第一章 应力分析 1. 应力张量的引入 1.1 力的种类(4种相互作用), 内力与外力 单位: Pa

1.2 力, 面力与体力 <定义> <单位> N,N/m2,N/m3

1.3 应力矢量的引入与定义 The Euler–Cauchy stress principle 与方向n相关! upon any surface (real or imaginary) that divides the body, the action of one part of the body on the other is equivalent to the system of distributed forces and couples on the surface dividing the body, called the stress vector, defined on the surface and assumed to depend continuously on the surface's unit vector 与方向n相关!

1.4 应力张量的引入 首先,将法线为n的斜截面上的应力矢量分解为三个相互垂直的截面上的应力矢量的和

dA 与dA3之间的关系（如图）：

1.5 应力矢量的分量 或者 <柯西公式> 分解为三个面上的应力矢量和可以 进一步得到以下表达式： 则应力矢量在三个方向上的分量为： chy 或者 <柯西公式> 矩阵形式为：

注意:应力矢量的分量与作用在三个面上的应力矢量是不同的概念

1.6 应力张量的坐标轴旋转(二维,三维) 旋转矩阵:

旋转矩阵A及其转置矩阵 AT A

1.8 正应力与剪应力

应力张量中的正应力分量与剪应力分量 应力偏张量

2. 平衡方程与应力对称张量 2.1 平衡方程 给定体积上所受到的整体面力和体力之和为零

平衡方程的另一种推导方式，分析微元各个面上受到的力

, 2.2 应力张量是对称张量 给定体积上所受到的力矩之和为零 其中： 对第 i 个方向：

3. 主应力与应力张量不变量 3.1 主应力的定义 通过坐标轴的旋转可以是否可以使得剪应力消失？

3.2 主应力的求解 已知应力张量为： 设存在主应力，大小为 ，方向为n =（n1,n2,n3) 可以得到三个方程

因为特征向量是正交的，所以三个主应力正交 将方程展开得到： (线形代数知识) 也就是求该行列式的特征值与特征向量 因为特征向量是正交的，所以三个主应力正交

I1 , I2 , I3 称为应力张量的三个不变量（与坐标系无关）

如果方程存在三个不同的根(特征值) 那么以特征向量给出的三个方向为坐标轴， 得到的新的坐标系下的应力张量为： 在该坐标系下，剪应力为零（极小值） 在该坐标系下三个不变量的形式得到简化：

主应力的几条性质：

3.3 最大剪应力 (在主应力坐标系中寻找法向量n， 使得该面上的剪应力最大) 应力张量： 首先得到应力矢量的分量 （柯西公式）：

应力矢量的平方： 正应力（应力矢量在n的投影）： 剪应力的大小（勾股定理）：

利用三个方向余弦的平方和等于1，可以消去n3将未知数减为2个： （未知数为n2和n3 )

六组可能的解(前三组为极小值，后三组极大值）

最大剪应力的一个范例：

4. 平面应力与摩尔圆 4.1 平面应力 平面应力的正应力与剪应力:

主应力方向: 主应力极值:

通用方法求平面应力的主应力大小及方向 设主应力大小为 , 方向余弦为（n1,n2) 使用根的公式求解

4.2 摩尔圆 摩尔圆的引入（试图消去 ）：

圆的方程 作图求: 主应力 大小与 方向 最大剪 应力大 小与方 向 坐标轴 变换

三维应力圆 得到三个方程求解n1，n2，n3：

最后得到三个不等式：

5. 一些典型的应力类型 5.1 单轴应力

5.2 平面应力

5.3 八面体上的正应力与剪应力

6. 地球表面的应力分布 The World Stress Map Project www.world-stress-map.org

Basin modelling Geomechanical modelling Reservoir characterization and management Stability of mines, tunnels and boreholes Fault-slip tendency Seismic hazard assessment

7. 课程作业 问题: 求地幔楔中应力的分布 假设板块的俯冲速度为5 cm/year, 俯冲角度为 30度,地幔楔的粘度为10^20 Pa s

章节 6-8 Elemental force balance in two dimensions 章节 6-11 Angle of Subduction

步骤: 给定板块俯冲速度,可以得到地幔楔中的速度和压强分布; 使用速度分布,求偏微分,得到偏应力张量的分量; 根据得到的张量,求出各点的主应力的大小和方向,以及各点最大剪应力的大小,作图表示. 作业报告要求: 给出公式和计算过程 图画到300公里深度以内,最大剪应力的大小使用颜色表示(画出色标), 主应力的大小和方向使用十字架表示(画出线段长度的比例). 可以进一步讨论取不同的俯冲板块速度,角度以及地幔粘性系数对结果的影响.

The Generic Mapping Tools (GMT) http://gmt.soest.hawaii.edu/gmt4/

应力分量的正负号的定义