第一章 渗流理论基础 肖 长 来 吉林大学环境与资源学院 2009-9

§1.4 流网及其应用 1.4.1 流网的概念 (1)流网(Flow Net)：渗流场中由一组流线与由一组等势线（当容重不变时为一组等水头线）相交组成的网格。对各向同性介质组成正交网。 流线（Streamline）渗流场内处处与渗流速度矢量相切的曲线。 地下水动力学中流线的概念和水力学中的概念是完全一致的。流线应是一根处处和渗流速度矢量相切的曲线。因此，流线簇就代表渗流区内每一个点的水流方向。

1.4.2 流函数方程 (1) 流线的方程 根据上述定义，没有水流穿越流线。如下图，在任一流线上取任意两点M(x, y)和M' (x+dx, y+dy)。M点的渗流速度矢量为v，它与它的两个分量Vx，Vy构成一个三角形MAB。自M' 点作垂线Mb，并延长至a。 当M与M' 无限逼近时，弧线 MM’ 可用切线Ma来代替，故有Mb= dx，ab=dy。因为 MAB≈Mab，有以下等式成立---流线方程 ： (1-33a) 图1-17 流线

M和M’是任意流线上任选的两点。因此，上式对流线上的任一点都是正确的，可以把它看成是流线的方程，用它来描述流线。 上面的流线方程无论对各向同性和各向异性介质都是适用的。 在各向异性介质中，如果选取的坐标轴(直角坐标系)的方向分别与渗透系数的主方向一致，则上式变为： 对于各向同性介质，则式中的Kxx=Kyy=K。由于（1-33b）式只涉及一个点的水流情况，故也适用于非均质介质。 (1-33b)

(2) 流函数方程 设有二元函数Ψ(x,y)，其全微分为: 若取这样一种函数，使 对其积分得： Y =常数。表明沿同一流线，函数Y 为常数，不同的流线则有不同的函数值。称函数Y 为流函数，又称Lagrange流函数，量刚为[L2T-1]。 (1-34) 则 (1-35)

（3）流函数的物理意义 在无限接近的两条流线和上沿某等水头线取两个点a(x,y)和b(x+dx,y+dy)。自a、b分别做垂线和水平线，相交于c。见下图。 图1-18 流线

研究表明，在均质各向同性介质中，流函数满足Laplace方程，而在其他情况下，流函数均不满足该方程。 将（1-35）式在y1和y2区间积分得： 由（1-37）可以得出： 在平面运动中，两流线之间的单宽流量等于和这两条流线相应的流函数之差。 在同一条流线上，dy=0，q=0，C=常数。 (1-36) (1-37)

表明在均质各向同性介质中，流函数满足Laplace方程，而在其他情况下，流函数均不满足该方程。 由达西定律和（1-34）式，有： 将（1-38）中第一式对y求导，第二式对x求导，得到： 表明在均质各向同性介质中，流函数满足Laplace方程，而在其他情况下，流函数均不满足该方程。 (1-38) (1-39) 整理得：

(4) 流函数的特性 ① 对于一给定的流线，流函数是常数。不同的流线有不同的常数值。流函数决定于流线。Y=c ② 在平面运动中，两流线之间的单宽流量等于和这两条流线相应的流函数之差。q=Y2 - Y1 ③ 在均质各向同性介质中，流函数满足Laplace方程；而在其他情况下，流函数均不满足该方程。 ④ 在非稳定流中，流线不断地变化，只能给出某一瞬时的流线图。只有对不可压缩的液体的稳定流动，流线才有实际意义。

（1）在各向同性介质中，流线与等水头线处处垂直，流网为正交网格。 2. 流网的性质 （1）在各向同性介质中，流线与等水头线处处垂直，流网为正交网格。 （2）在均质各向同性介质中，流网中每一网格的边长比为常数。 （3）若流网中各相邻流线的流函数差值相同，且每个网格的水头差值相等时，通过每个网格的流量相同。 （4）若两个透水性不同的介质相邻时，在一个介质中为曲边正方形的流网，越过界面进入另一个介质时则变成曲边矩形。

（1）在各向同性介质中，流线与等水头线处处垂直，流网为正交网格。 由（1-38）式，得： 消去K，得： 等水头线 流线 式中i，j——单位矢量。 (1-40) (1-41)

（2）在均质各向同性介质中，流网中每一网格的边长比为常数。 在非均质各向同性介质中，上式亦成立。 （2）在均质各向同性介质中，流网中每一网格的边长比为常数。 式中dl——相邻流线的间距； ds——等势线的间距。 通常取ds/dl=1，流网为曲边正方形。 (1-42) (1-43) (1-44)

（3）若流网中各相邻流线的流函数差值相同，且每个网格的水头差值相等时，通过每个网格的流量相同。 式中 ——网格相邻两等势线间的平均长度； ——网格相邻两流线间的平均宽度。 若上下游总水头差Hr=H1-H2，则m个水头带中每一网格的水头差为 (1-45) (1-46) (1-47)

图1-19 承压水完整井抽水时的流网图 图1-20 双层地基中的流网图 (a)—平面图；(b)—剖面图 图1-20 双层地基中的流网图

（4）若两个透水性不同的介质相邻时，在一个介质中为曲边正方形的流网，越过界面进入另一个介质时则变成曲边矩形。 当 ，且 时 ，

1.4.3流网的绘制与应用 1. 流网的绘制 可采用解析法、各种模型试验法、徒手绘渐进法绘制流网。 （1）确定边界条件 ① 河渠的湿周为一条等水头线。 ② 平行于隔水边界可绘制流线。 ③ 无入渗补给及蒸发排泄，有侧向补给，做稳定运动时，地下水面是一条流线。 ④ 有入渗补给时，地下水面既不是流线也不是等水头线。

图1-21 等水头线，流线与各类边界的关系 1.含水层；2.隔水层；3.潜水面；4.等水头线； 5.流线；6.河渠水面；7.降水入渗

（2）根据已经确定的边界条件，根据流网的性质可以判定另一条件，作出流网。 （3）根据流网的性质绘制，各向同性含水层中，流线与等水头线处处正交，网格边长比为常数。 （4）在同一渗流区内，除奇点外，流线与等水头线各自不能相交；如遇透水性大的透镜体时，则流线向该点汇集，反之则绕行。流线穿越突变界面时，应用水流折射定律绘制。

2. 流网的应用 （1）定量计算渗流区中的渗流运动要素 ① 水头H、渗透压强P ② 水力梯度J、渗流速度v ③ 流量q 式中m、n——水头带数目、流带的数目。 （2）定性分析渗流区的水文地质条件及其变化。 （3）主要用于解决稳定渗流问题。 (1-47) (1-48) (1-50)

（a)—导水性变化影响；（b）—不透水带的影响；（c）—强透水带的影响 图1-22 几种情况下的流网 （a)—导水性变化影响；（b）—不透水带的影响；（c）—强透水带的影响

图1-23 河间地块流网图 1.流线；2.等水头线；3.分流线；4.潜水面；5.河水位；6.井，涂色部分有水； 图1-23 河间地块流网图 1.流线；2.等水头线；3.分流线；4.潜水面；5.河水位；6.井，涂色部分有水； 7.代表矿化度大小的符号，圆圈越多，矿化度越大；8.降水入渗；9.绘制流网的大致顺序

(a)—Hubbert模型；(b)—地下水流的基本情况

图1-25 河流附近的流网图

图1-26 有限深透水地基上的重力坝 Gravity dam on pervious foundation of finite depth (Courtesy of McGraw-Hill Book Company )， From Seepage Analysis and Control for Dams，Engineer Manual，1993

图1-27 某地的流网图 图1-28 叠加抽水井的流网图