即∠APB=1/2 ∠AOB C

最后我们来证明第（3）种情况： 连结PO并延长交⊙O于C 由（1）可知： ∠APC=1/2∠AOC ∠BPC=1/2 ∠BOC ∴ ∠BPC- ∠APC =1/2（ ∠BOC- ∠AOC ） 即∠APB=1/2 ∠AOB C

圆周角定理： . . 在等圆中，上面的结论还成立吗？ 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 B A O . C B′ A′ O′ . C′ 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 O B A D C ∠ADB=∠ACB= ∠AOB 1 2

. 解决问题 当球员在D、E、F处射门时,在哪个点最合适呢？为什么？ M N D O E F 从数学角度看,谁射门好,关键是比较射角的大小,角度越大,进球的机会越大。 N M . D O E F

当球员在A、B、C处时,谁射门最好呢？为什么？ 解决问题 当球员在A、B、C处时,谁射门最好呢？为什么？ M O N C A D E B

练习： 1、如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ ∠1=∠4 8 2 3 4 5 6 7 8 ∠1=∠4 ∠2=∠7 ∠3=∠6 ∠5=∠8

. . . 练习： x=120° 2.求圆中角 x 的度数。 x=35° A O X 120° A O X 120° D B A O x C 70° x C B x=35° x=120°

练习： 3、如图，等边△ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，∠BDC=____． 60° A C O B D

练习： 4.如图，圆心角∠AOB=100°， 则∠ACB=_______。 130° O A B C

5、如图，AB是⊙O的直径 = ， ∠A=30°，则∠BOD=_______。 练习： 5、如图，AB是⊙O的直径 = ， ∠A=30°，则∠BOD=_______。 60°

如图OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC. ∠ACB= ∠AOB 1 2 证明： A O B C ∠BAC= ∠BOC 2 1 ∠AOB=2∠BOC ∠ACB=2∠BAC 规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题, 要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然 后再灵活运用圆周角定理

小结与反思： . 1、圆周角的定义: 2、圆周角的定理： ∠ADB=∠ACB= ∠AOB 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. D 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 O B A D C ∠ADB=∠ACB= ∠AOB 1 2

谢谢莅临指导!

问题情境 如图,在足球比赛中,甲、乙、丙两名队员互相配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到A点时,乙已跟随冲到B点,从数学角度看,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好？ M O N 从数学角度看,甲、乙谁射门好,关键是比较射角的大小,角度越大,进球的机会越大。 C A B

3、如图，等边△ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，∠BDC=____． 2、如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°，则∠D=____，∠O=____． 60° 120° 3、如图，等边△ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，∠BDC=____． 60° A C O B D D O C A B

4、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________

5、如图，AB是⊙O的直径，若∠BCD=25°则∠AOD= ____ 130°

如图,在⊙O中,若AB = EF. 能否得到∠C =∠G呢？ (

中考链接（抚顺中考） 如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，且∠AOC=80°，点D在⊙O上（不与 B、C重合），则∠BDC的度数是_______. 50° 或 130°

6、如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且∠BCD=100°，求∠BOD（ 所对的圆心角）和∠BAD的大小。

拓展练习: 如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上的点。 （1）求证∠P＜ ∠AQB （2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有怎样的关系？为什么？

24.1.4圆周角(二)

你还记得吗？ 1、圆周角定义: 顶点在圆上, 并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交.

2.圆周角定理 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半. ∠ADB=∠ACB= ∠AOB 1 2

圆周角定理的推论： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 O B A D C 用于找相等的角 用于找相等的弧 圆周角定理的推论： 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 如图,在⊙O中,若AB = EF. 能否得到∠C =∠G呢？ (

课前热身 64º 100º 2、一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为_________。 1、100º的圆心角所对的圆周角等于_______。 2、一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为_________。 3、如图，在⊙O中，∠BAC=32º，则∠BOC=________。 4、如图，⊙O中，∠ACB = 130º，则∠AOB=______。 50º 36º或144º 64º 100º A O C B A O C B

探索活动一 如图，BC为⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？ 直径或半圆所对的圆周角是直角,

探索活动二 如图，圆周角∠A=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？ 900的圆周角所对的弦是直径。

圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。 用于判断某个圆周角是否是直角 用于判断某条线是否过圆心

例1.如图,AB为⊙O的直径,弦CD与AB相交于点E, ∠ACD=60°,∠ADC=50°.求∠CEB的度数。 解:连接BD E ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90° ∵∠ADC=50° ∴∠EDB=∠ADB－∠ADC=90°－50°=40° ∵∠ABD=∠ACD=60° ∴∠CEB=∠B+∠EDB=60°+40°=100°

概念学习 如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆. · D A O B C A B C E B O C A B D A B C F E D · O

探索活动三 圆内接四边形的性质定理： 圆的内接四边形的对角互补． 如图：圆内接四边形ABCD中， ∠A、∠C有怎样的数量关系？ ∵ 弧BCD和弧BAD所对的 圆心角的和是周角. A O ∴∠A＋∠C＝ 180° B 同理∠B＋∠D＝180° C 圆内接四边形的性质定理： 圆的内接四边形的对角互补．

探索活动四 圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． 如图：圆内接四边形ABCD中， ∠A、∠DCB有怎样的数量关系？ C O. D B A E 圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．

练习 ： 130º 50º 1、如图，四边形ABCD为⊙O的 内接四边形，已知∠BOD=100°, 则∠BAD= ,∠BCD= . 2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4, 则∠A=_____∠B=_____∠C=_____∠D=_______ 120º 60º 90º 90º 设A=2x,则C=4x. ∵A+C=180º, ∴x=30º. A B C D O E 3、如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠DCE=75º，则∠BOD=________. 150º

一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工湖的直径. D A B

已知：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, ⌒ ⌒ 求证： A B C D E BD=DE 证明：连结AD. ∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD， ∴ ⌒ ⌒ （同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。 BD= DE

如图,△ABC的顶点都在⊙O上,AD是△ABC 的高,AE是⊙O的直径,求证：∠BAD=∠CAE 证明： ∵AE是⊙O的直径 ∴∠ABE=90° ∵ AD是△ABC的高 ∴∠ADC=90° 又∵∠AEB=∠ACD ∴∠BAE=∠DAC ∴ ∠BAD=∠CAE

已知BC为半圆O的直径，AB=AF,AC交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？为什么？

2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？ 课堂小结 1、本节课我们学习了哪些知识？ 2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？ www.czsx.com.cn

⌒ 如图，P、A、B、C四点都在⊙O上，且∠APC=∠CPB=60°求证：△ABC是等边三角形 证明:∵∠ABC和∠APC ⌒ 都是AC所对的圆周角。 ∴∠ABC=∠APC=60° ⌒ 同理,∵∠BAC和∠CPB都是BC所对的圆周角， ∴∠BAC=∠CPB=60°。 ∴△ABC等边三角形。

例4: 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。 弓形所含的圆周角∠C=50°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区?

（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？ （2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？

例5 一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工湖的直径.

1.说出命题’圆的两条平行弦所夹的弧相等”的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗?请说明理由. 2.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分∠ABC,且AB∥CD.求证:AB=CD A B C D

如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是AC上任 ⌒ 意一点,延长AG,与DC的延长线相交于点F,连接 AD,GD,CG,找出图中所有和∠ADC相等的角,并说 明理由. A B D G F C E O

1如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO的中点,DE // AB,求证:EC=2EA.

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