第1章 插 值 概念 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 第1章 插 值 概念 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。 自然地，希望g(x)通过所有的离散点 x0 x1 x2 x3 x4 x g(x)  f(x)

问题 是否存在唯一 如何构造 误差估计 定义： 为定义在区间 上的函数， 为区间上n+1个互不 相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 满足 问题 是否存在唯一 如何构造 误差估计

有解 系数行列式不为0 设 则 特点： 与基函数无关 与原函数f(x)无关 基函数个数与点个数相同

存在唯一定理 定理1.1 ： 为n＋1个节点， n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当

对应于 则 Vandermonde行列式

多项式插值的Lagrange型 如何找？ 在基函数上下功夫，取基函数为 要求 则

求 ，易知： 线性插值

二次插值

分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差。 例： 例：已知 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差。

内插通常优于外推。选择要计算的 x 所在的区间的端点，插值效果较好。 §1 Lagrange Polynomial 解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算 利用 内插通常优于外推。选择要计算的 x 所在的区间的端点，插值效果较好。 ) 18 5 ( 50 sin 1  p L 0.77614 这里 而 sin 50 = 0.7660444… 外推 /* extrapolation */ 的实际误差  0.01001 利用 sin 50  0.76008, 内插 /* interpolation */ 的实际误差  0.00596

sin 50 = 0.7660444… 2次插值的实际误差  0.00061 高次插值通常优于低次插值 n = 2 0.76543 ) 18 5 ( 50 sin 2  p L 0.76543 sin 50 = 0.7660444… 2次插值的实际误差  0.00061 高次插值通常优于低次插值

误差 解： 求 设 易知

有n+2个零点 由a的任意性

事后误差估计 给定 任取n+1个构造 如： 另取 则

近似 则

Lagrange 插值的缺点 无承袭性。增加一个节点，所有的基函数都要重新计算

Newton型多项式插值 承袭性： 且 为实数 同样

而且有：

这样：

定义：差商 称为k阶差商 称为1阶差商

由归纳：

此处用到差商的一个性质： （用归纳法易证） 对称性： 定义关键：找不同的元素相减作分母

Newton插值构造 1、先构造差商表

2、利用差商表的最外一行，构造插值多项式 例子 2点Newton型插值

一些性质 性质2

误差 性质3

差商性质总结

1.4 Hermite插值 有时候，构造插值函数除了函数值的条件以外，还需要一定的

§3 Hermite Interpolation 例：设 x0  x1  x2, 已知 f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和 f ’(x1), 求多项式 P(x) 满足 P(xi) = f (xi)，i = 0, 1, 2，且 P’(x1) = f ’(x1), 并估计误差。 解：首先，P 的阶数 = 3 模仿 Lagrange 多项式的思想，设  + = 2 1 3 ) ( i x h x1 f ’ f P  其中 hi(xj) = ij , hi’(x1) = 0, (xi) = 0, ’(x1) = 1  h1 有根 x1, x2，且 h0’(x1) = 0  x1 是重根。 h0(x) ) ( 2 1 x C h - = 又: h0(x0) = 1  C0 h2(x) 与h0(x) 完全类似。 h1(x) 有根 x0, x2  与 Lagrange 分析完全类似 ) )( ( 2 1 x B Ax h - + = 由余下条件 h1(x1) = 1 和 h1’(x1) = 0 可解。 (x)  h1  h1 ) )( ( 2 1 x C - = 有根 x0, x1, x2   h1 又: ’(x1) = 1  C1 可解。

仿照Lagrange插值的做法，首先确定多项式插值空间的维数， 注意到，我们的条件共有2(n+1)个条件，所以，最高次数为2n+1

整个构造步骤如下： 1、确定多项式的最高项次数，就是函数空间的维数 2、假设一组基函数，列出插值多项式 3、列出基函数满足的公式（画表），求基函数 称为 构造基函数方法

误差分析 类似Lagrange插值的分析方法

二重密切Hermite插值误差

 是否次数越高越好呢？ 例：在[5, 5]上考察 的Ln(x)。取 Ln(x)  f (x) n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 - 5 4 3 2 1 0.5 1.5 2.5 Ln(x)  f (x)  n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象

分段低阶插值 Runge现象 等距高次插值，数值稳定性差，本身是病态的。 1901年，Runge 例： 等距节点构造10次Lagrange插值多项式 -0.90 0.04706 1.57872 -0.70 0.07547 -0.22620 -0.50 0.13793 0.25376 -0.30 0.30769 0.23535

分段低次插值 分段线性插值 每个小区间上，作线性插值 特性 (1) (2) 在每个小区间上为一个不高于1次的多项式

误差 可以看出

收敛，可惜只一阶精度，不够光滑。 类似，可以作二重密切Hermite插值 关键： 分段、低阶插值

三次样条插值 分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够理想。在工业设计中， 对曲线光滑性要求高，如：流线型 设想这样一曲线：插值，次数不高于3次，整个曲线2阶连续导 数，称为三次样条函数插值。

每个小区间不高于3次， 有4n个未知数，我们的已知条件如下： 共3n-3+n+1=4n-2个条件

需要附加2个条件，通常在边界处给出 m关系式 设 所以，是3次二重Hermite插值，记

由

两个边界条件

有 加上边值条件 (1) 固支边界条件 (2) (3) 周期边界条件

M关系式 设 记 三弯距法： 3次多项式导2次后，为线性函数

积分2次 由 有

计算过程如下