In-depth frequency-response analysis 第一章 线性系统频域分析的深化 In-depth frequency-response analysis

本章知识点 频率特性的基本概念(复习) 系统频率特性的极坐标图表示方法 奈奎斯特稳定理论 最小相位与非最小相位系统及其区别 系统的稳定裕量的再讨论 系统的闭环频率特性

第一章 线性系统的频域分析 1.1 频率特性的基本概念(复习) 1.2 极坐标图的绘制 1.3 奈奎斯特稳定理论 第一章 线性系统的频域分析 1.1 频率特性的基本概念(复习) 1.2 极坐标图的绘制 1.3 奈奎斯特稳定理论 1.4 系统稳定裕量的再讨论 1.5 系统的闭环频率特性 1.6 本章小结

1.1 频率特性的基本概念(复习) 系统或对象 １．频率特性的定义 为系统的幅频特性,它反映系统在不同频 系统对正弦输入信号的稳态响应。讨论线性定常系统(包括开环、闭环系统)在正弦输入信号作用下的稳态输出。 系统或对象 为系统的幅频特性,它反映系统在不同频 率正弦信号作用下,输出稳态幅值与输入稳态幅值的比值。 称 为系统的相频特性,它反映系统在不同频率正弦信号 作用下，输出信号相对输入信号的相移。 称

1.1 频率特性的基本概念(复习) 是系统的幅频特性。 定义频率特性的数学描述形式为： 其中： 是系统的相频特性。 频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。 输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化

1.1 频率特性的基本概念(复习) 几点说明： （１）幅频特性反映系统对不同频率正弦信号的稳态衰减（或放大）特性． （２）相频特性表示系统在不同频率正弦信号下输出的相位移． （３）已知系统的传递函数，令　　　　，可得系统的频率特性。 （４）频率特性包含了系统的全部动态结构参数，反映了系统的内在性质．

1.1 频率特性的基本概念(复习) ２．获取系统频率特性的途径 1) 解析法 2) 实验法 在系统的输入端输入一正弦信号 ，测出不同频率时系统稳态输出的振幅Y和相移φ，便可得到它的幅频特性 和相频特性 。

1.1 频率特性的基本概念(复习) 3. (半)对数坐标图(Bode图) 对数相频特性的纵轴是线性分度: 对数相频特性的纵轴是线性分度： 半对数坐标系

1.1 频率特性的基本概念(复习) 幅值误差与 关系 二阶震荡环节的频率特性是 对数幅频特性为 当 时，二阶震荡系统的准确的对数幅频特性： 幅值误差与 关系 二阶震荡环节的频率特性是 对数幅频特性为 时，二阶震荡系统的近似折线的对数幅频特性： 由此得幅值误差与 关系

1.1 频率特性的基本概念(复习) 绘制系统开环频率特性伯德图的步骤 1）将开环传递函数写成典型环节乘积形式； 2）如存在交接频率，在ω轴上标出交接频率的坐标位置； 3）各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开环对数幅频特性的渐近线； 4）修正误差，画出比较精确的对数幅频特性； 5）画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特性; 思考题：1、互为倒数的传递函数的BODE图有什么关系？ 2、最小相位环节和对应的非最小相位环节的BODE图有什么关系？

系统开环频率特性的绘制 例1-1 已知系统的开环传递函数为: 解： 1）由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应 的频率特性是 幅频特性和相频特性分别为

5）画出各串联环节相频特性，相加得到系统开环相频特性; 相频特性的绘制 1、比例环节 2、惯性环节 3、震荡环节 4、各环节叠加 幅频特性的绘制 1、比例环节 2、惯性环节 3、震荡环节 4、各环节叠加 2）存在交接频率 ，在ω轴上标出； 3）各环节的对数幅频特性叠加； 4）修正误差； 5）画出各串联环节相频特性，相加得到系统开环相频特性; dB φ(ω) ω 20 40 -45º -90º -180º -225º 20lgK -40dB/dec -60dB/dec -20dB/dec

1）由Bode图判断系统的稳定性 最小相位系统的Bode图的应用 剪切频率 —对应于　　　　　　　 的频率，记为 相角裕量 —在剪切频率　 处，使系统达到临界稳定状态所 要附加的相角迟后量．为使系统稳定，相角裕量必须为正值． 增益裕度　　—在相角特性　　 等于　　 　的频率 处 的一个数值，

稳定的系统，如果 。

2）由Bode图计算参数 已知某系统的开环传递函数为： 例1-2 (1)绘制折线Bode图；(2)求ωc、γ、GM、ωg；(3)判定稳定性。 解 (1)绘制Bode图 dB φ(ω) ω 20 40 -45º -90º 20lg10 -20dB/dec -60dB/dec

(2)求ωc、γ、GM、ωg； (3)判定系统的稳定性 因为系统是最小相位的，并且 系统稳定

3）稳态误差的分析—— 系统类型和系统的开环放大倍数 系统类型与对数幅值之间的关系 考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。 当 趋近于零时，回路增益越高，静态误差值就越小。 系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。

为0，其与纵轴的交点是20lgK，可以利用此值确定K。 假设系统的开环传递函数为 dB φ(ω) ω 20 40 -45º -90º -20dB/dec -60dB/dec ω1 ω2 20lgK 静态位置误差常数的确定 当γ=0时， 由于此时最低频段的幅频特性斜率 为0，其与纵轴的交点是20lgK，可以利用此值确定K。

kv 静态速度误差常数的确定 的起始线段/或其延长线与 的直线的交点具有的幅值为 定理1：斜率为 定理2：斜率为 的起始线段/或其延长线与 dB φ(ω) ω 20 40 -45º -90º -20dB/dec -60dB/dec (1,20lgk) ω=1 kv 的起始线段/或其延长线与 轴的交点为 。

静态加速度误差常数的确定 的直线 的交点具有 的起始线段/或其延长线与 定理3：斜率为 的幅值为 的起始线段/或其延长线与 轴的交点为 。 定理4：斜率为

4)由Bode图求GK(S) 这里只要求对最小相位系统会从Bode图求得GK(S)。 ①根据最低频段的斜率确定系统的类型γ。 0型系统：最低频段的幅频特性与纵轴的焦点是20lgK。 Ⅰ型系统：最低频段的幅频特性过 ， 最低频段的幅频特性在 通过横轴。 Ⅱ型系统：最低频段的幅频特性过 ， 最低频段的幅频特性在 通过横轴。 ③根据转折频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。

下图是一最小相位系统的Bode图，试写出其传递函数。 ④根据二阶环节的修正情况确定ξ。 例1-3 下图是一最小相位系统的Bode图，试写出其传递函数。 dB φ(ω) ω 20 40 -45º -90º -180º -20dB/dec -60dB/dec 0.5 5 25

2、根据最低频段的参数求系统的开环放大系数K。 解 1、系统的类型γ=0。 2、根据最低频段的参数求系统的开环放大系数K。 因为20lgK=20，所以K=10。 3、根据转折频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。 dB φ(ω) ω 20 40 -45º -90º -180º -20dB/dec -60dB/dec 0.5 5 25 4、确定ξ。

5）由Bode进行动态分析——瞬态计算 由于人们的直觉是建立在时间域中的，所以，工程上提 出的指标往往都是时域指标。 对于二阶系统来说，时域指标与频域指标之间有着严格 的数学关系。对于高阶系统来说，这种关系比较复杂，工程 上常常用近似公式来表达它们之间的关系。 1、二阶系统性能指标 、 与开环频域指标 、ωc的关系

（1） 与 之间的关系 开环传递函数 幅频特性： 令 所以相位裕量：

当 时， 与 为近似直线关系，如右图中虚线 所示，此时: 超调量： 与 的关系是通过中间参数ξ相联系

结论：对于二阶系统来说， 越小， 越大；反之亦然。为使二阶系统不至于振荡得太厉害以及调节时间太长，一般取： （2） 与 、 之间的关系 因为 将 代入上式得到： 可以看出：ξ确定以后，增益剪切频率ωc大的系统，过渡过程时间 短，而且正好是反比关系。

对于高阶系统，开环频域指标与时域指标之间难以找到准 2、高阶系统 对于高阶系统，开环频域指标与时域指标之间难以找到准 确的关系式。介绍如下两个经验公式： 式中 可以看出，超调量 随相位裕度 的减小而增大；过 渡过程时间 也随 的减小而增大，但随ωc的增大而减小。

结论 由上面对二阶系统和高阶系统的分析可知，系统开环频率特性中频段的两个重要参数  、ωc，反映了闭环系统的时域响应特性。所以可以这样说： 闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅频特性的中频段。

例1-4 某系统的开环传递函数为： 试估算该系统的时域性能指标。 解 开环放大系数K=250， 所以20lgK=20lg250=48(db) 各环节的转折频率分别为：

图中ωc=12s-1，它是最小相位系统，故相位裕量： 所以，闭环系统的最大超调量σp及过渡过程时间 ：

本节小结 应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法 一、模型关系 频率特性与传递函数具有十分相的形式

稳定余量及有关参数的计算γ、ωc 、 κ g 、 ωg 二、 频率特性的表示法 对数频率特性曲线 对数幅频特性 相频特性 纵坐标均按线性分度 横坐标是角速率 10倍频程 按 分度 三、 频率特性的应用 稳定性分析 G(S)的获得 稳定余量及有关参数的计算γ、ωc 、 κ g 、 ωg

以上内容是同学们在控制工程基础课程中学习过， 我们用了两个多学时复习了一下。 现在有这样几个问题，请同学们想一想： 1、在BODE图中，幅频特性和相频特性是分别绘制的， 可以一起绘制吗？画出来什么样？ 2、为什么在最小相位系统中，γ> 0º系统就是稳定的？ 如果是非最小相位系统，这个判据还可以用吗？深刻 地说，在频率域中线性控制系统稳定理论是怎样的？ 3、BODE图绘制的系统的开环频率特性，能够绘制闭环 频率特性吗？ 本章下面讲解的目的就是要回答上面的问题。

1.2极坐标图的绘制 可用幅值 组成的向量表示。 和相角 由零变化到无穷大时，向量 当输入信号的频率 的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。 当输入信号的频率 积分环节极坐标图 1、积分环节 所以，积分环节的极坐标图是负虚轴。 2、微分环节 所以，微分环节的极坐标图是正虚轴。

3、一阶惯性环节 一阶惯性环节 的极坐标图 4、一阶微分环节

5、二阶惯性环节 思考题：对于二阶微分环节的情况，同学们仿照前面讲过的内容自行绘制。 二阶惯性环节的极坐标图 的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比ξ有关，但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。

ξ变化对二阶惯性环节极坐标图曲线形状的影响

6、二阶微分环节 对于 二阶微分环节 的极坐标图

考虑下列二阶传递函数： 试画出这个传递函数的极坐标图。 例1-5 解 极坐标图的低频部分为： 极坐标图的中频部分为： 极坐标图的高频部分为：

极坐标图

7、 传递延迟 当 时， 可见，低频时传递延迟与 一阶环节的特性相似 当 时 两者存在本质的差别

8、 极坐标图的一般形状 0型系统：起点 ， 是一个位于正实轴的有限值 0型系统：起点 ， 是一个位于正实轴的有限值 终点 ,极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。 1型系统： 的相角是 在总的相角中 项产生的 极坐标是一条渐近平行于虚轴的直线段。 幅值为零，且曲线收敛于原点并与一个坐标轴相切。 在总相角中 的相角是由 项产生的 2型系统：

对于 的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点。 时， 轨迹将与实轴或虚轴相切。 当 高频(ω→∞)区域的极坐标图 本课程只要求 最小相位系统 的极坐标图的 绘制。 思考题：1、互为倒数的传递函数的极坐标图有关系吗？ 2、最小相位环节和对应的非最小相位环节的极坐标图有关系吗？

极坐标图的一般绘制方法(最小相位系统) 1、起点和终点 起点 终点 2、与(负)实轴的交点 令： 得 可求得。 3、变化过程和范围 γ＝0，起自于实轴G(0)； γ > 0，起自于无穷远，相角＝－90γ。 起点 终点 n=m，终止于实轴G(∞)； n>m，终止于原点，相角＝－90(n-m)。 2、与(负)实轴的交点 令： 得 可求得。 3、变化过程和范围 注意 从小到大变化的过程中，各环节在幅相特性变化中的 作用。注意分子环节和分母环节的作用是不同的。

N. Nyquist （1889-1976），美国Bell实验室著名科学家，他的工作为数据传输，通信工程，火炮控制及经典控制中的反馈系统稳定性分析奠定了基础。他于1960年 获得IEEE Medal of .Honor.

1.3奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 闭环传递函数为： 为了保证系统稳定，特征方程 的全部根，都必须位于左半s平面。 闭环线性系统稳定的充要条件 闭环系统 虽然开环传递函数 的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。

在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。 奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应 与 由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的函数映射基础上的。 对于物理上可实现的系统，闭环传递函数 的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的 的极限，或趋于零，或趋于常数。

1.3.1 预备知识 可以证明，对于S平面上任意一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在 平面上必存在一条封闭曲线与之对应。 幅角定理 设s平面闭合曲线Γ包围F(s)的Z个零点和P个极点，则S 沿Γ顺时针运动一周时，在F(S)平面上，F(S)闭合曲线ΓF包围原点的圈数： R>0和R<0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围F(s)平面的 原点，R＝0表示不包围F(s)平面的原点。

S平面与 平面的映射关系 例1-6 当系统的开环传递函数为 则其辅助函数是 除奇点 和 外,在S平面上任取一点,如 则

例1-7 试分别用下面两个特殊函数检验幅角定理。 F1平面 分析 S平面 F2平面

1.3.2 奈奎斯特稳定定理 考察 可见， 的分子是闭环特征多项式，其对应的是闭环极点， 与系统的稳定性有关。分母是开环特征多项式。如果我们适 当设计，就有可能利用幅角定理分析系统的稳定性。 假设F(S)在S平面的虚轴上没有零极点，在S平面上作一条完整的封闭曲线s，使它包围S平面右半部且按顺时针环绕。这一封闭无穷大半圆称作奈氏轨迹。显然奈氏轨迹包围的极点数P和零点数Z，就是F(s)位于S平面右半部的极点数和零点数。

注意，这时的极点数P就是系统开环传递函数中的不稳定极点 数，而不稳定零点数Z就是我们要求的闭环不稳定极点数。如 果能够知道F(S)包围原点的圈数N，那么问题就解决了。 曲线对原点的包围，恰等于 轨迹对-1+j0点的包围。

现在看起来似乎问题已经都解决了，请注意这样一个问题。 看包围S右半平面的图，ω的变化范围是(-∞→0→∞),而在 绘制极坐标图时， ω的变化范围是(0→∞)。 （这个问题请同学们自己想办法来解决办法。）

奈奎斯特稳定判据 在右半s平面内的零点数， 是 对-1+j0点顺时针包围的 次数(注意ω的变化范围是(-∞→0→∞))， 是 在S右 半平面的极点数。 。式中 为 这一判据可表示为： 1、如果z=0，则系统稳定，Z>0则系统不稳定，且S右半平面 上有z个不稳定极点。 2、如果H(s)H(s)在右半s平面内无任何极点，即P不等于零， 对于稳定的控制系统，必须R=-P ，这意味着H(s)H(s)必 须反时针方向包围-1+j0点P次。 3、如果H(s)H(s)在右半s平面内无任何极点，即P等于零，这 意味着H(s)H(s)必须不包围-1+j0点。

设 ，显然在S=0处有一个极点，这时奈奎斯特轨迹取为下图形式，于是轨迹没有经过起点。 1.3.3 含有位于 上极点和/或零点的特殊情况 设 ，显然在S=0处有一个极点，这时奈奎斯特轨迹取为下图形式，于是轨迹没有经过起点。 当ω从(0ˉ→0 → 0＋)， 从(∞＋→0→∞－)。 ¥ 平面 GH Re Im -¥ = w ' , F E D A B C + - 平面 s w j ¥ + - 1 << e A B C F E D

在 中将有： 对于包含因子 的开环传递函数 ，当变量s沿半径为 ( )的半圆运动时，即 例如，考虑开环传递函数： 在 中，当 时，有 中的

例1-8 设闭环系统的开环传递函数为，分析其稳定性。 分析 的轨迹如图所示。 在右半s平面内没有任何极点，并且 的轨迹不包围 的值，该系统都是稳定 的。 ，所以对于任何

例1-8 设系统具有下列开环传递函数: 试确定以下两种情况下，系统的稳定性： 增益K较小增益K较大。 分析 小K值时是稳定的 ¥ 平面 GH Re Im -¥ = w + - 1 ´ 2 Z R P ¥ 平面 GH Re Im -¥ = w + - 1 ´ Z R P

例1-9 设一个闭环系统具有下列 开环传递函数： 试确定该闭环系统的稳定性。 表明闭环系统有两个极点在右半s平面，故系统是不稳定的。 开环传递函数在s右半平面 内有一个极点( )， 奈奎斯特曲线如图示，轨迹顺时针 方向包围 点一次, 因此 分析

1.4 系统稳定裕量的再讨论 -1 根据根轨迹，我们知道：对于大的K值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时，系统可能稳定。 一、相对稳定性 （a） -1 （b）

图(a)和(b)所示的两个最小相位系统的开环频率特性曲线（实线）没有包围 点，由奈氏判据知它们都是稳定的系统，但图(a)所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点 A 距离点较远，图(b)所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点 B 距离 点较近。 （a） -1 （b）

假定系统的开环放大系统由于系统参数的改变比原来增加了50%，则图(a)中的A点移动到 点,仍在 点右侧，系统还是稳定的；而图(b)中的B点则移到 的左侧 点，系统便不稳定了。可见前者较能适应系统参数的变化，即它的相对稳定性比后者好。 （a） （b）

二、稳定裕度 （一） 相角裕度 通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定程度，其中包括系统的相角裕度和幅值裕度。 我们把GH平面上的单位圆与系统开环频率特性曲线的交点频率 称为幅值穿越频率或剪切频率，它满足： 所谓相角裕度是指幅值穿越频率所对应的相移 与 角的差值，即

对于最小相位系统，如果相角度 系统是稳定的(下图)且 值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角裕度 ,系统则不稳定(下图右)。当 时，系统的开环频率特性曲线穿过 点，系统处于临界稳定状态。

（二） 幅值裕度 把系统的开环频率特性曲线与GH平面负实轴的交点频率称为相位穿越频率 ，显然它应满足 所谓幅值裕度Kg是指相位穿越频率 所对应的开环幅频特性的倒数值，即 对于最小相位系统，当幅值裕度Kg>1 ,系统稳定，且Kg值愈大,系统的相对稳定性愈好。如果 则系统不稳定.

幅值裕度的含义 使系统到达临界状态时的开环频率特性的幅值 增大(对应稳定系统)或缩小(不稳定系统) 的倍数。幅值裕度也可以用分贝数来表示。 分贝 因此，可根据系统的幅值裕度大于、等于或小于零分贝来判断最小相位系统是稳定、临界稳定或不稳定。这里要指出的是，系统相对稳定性的好坏必须同时考虑相角和幅角裕度。 通常要求相角裕度= ～ ,幅值裕度 (6分贝)

三、稳定裕度与系统的稳定性 前面已经介绍，求出系统的稳定裕度可以定量分析系统的稳定程度。下面通过两个示例进一步说明。 例1-10 已知最小相位系统的开环传递函数为: 试分析稳定裕度与系统稳定性之间的关系。 该系统的开环频率特性的极坐标图分别如图(a)(当 时)和图(b)(当 时)所示。由 图(a)可知，当 时,系统的相角裕度 ，由图(b)可知, 当 时， 系统的相角裕度 。 解

系统的幅频特性和相频特性分别为

令 ,则有 ， 故 或 。对应S平面的坐标原点，舍去。 由 ，求出系统的幅值裕度为 ¥ = w ) ( 1 j H G K 令 ,则有 ， 故 或 。对应S平面的坐标原点，舍去。 由 ，求出系统的幅值裕度为 ¥ = g w ) ( 1 j H G K 时， ，有 ,该系统不稳定； 时， ，该系统是稳定的。

四、由Bode图判断系统的稳定性 　　稳定裕量就是表征系统稳定程度的量．它是描述系统特性的重要的量，与系统的暂态响应指标有密切的关系。这里讨论由Bode图求系统稳定余量，并判断稳定性的方法。 　　　　　　　的轨迹越接近于包围　　　点，系统的稳定程度越差．因此，系统开环频率特性靠近　　点的程度可以用来衡量系统的稳定程度。 　　系统的稳定裕量用相角裕度　和增益裕度　来表示．

§５－４ 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 剪切频率—对应于 的频率，记为 相角裕量—在剪切频率 处，使系统达到临界稳定状态所 §５－４ 　乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 剪切频率—对应于　　　　　　　 的频率，记为 相角裕量—在剪切频率　 处，使系统达到临界稳定状态所 要附加的相角迟后量． 为使系统稳定，相角裕量必须为正值． 增益裕度　　—在相角特性　　 等于　　　的频率 处， 开环幅频特性的倒数　　　　　　若系统增益Ｋ增大到 ，则系统达到临界稳定状态。　　 或

§５－４ 　乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 稳定的系统， 　　　　为正．

1.5 系统的闭环频率特性 通过本章前面几节的介绍，已经了解到系统的开环频率特性对分析系统的稳定性和稳定程度（即相对稳定性）具有十分重要的意义。 本小节将进一步研究系统的闭环频率特性。一般情况下，求解系统的闭环频率特性十分复杂烦琐,在实际中通常都是采用图解法来求出系统的闭环频率特性。

R(s) C(s) G(s) 1.5.1 向量作图法 如图所示单位负反馈系统， 其闭环传递函数： 用 代入上式，就可得到系统的闭环频率特性表示为：

是单位负反馈系统的开环频率特性。 与闭环频率特性 间的关系。 描述了系统的闭环频率特性。 下面说明 设系统的开环频率特性如下图所示。

由图可见，当 时 由此得到 时系统的闭环频率特性为： 当 时，系统闭环频率特性的幅值等于向量 与 的幅值之比;其相角等于向量 与 的相角差。 这样，逐点测出不同频率处对应向量的幅值和相角，便可绘制如下图所示的闭环幅频特性 和闭环相频性 。

二、等M圆图 由向量作图法和上图可看出，对于G平面上任一点A，总有一个闭环幅值 与之对应，如果令闭环幅值 ，那么它在G平面上是一个什么样的图形呢？

设单位反馈系统的开环频率特性为： 式中U、V都是角频率ω的实函数,故系统的闭环频率特性为： 令 即 若M=1则 ,这是在G平面上过点 ,且平行于虚轴的直线方程。

若 ，则上式可写成： 圆方程,圆心坐标为 ,半径是 。 当M>1时，圆的半径 随M值的增加而减小，圆心位于负实轴 点的左侧, 且收敛于(-1，j0)点； 当 M<1时，圆的半径 随M值的增加而增大，圆心位于正实轴 点的右侧，且收敛于(0，j0)点。

由不同的M值在G平面上构成的这簇圆叫做等M圆或等幅值轨迹。由下图可以看出，等M圆在G平面上是以实轴为对称的，它们的圆心均在实轴上。

　　在工程实践中，应用等M圆求闭环幅频特性时，需在透明纸上绘制出系统的开环极坐标图，将它覆盖在同样坐标比例的等M圆上，根据G(jω)曲线与等M圆簇的交点得到对应的M值和ω值,便可绘制出闭环幅频特性A（ω）（如图5-39和图5-40所示）。 利用等M圆图求取A(ω) 控制系统闭环幅频特性图

用等M圆求取闭环幅频特性得优点： 简单方便，等M圆可重复利用。 可直接看到当开环频率特性 G(jω)的形状发生某种变化时，闭环幅频特性 A(ω)将会因之出现那些相应的变化，以及这些变化的趋势。 与G(jω)曲线相切的圆所表示的M值就是闭环幅频特性的谐振峰值Mr(如果M>1)，对应的频率值就是谐振频率 。 谐振峰值Mr和谐振频率 是闭环幅频特性的两个重要特征量。它们与闭环系统的控制性能密切相关。

三、等N圆图 单位反馈系统的开环频率特性可以表示为： 则其闭环频率特性是 用θ表示闭环频率特性的相角，则有 即

令: 则有: 整理后得到: 这也是一个标准圆方程，圆心坐标是: 半径为 　　 。 不管N值如何，当U=V=0及 U=-1，V=0时，方程总是成立的，即等N圆簇中每个圆都将通过点(-1，j0)和(0，j0）。

改变N或θ的大小，它们在 G平面上就构成了如右图所示的一簇圆，这簇圆的圆心都在虚轴左侧与虚轴距离为 且平行于虚轴的直线上,我们称这簇圆为等N圆。

对于给定的θ值对应的等N 值轨迹，实际上并不是一个完整的圆，而只是一段圆弧，这是因为一个角度加上 (或 的倍数)其正切值相等的缘故。 等N圆以实轴为对称，也对称于直线 。等N圆是多值的, 这些θ值是 ，它们都满足正切条件N=tgθ。 因此,用等N圆来确定闭环系统的相角时，就必须确定适当的θ值。应从对应于 的零频率开始，逐渐增加频率直到高频，所得到的闭环相频曲线是连续的。 利用等N圆求取闭环相频特性与用等M圆图求取闭环幅频特性A（ω）的方法和步骤完全相同。

10 利用等N圆图求取 控制系统的闭环相频性曲线

四、时域指标与闭环频域指标的关系 闭环频域指标： （1）零频幅值M0： =0时闭环幅值。 （2）谐振峰值Mr： 闭环幅频最大值。 谐振峰值时频率。 （4）系统带宽b： 闭环幅值减小到0.707 M0时的频率。0b，称为系统带宽。 （5）剪切率：M() 在b处的斜率。反映了系统的抗干扰能 力，斜率越大，抗干扰能力越强。 通常用Mr和b（或r）作为闭环系统的频域动态指标。

1. 二阶系统 1）p与Mr的关系 谐振频率为： 谐振峰值： 可见，Mr与成反比。相同 的，Mr较高，超调量p也 大，且收敛慢，平稳性及 快速性都差。当Mr=1.21.5时， 对应p =2030%，可获得适度的振荡性能。若出现 Mr>2，则与此对应的p 可高达40%以上。

2）ts与b的关系 根据带宽定义，在频率b处，系统的频率幅值为 解出b与n 、 的关系为 由 得到 由 得到 对于给定，ts与b成反比。如果系统带宽大，则说明系 统 “惯性” 小，动作迅速，ts也小。 还可找到 Mr 、 r 、 b的关系，所以有时也用r反映 系统的快速性。

对于高阶系统、难以找出确切关系。研究表明， 2. 高阶系统 对于高阶系统、难以找出确切关系。研究表明， 较小时，工程上常用经验公式（350≤≤900） 闭环频域指标又可表示为形式： p =0.16+0.4(Mr-1) 1 Mr 1.8) 和 式中 K=2+1.5(Mr -1)+2.5(Mr -1)2 (1 Mr 1.8) 上式表明：高阶系统的p随着Mr 增大而增大。过渡过程时间ts 随Mr 增大而增加，随c增大而减小。

设计实例：雕刻机控制系统

上图(a)所示的刻模机采用两台驱动电机和相关的丝杠来定位方向上的刻针。另外的电机用于驱动如图所示的y轴和z轴方向的运动。x轴的位置控制系统的方框图下图(b)所示。设计目标是利用频率响应法选取适当的增益K，使得阶跃输入时的时间响应是可接受的。 为了画出频率响应，首先选择 作为初始选择值， 开始绘制Bode图。如果得到的系统不能设计要求，则再调整 增益，并重复设计过程。 可得闭环频率特性函数为

其Bode图如下

将该系统可近似为二阶系统： 则当 时，阶跃响应的超调量为37%；调节时间 (2%基准)为 根据实际系统仿真可得，阶跃响应的实际超调量为34%，实际的调节时间为17秒。由此可见，在该情况下，二阶近似值是合理的，并可用于确定该系统的适当参数。若需要超调量较低的系统，则可以将降为1，并重复上述过程。

本章小结

本章结束，谢谢！