能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍规律，在机械运动中则表现为动能定理。 不同于动量和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题，有时更为方便和有效。 动能定理建立了机械运动与其他形式运动之间的联系。

13.1 力的功 功率 13.2 动能 13.3 动能定理 13.4 机械能守恒定理 13.5 动力学普遍定理综合应用

是力在一段路程上对物体作用的累积效果，其结果将导致物体能量的变化。 13.1.1 力的功 是力在一段路程上对物体作用的累积效果，其结果将导致物体能量的变化。 力的元功：力 F 在元位移上累积效果。 是力与其作用元位移之点积 ds y z x O M1 M M2 dr v r + dr r F q

质点从 M 1 运动到 M 2 ，力在这段路程所作的功等于力在这段路程上元功之和 ds y z x O M1 M M2 dr v r + dr r F q 或 合力功定理： 力的功是一代数量，可正、可负、也可为零。 单位：焦耳 ( J )

13.1.2 常见力的功 常力在直线路程上的功 M1 M M2 F q s x O

重力的功 重力在曲线路程上的功 ： 或 为质点始末位置的高度差。 质点系从位置 1 运动到位置 2 时，重力所作的功 y z x O M1 M M2 x y z1 z2 z mg 重力在曲线路程上的功 ： 或 为质点始末位置的高度差。 质点系从位置 1 运动到位置 2 时，重力所作的功 为质点系质心始末位置的高度差。 重力的功只与质点所经历的路径无关。

弹簧原长 l 0 ，刚度系数 k ，一端固定，另一端与质点相连。 弹性力的功 弹簧原长 l 0 ，刚度系数 k ，一端固定，另一端与质点相连。 质点曲线运动时，弹簧对质点施加弹性力F。弹性极限内，弹性力大小与弹簧变形成正比，其方向沿弹簧轴线指向变形为零的点。 O M1 M2 M r1 表示质点 M 矢径方向单位矢量， r F 弹性力为： r2 弹性力的元功：

弹性力的功，等于弹簧的初变形与末变形的平方差与刚度系数的乘积之半，而与质点运动的路径无关。 O M1 M2 M r1 r F r2 质点从 M 1 运动到 M 2 时，弹性力的功： 弹性力的功，等于弹簧的初变形与末变形的平方差与刚度系数的乘积之半，而与质点运动的路径无关。

刚体由位置角j 1 转到j 2 的过程中，力 F 的功： 13.1.3 定轴转动刚体上力的功 z M O w r F 当刚体转过微小转角 dj 时，点 M 的微小路程为： 力 F 的元功： dj 刚体由位置角j 1 转到j 2 的过程中，力 F 的功： 若M z 为常量，则：

例1 质量为 m 的质点受力 作用，沿曲线 运动。试求 t = 0 到 t = 2p 时力 F 在此曲线上所作的功。 解： F 作的功为：

例2 弹簧的刚度系数 k = 40 N / m ，自然长度 l 0 = 40 cm，此时弹簧两端分别固定在水平线上的 A 和 B 点。现给弹簧中点附一重 9.8 N 的小球 C ，当 C 下降 5 cm 时，试求作用在小球 C 上的所有力的功。 解：对于小球 k A B C 20 cm C F G 重力的功： 弹性力的功： 所有力的功

13.1.4 功率与机械效率 （1）功率 表示力作功的快慢程度。 力在单位时间内所作的功。 即力的功率，等于力与其作用点速度矢的标积。 力矩 ( 或力偶矩 ) 表示的功率 ： 即力矩的功率，等于力矩与刚体转动角速度的乘积。 单位：焦耳/秒 ( J / s )，瓦 ( W )

（2）机械效率 分别表示输入功率、有用阻力的输出功率和无用阻力的损耗功率，则机器的输入功率等于有用功率与损耗功率之和。当机器稳定运转时，机器的输出功率与输入功率的比值，称为机械效率，用h 表示，即 ： 表明机器对输入功率的有效利用程度，是评定机器质量好坏的重要指标之一。

13.2.1 质点的动能 质点的质量 m 和质点速度 v 平方的乘积之半 与速度方向无关的恒正标量。 单位与功的单位相同，为 ： 13.2.2 质点系的动能 质点系内各质点动能的总和

13.2.3 刚体运动时的动能 平动刚体的动能 刚体平动时，其上各点的速度都相等。即 v i = v C 即平动刚体的动能等于刚体的质量与质心速度平方的乘积之半。

即定轴转动刚体的动能，等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方的乘积之半。 z Mi O w ri vi 即定轴转动刚体的动能，等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方的乘积之半。

即平面运动刚体的动能，等于刚体对瞬心轴的转动惯量与其角速度平方的乘积之半。 S w vi Mi ri vC C d 刚体对瞬心轴的转动惯量 P 即平面运动刚体的动能，等于刚体对瞬心轴的转动惯量与其角速度平方的乘积之半。 即作平面运动的刚体的动能，等于随质心平动的动能与绕质心转动的动能的和。

例3 坦克履带单位长度质量为 m，两轮的质量均为 m1，视为均质圆盘，半径 r，两轮轴间距离 l ，求坦克以速度 v 沿直线行驶时的动能。 解：两轮瞬心分别为 D、E 轮的角速度为： l O 2 1 E D B A r v 履带 AB 部分平动，速度为 2v。 履带 DE 部分速度为零。 （1）轮的动能：

（3）两轮上履带（合并为一均质圆环）动能： l O 2 1 E D B A r v （2）履带 AB 部分动能： （3）两轮上履带（合并为一均质圆环）动能： 系统的动能为：

质点 从 M 1 运动到 M 2 时，速度由 v 1变为 v 2 。沿路径积分 13.3.1 质点的动能定理 y z x O M1 M M2 v1 v F v2 ——质点动能定理 的微分形式 质点 从 M 1 运动到 M 2 时，速度由 v 1变为 v 2 。沿路径积分 ——质点动能定理的积分 形式

13.3.2 质点系的动能定理 质点系内的任一质点，质点动能定理的微分形式 ——质点系动能定理的微分形式 即质点系动能的微分等于作用于质点系上所有力的元功之和。

若质点系在某运动过程中，起始和末了位置时的动能分别为 T 1 、T 2 ，积分： ——质点系动能定理的积分形式 即质点系在某运动过程中，动能的变化量等于作用于质点系的所有力在各相应路程中的作功之和。

注意：质点系的内力系的主矢和主矩恒为零，但内力作功之和一般并不等于零。 在质点系的动能定理中，应包含质点系内力的功。 例如，在机器运转中，轴和轴承间的摩擦力对整个机器而言虽属内力，但此内力却作负功而消耗机器的能量。 理想约束 ：约束反力不作功或作功之和等于零的约束。 在理想约束条件下，动能定理不包含约束反力的功。即

质点系内的任意两质点 M 1和 M 2的内力元功之和为： 13.3.3 约束反力的功 质点系和刚体内力的功 质点系内的任意两质点 M 1和 M 2的内力元功之和为： M1 M2 dr2 F1 F2 r2 r21 dr1 r1 O 是质点 M 1相对 M 2 的元位移 当质点系内两点相互作用的内力连线始终与两点间的相对元位移垂直时，则两力作功之和为零。

一般质点系中，任意两点间的距离可以变化。 可变质点系内力功之和不一定等于零。如变形体。 M1 M2 dr2 F1 F2 当力 与 共线时： r2 r21 dr1 r1 O dr21 表示两点间距离的微小变化 一般质点系中，任意两点间的距离可以变化。 可变质点系内力功之和不一定等于零。如变形体。 对于刚体，任意两点的距离始终保持不变。刚体在任一运动过程中，所有内力功之和恒等于零。如不可伸长柔索。

光滑接触约束反力的功 当系统内两刚体的接触处是理想光滑时，则接触处相互作用的力始终与相对微小位移垂直。 光滑的固定支承面、轴承约束、铰链支座以及光滑的铰链约束，其约束反力作功都等于零，这些约束都是理想约束。

皮带轮传动中，若皮带与轮的接触处无相对滑动，则它们之间相互作用的摩擦力都是静摩擦力，这一对摩擦力作功之和为零。 纯滚动时摩擦力的功 车轮沿地面作纯滚动 v O w 摩擦力作的元功： G FN FS C 纯滚动时的摩擦力不作功。 皮带轮传动中，若皮带与轮的接触处无相对滑动，则它们之间相互作用的摩擦力都是静摩擦力，这一对摩擦力作功之和为零。

13.3.4 动能定理的应用 动能定理直接建立了速度、力、路程之间的关系，应用动能定理可以求解与这些量有关的动力学问题。 常见的理想约束系统，动能定理直接给出了主动力与运动量的关系，因而求解有关的运动量特别简便。 动能定理是一个标量方程，一般只能求解一个未知量。 步骤： （1）取研究对象，一般取整个质点系作为研究对象。 （2）分析运动，计算动能或动能的微分。 （3）分析受力，计算力的功或元功，受力图上只画作功的力 （4） 应用动能定理求解有关的未知量。

例4 卷扬机。鼓轮在常力偶 M 作用下将圆柱沿斜坡上拉。已知鼓轮半径 R1，质量 m1，质量分布在轮缘上，圆柱半径R2，质量 m2，质量均匀分布。斜坡倾角q，圆柱纯滚动。系统从静止开始运动，求圆柱中心 C 经过路程 S 时的速度。 解：（1）圆柱和鼓轮组成的质点系。 j S （2）运动分析，计算质点系动能 M q O C R1 R2 vC w1 w2

（3）受力分析，计算主动力的功 （4） 动能定理 ： j S M q O C R1 R2 vC m1g w1 w2 m2g

例5 提升重物系统，物 A 重 G=980N，定滑轮质量 m1=10 kg，半径 R=20cm，动滑轮质量 m2 =6kg，半径 r=R / 2。两滑轮均为均质圆盘，现用常力 F=600N 的拉力提升重物，试求物 A 上升的加速度。 wO 解：( 应用积分形式动能定理) C r R O A F （1）取整个系统为研究对象。 （2）运动分析，计算系统动能 vE vC = vA wC C D E wC vA h 设系统从静止开始运动

wO C r R O A F vE vC = vA wC C D E wC vA h

物 A 上升 h 时，F 沿其作用线方向的位移为 2h wO C r R O A F （3）受力分析，计算主动力的功 物 A 上升 h 时，F 沿其作用线方向的位移为 2h m1g vE vC = vA wC C D E wC m2g vA h （4）动能定理： G 求导

讨论：应用动能定理的微分形式 重物在任意位置 h 处的动能 主动力的总元功为： 动能定理的微分形式 wO O F m1g wC C m2g r R O A F m1g 主动力的总元功为： wC m2g vA dh 动能定理的微分形式 G

曲柄 OC 转至任一角时，角速度为 w。P 为 AB 杆的速度瞬心 例6 水平面内的椭圆规尺。曲柄 OC 和规尺 AB 为均质细杆，其质量分别为 m1 和 2m1 ，且 OC=AC=BC= l ，滑块 A 和 B 的质量均为 m 。作用常值转矩 M0，不计摩擦，试求曲柄在 OB 线上从静止开始转过一周时的角速度和角加速度。 解：机构为理想约束系统。 vA （1）求角加速度a 。 曲柄 OC 转至任一角时，角速度为 w。P 为 AB 杆的速度瞬心 B A j C O M0 wAB P vC w vB

vA B A j C O M0 wAB P 系统动能为： vC w vB 微分得： 外力功：

a 为一常量，即曲柄作匀加速转动。 （2）求曲柄的角速度w2 。 初瞬时系统静止： j = 2p 瞬时为末瞬时： vA wAB A P vC O M0 wAB P vC w a 为一常量，即曲柄作匀加速转动。 （2）求曲柄的角速度w2 。 vB 初瞬时系统静止： j = 2p 瞬时为末瞬时：

vA B A j C O M0 wAB P 外力功： vC w j = 2p 时：曲柄的角速度 vB

讨论： （1） 任意位置时的角加速度积分得该瞬时的角速度 积分： 初始条件： （2） 任意位置时的角速度微分得该瞬时的角加速度

13.4.1 势力场与势能 力场：若质点在某一空间中所受力的大小和方向完全由质点的位置决定，则称这部分空间为力场。 势力场或保守力场：当质点在力场中运动时，作用于质点上的力作的功，只决定于质点的起始和末了位置，而与该质点的运动路径无关。 质点所受势力场的力，称为有势力或保守力 。 例如：重力、弹性力、万有引力都是有势力。

势能或位能：质点在势力场中某位置时，有势力所具有的作功能力。 质点的势能在势力场中是一个相对值，是相对势能零点而言 在势力场中任选点 M0 作为势能零点。质点从任一点 M 运动到 M0 的过程中，作用于该质点的有势力所作的功，定义为质点在 M 处的势能。 势能函数：有势力的功只和质点运动的始末位置有关，质点的势能可表示为质点位置坐标 (x，y，z) 的单值连续函数

取势能零点 M0 ，质点在 M1、 M2 点处的势能为V1 和 V2 。 即，质点从 M1 至 M0 时有势力的功，与质点由 M1 径过点 M2 再到点 M0 的有势力的功应相等。 有势力的功等于质点在运动始末位置时的势能之差。 因此，任选势能零点，不影响有势力的作功。 势力场中，势能相等的各点所组成的曲面，称为等势面。

13.4.2 常见势力场中的质点势能 重力场 取势零点为 M0 ( x0 ，y0 ，z0 ) ，重力为 G 质点在重力场中 M (x ，y ，z )点处的势能 ： 弹性力场 取弹簧无变形的原长处为势能零点，质点在弹性力场中弹簧变形为d 的 M 处的势能为

13.4.3 机械能守恒定理 质点系在势力场中运动，始末位置的动能分别为T1和 T2，势能分别为 V 1 和 V 2 。 动能定理的积分形式： 有势力的功等于质点系在始末位置时的势能之差： 机械能 ：质点系在任一位置处的动能和势能之和。 质点系在势力场中运动时，其机械能保持不变——机械能守恒定理

机械能守恒的质点系称为 保守系统 。 势力场中，质点系的动能和势能可以相互转化，但机械能保持不变。 质点系在非保守力作用下运动，则机械能不再守恒。 例如：摩擦力作功將使机械能减少，而转化为另一种形式的热能。但机械能与其它形式能量的总能量仍是守恒的，即能量守恒。

取水平位置为摆的重力势能零点和弹性力势能零点（零势能位置）。 例7 摆重 G，点 C 为重心。在点 D 处用弹簧悬挂，摆可在铅直平面内摆动。摆对轴 O 的转动惯量 J0 ，弹簧刚性系数 k ；摆杆在水平位置时 ，弹簧长度恰好等于原长 l0 ，OD = CD = b。求摆从水平位置无初速地释放后作微幅摆动时，摆角速度与 j 角的关系。 C l0 O j D 解：取摆为研究对象。 （1）受力分析 摆的机械能守恒。 F 取水平位置为摆的重力势能零点和弹性力势能零点（零势能位置）。 G 摆在运动过程中机械能恒等于零。（初始位置机械能为零）

末了位置（微幅摆动 j 角） 动能： C l0 O j D 重力势能： F 弹性力势能： G 末了位置的机械能： 机械能守恒：

动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理 。 动量和动量矩定理为矢量形式，不仅能求出运动量的大小，还能求出它们的方向；对于质点系，动量和动量矩的变化只取决于外力的主矢和主矩，与内力无关。 动能定理是标量形式，不反映运动量的方向性；作功的力则包含外力和内力。 若已知主动力求质点系的运动，对于理想约束系统，尤其是多刚体系统，应首选动能定理求解。 若已知质点系的运动求未知力，可选取质心运动定理，动量矩定理或刚体平面运动微分方程。

普遍定理综合应用三方面的问题 已知主动力和运动初始条件 已知主动力和运动初始条件 系统的运动 ① ③ ② 约束反力 系统的运动 约束反力 质心运动定理；动量定理；动量矩定理；刚体平面运动微分方程。 动能定理；质心运动定理；动量定理；动量矩定理；定轴转动微分方程；刚体平面运动微分方程；各种守恒定理。 动能定理；质心运动定理；动量定理；动量矩定理；定轴转动微分方程；刚体平面运动微分方程；各种守恒定理。 ③ ② 约束反力 系统的运动 约束反力

取杆的铅垂和水平位置为杆运动的初始位置和末了位置。 例8 均质细直杆 OA 重 G=100N，长 l=4m ，A 端用刚度系数 k=20N / m 的弹簧连于 B 点。此时弹簧无伸长。当杆在铅垂位置时，施加矩为 M =20 N·m 的力偶作用，使杆从静止开始作转动，求杆转到水平位置时 O 处的反力。 解：（1）求 OA 杆的 w。 取杆的铅垂和水平位置为杆运动的初始位置和末了位置。 初始位置动能： T 1 = 0 末了位置动能： B k O A 4m 3m M w

重力、弹性力和力偶的功： 动能定理 ： （2）求 OA 杆的 a ： 杆在水平位置时受到弹性力： 刚体转动微分方程： B k O A 4m w 重力、弹性力和力偶的功： F G 动能定理 ： a （2）求 OA 杆的 a ： 杆在水平位置时受到弹性力： 刚体转动微分方程：

O M w F G a FOx FOy A （3）求反力 ： aCt aCn 杆在水平位置时，其质心加速度 质心运动定理：

例9 均质细杆长 l ，质量 m ，静止直立于光滑水面上。当杆受微小干扰而倒下，求杆刚刚达到地面时的角速度和地面约束力。 解：取直杆为研究对象 直杆沿水平方向不受力，质心将铅直下落。 mg FN w C q A P vC vA 杆的角速度： 初始位置动能： 任意位置动能： 外力功：

动能定理： q = 0 时解出： 杆刚达到地面，刚体平面运动微分方程得： mg FN w C q A P vC vA mg FN C A a aC

mg FN C A aA a aC 沿铅垂方向投影得： 联解得：

例10 均质杆AB，l，m，初始铅直静止，无摩擦。求：1）B 端未脱离墙时， 摆至 q 角位 置时的 w ，a，FBx , FBy； 2）B 端脱离瞬间的 q1 ； 3）杆着地时的 vC 及 w2 解：（1） C q A B FBx FBy mg a w aCt aCn

C q A B FBx FBy mg a w aCt aCn （ 2 ）脱离瞬间时

（3）脱离后，水平动量守恒， 脱离瞬时： 杆着地时，AC 水平 由铅直——水平全过程 C q1 A B w1 vC C B w2 vCx A vCy vB 由铅直——水平全过程

例11 重 150N 的均质圆盘与重 60N、长 24cm 的均质杆AB 在 B 处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置 B 点时的速度及支座 A 的约束反力。 解：（1）取圆盘为研究对象 A 60° B B FBx FBy G2 圆盘相对质心的动量矩守恒。 圆盘平动。

（2）用动能定理求速度 A 60° B 取系统研究，初始时： T1= 0 最低位置时： G1 G2 w vB 主动力的功： 动能定理

A B G1 G2 FAx FAy （3）用动量矩定理求杆的角加速度a 。 w 杆质心 C 的加速度： 盘质心加速度：

A B G1 G2 FAx FAy w aC aB （4）由质心运动定理求支座反力。 研究整个系统。

The End