1.4 离散时间系统与差分方程 y(n)= T[x(n)] 一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。 y(n)= T[x(n)] 对T[·]加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统”。 x (n) y(n) T[ . ] T[·]   离散时间系统

一、线性系统（满足叠加原理的系统） 1、定义： 线性系统对信号的处理可应用叠加定理 若一系统满足： T[ax1（n）+bx2（n）]=aT[x1（n）]+bT[x2（n）] =ay1（n）+by2（n） 则称该系统为线性系统 线性系统对信号的处理可应用叠加定理

2、举例说明 例: 设一系统的输入输出关系为 y[n]=x2[n] 试判断系统是否为线性？ 解：输入信号x [n]产生的输出信号T{x [n]}为 T{x [n]}=x2[n] 输入信号ax [n]产生的输出信号T{ax [n]}为 T{ax [n]}= a2x2[n] 除了a=0,1情况，T{ax [n]} aT{x [n]}。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。

二、时不变系统 系统的运算关系T［·］在整个运算过程中不随时间（也即不随序列的延迟）而变化，这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）。 这个性质可用以下关系表达：若输入x(n)的输出为y(n)， 则将输入序列移动任意位后， 其输出序列除了跟着移位外， 数值应该保持不变，即若 T［x(n)］=y(n) 则 T［x(n-m)］=y(n-m) （m为任意整数） 满足以上关系的系统就称为时不变系统。

三、 线性时不变系统 线性时不变系统——既满足迭加原理又具有时不变性的系统。线性时不变系统可以用单位脉冲响应来表示。 我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和 如令h（n）为系统对单位脉冲序列的响应， h（n）=T[δ（n）] 则系统对任一输入序列x（n）的响应为

由于系统是线性的，满足迭加定理 又由于系统是时不变的，对移位的单位脉冲的响应等于单位脉冲响应的移位。 因此： 注：只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来表示

该式表明：对任何线性时不变系统，可完全通过其单位脉冲响应h（n）来表示。这个公式和模拟系统的卷积是类似的，称为离散卷积，或线性卷积。 卷积过程： ①  对 h（ m）绕纵轴折叠，得h（-m）； ②  对 h（-m）移位得 h（n-m）； ③ 将 x(m)和 h(n-m)所有对应项相乘之后相加，得离散卷积结果 y（n）。

令m′=n-m，做变量代换，则卷积公式变为 因此，x(m)与h(n-m)的位置可对调。（即输入为x（n）、单位脉冲响应为h（n）的线性时不变系统与输入为h（n）、单位脉冲响应为x（n）的线性时不变系统具有同样的输出） 离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”，以区别其他种类的卷积。

四、系统的稳定性与因果性 线性和时不变两个约束条件定义了一类可用卷积和表示的系统。稳定性和因果性也是很重要的限制。 稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统。 当且仅当 (充要条件) 时，该线性时不变系统是稳定的。

因果系统的充要条件：h（n）≡0，n〈0（可从y（n）=x（n）*h（n）导出） 因果系统： 系统的输出y（n）只取决于当前以及过去的输入，即x（n）， x（n-1），x（n-2）……。 因果系统的充要条件：h（n）≡0，n〈0（可从y（n）=x（n）*h（n）导出） 非因果系统：如果系统的输出y（n）取决于x（n+1），x（n+2），…，即系统的输出取决于未来的输入，则是非因果系统，也即不现实的系统，（不可实现）

例： 分析单位脉冲响应为h（n）=anu（n）的线性时不变系统的因果性和稳定性。 既然，n〈时，h（n）=0，系统是因果的 如果 |a|<1, 则 如 |a|≥1 , 则s → ∞，级数发散。 故系统仅在|a|〈1时才是稳定的。

稳定的因果系统：既满足稳定性又满足因果性的系统。这种系统的单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可积的，即 这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的，这种系统是最主要的系统。

五．  差分方程——描述系统输入输出之间的运算关系 一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来表达。而对于离散时间系统，由于其变量n是离散整型变量，故只能用差分方程来反映其输入输出序列之间的运算关系。 其N阶线性常系数差分方程的一般形式： 其中 ai、bi都是常数。 离散系统差分方程表示法有两个主要用途： ① 由差分方程得到系统结构； ② 求解系统的瞬态响应；

例：用途一，由一阶差分方程画网络结构 y（n）=ay（n-1）+x（n） 由此得到它的网络结构如图 T a 网络结构

用途二 在给定输入和给定初始条件下，用递推的方法求系统瞬态解 例，一阶差分方程系统： 其输入为 解：①初始条件为 y（n）=0，n〈0 n=0以的前的输出已由初始条件给定，瞬态解从n=0求起，由差分方程、初始条件和输入，得： 依次递推 ┆ ， 稳定、因果系统

②输入相同，但初始条件改为 n〉0，y（n）=0 将上述差分方程 改写成 y（n-1）=2[ y（n）-1.5x（n）] 此时 y（0）=2[ y（1）-1.5x(1) ]=0 依此类推，得到 ② 非因果、不稳定系统 ①、②两式所表示的两个不同的单位脉冲响应，虽满足同一差分方程，但由于初始条件不同，它们代表不同的系统，也即用差分方程描述系统时，只有附加必要的制约条件，才能唯一地确定一个系统的输入和输出关系。

5 10 15 20 25 30 35 40 -1 -0.5 0.5 1 1.5 n 幅度 用MATLAB计算差分方程输出

1.5 系统的频率响应与系统函数 一、 定义 在上一节中曾讨论过用单位脉冲响应h(n)来表示一个线性时不变离散系统， 1.5 系统的频率响应与系统函数 一、     定义 在上一节中曾讨论过用单位脉冲响应h(n)来表示一个线性时不变离散系统， y（n）=x（n）*h（n） 两边取z变换 Y(z)=X(z)H(z)

则 定义为系统函数 1）它是单位脉冲响应的z变换。所以可以用单位脉冲响应的z变换来描述线性时不变离散系统。 2）单位圆上的系统函数就是系统的频率响应 可以证明，它是单位脉冲响应h(n)的DTFT。

稳定系统的H（z）必在单位圆上收敛，即 存在。 二、几种常用系统 因果系统： 单位脉冲响应 h（n）是因果序列的系统，其系统函数H(z)的收敛域包括∞点，即 Rx- <|Z|≤∞ 稳定系统： 单位脉冲响应h（n）满足绝对可和的系统即 稳定系统的H（z）必在单位圆上收敛，即 存在。

因果稳定系统： 即 1≤∣Z|≤∞ H（z）的全部极点必在单位圆以内。

线性时不变离散系统也可用差分方程表示，考虑N阶差分方程  三 、差分方程与系统函数 线性时不变离散系统也可用差分方程表示，考虑N阶差分方程 两边取z变换：

于是 上式也可用因子的形式来表示 式中{ci}、 {di}是H（z）在z平面上的零点和极点， A为比例常数。 整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。

用极点和零点表示系统函数的优点是，它提供了一种有效的求系统频率响应的几何方法。 一个 N 阶的系统函数可用它的零极点表示为 系统的频响为:

在z平面上,ejω-ci可用一根由零点ci指向单位圆上ejω点的向量 来表示，而ejω-di可用极点di指向ejω的向量 表示 于是 令 分析上式表明，频响的模函数由从各零、极点指向ejω点的向量幅度来确定，而频响的相位函数则由这些向量的幅角来确定，当频率ω由0~2π时，这些向量的终点沿单位圆反时针方向旋转一圈，由此可估算出整个系统的频响。

其基本原理是，当单位圆上的 ejω 点在极点 d i附近时，分母向量最短，出现极小值，频响在这附近可能出现峰值，且极点 di 越靠近单位圆，极小值越小，频响出现的峰值越尖锐，当 di 处在单位圆上时，极小值为零，相应的频响将出现∞，这相当于在该频率处出现无耗（Q=∞）谐振，当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态。对于现实系统，这是不希望的。 对于零点位置，频响将正好相反，ejω点越接近某零点 ci ，频响越低，因此在零点附近，频响出现谷点，零点越接近单位圆，谷点越接近零，零点处于单位圆上时，谷点为零，即在零点所在频率上出现传输零点，零点可以位于单位圆以外，不受稳定性约束。 这种几何方法为我们认识零、极点分布对系统性能的影响提供了一个直观的概念，这一概念对系统的分析和设计都十分重要。

例:已知系统函数 求系统的频率响应特性. 解:由已知的系统函数,可得系统的单位脉冲响应为: 且系统的函数的零极点图和幅度特性分别如下页图所示

Im[z] * x Re[z] a

例 有限长单位脉冲响应 0<a<1 求其频率响应特性。 解： 如果a为正实数，H（z）的零点为 这些零点分布在|z|=a的圆周上，对圆周进行M等分，它的第一个零点k=0，恰好与分母上的极点（z-a）抵消，因此，整个函数H（z）共有 下 图给出M=8，0〈a〈1时的系统特性，幅频的峰值出现在ω=0，因为该处无零点（被极点对消），每一零点附近的频率响应均有陷落，呈现出M次起伏，当M无限增大时，波纹趋于平滑，系统函数趋于书上一阶系统的结果。

上例中的单位脉冲响应是一个有限长序列，这种系统称为“有限长单位脉冲响应系统”，简写为FIR系统。相应地，当单位脉冲响应长度无限时，则称为“无限长单位脉冲响应系统”， 简写为IIR系统。 系统函数的一般成可改写为（b0=1） 我们知道有限度序列的z变换在整个有限z平面（|z|>0）上收敛，因此对于FIR系统，H（z）在有限z平面上不能有极点。如分子、分母无公共可约因子，则H（z）分母中全部系数bi（i=1，2，…，N）必须为零，故 只要bi中有一个系数不为零，在有限z平面上就会有极点，这就属于IIR系统。 bi不为零就说明需要将延时的输出序列y(n-i)反馈回来，所以，IIR系统的结构中都带有反馈回路。这种带有反馈回路的结构称为“递归型”结构，IIR系统只能采用“递归型”结构，而FIR系统一般采用非“递归型”结构。但是，采用极、零点抵消的方法，FIR系统也可采用“递归型”结构。 IIR、FIR构成数字滤波器的两大类。

小 结： 理想采样信号及其频谱特点、采样定理 Z变换定义、 Z变换收敛域、 Z变换性质 逆Z变换、常用序列Z变换 因果稳定系统 线性时不变系统输入、输出的关系 系统函数、系统频响及其几何确定方法