电磁场理论 第9章 导行电磁波 9-2 矩形波导的传输特性 2018/12/31 电磁场与电磁波

假设电磁波 (坡印廷矢量方向)沿 +z 方向传播 复习9-1导波系统和电磁波模式(1) 假设电磁波 (坡印廷矢量方向)沿 +z 方向传播 TEM波 TE波 TM波 (Transverse ElectroMagnetic) (Transverse Electric) (Transverse Magnetic) Ez＝0, Hz＝0 Ez＝0, Hz ≠ 0 Ez ≠ 0, Hz＝0 2018/12/31 电磁场理论

复习9-1导波系统和电磁波模式(2) 导波系统中电场强度和磁场强度横向分量的一般表达式： 给定波导具体结构，即可求解 Ez0 和 Hz0 2018/12/31 电磁场理论

9-2 矩形波导的传输特性 矩形波导电磁场计算 1. 矩形金属波导几何结构如图所示，宽壁的内尺寸为 a ，窄壁的内尺寸为 b 。 z y x b  , 2.如图所示建立直角坐标系。 3. 根据9-1中的内容：金属波导中只能传输TM波或者TE波。 4. 下面分两种情况来讨论，首先讨论波导中仅有TM波， 5. 根据9-1中的纵向分量法，只要得到电场和磁场的纵向分量，就可以利用波导电磁场的一般表达式得到横向分量，因此，首先求解此情况下电场的纵向分量。 2018/12/31 电磁场理论

对于矩形波导，可以采用分离变量法来求解电场振幅方程。 z分量振幅满足标量亥姆赫兹方程 矩形波导纵向电场 对于矩形波导，可以采用分离变量法来求解电场振幅方程。 设 将这个表达式代入上面方程并进行化简可以得到 方程对x求导，第二项等于0，方程右边等于0，显然可以得到第一项等于常数；同理对y求导也可以得到第二项也是一个常数， 设 其中 和 是分离常数 2018/12/31 电磁场理论

上述方程的通解分别为 待确定常数 将通解代入电场振幅 可以得到 边界条件： 纵向电场表达式 常数 2018/12/31 电磁场理论 将通解代入电场振幅 可以得到 边界条件： 边界条件原因理想导体电场处处与导体表面垂直，因此仅有法向分量，没有切向分量。 纵向电场表达式 常数 2018/12/31 电磁场理论

矩形波导中TM模式的电磁波表达式为 矩形波导中TM波阻抗 2018/12/31 电磁场理论

讨论 1. 矩形波导中，纵向为行波，横向为驻波； 2. 矩形波导中传输平面波，因为相位仅与z有关； 3. 矩形波导中传输非均匀平面波，因为振幅与x和y有关； 4. 当m或n等于0时，电磁场各个分量等于0，没有意义，因此m和n不能等于0。根据驻波的性质，m和n为x方向和y方向半个驻波的数目； 5. 当m或n可以是任意正整数，因此矩形波导中可以传输的模式很多，记为称为 TMmn 波；小的 m 和 n 称为低次模式，大的 m 和 n 称为高次模式。由于 m 和 n 均不能为零，因此，矩形波导中TM波的最低模式是TM11波。 2018/12/31 电磁场理论

前面我们讨论了矩形波导中传输TM波的情况，对于波导中仅传输TE波的情况也是可以采用完全一样的方法得到： a z y x b  , 前面我们讨论了矩形波导中传输TM波的情况，对于波导中仅传输TE波的情况也是可以采用完全一样的方法得到： 2018/12/31 电磁场理论

讨论 矩形波导中TE波阻抗 1. 矩形波导中，纵向为行波，横向为驻波；非均匀平面波； 2. 当m和n同时等于0时，电磁场各个分量等于0，没有意义，因此m和n不能同时等于0。因此矩形波导中TE波的最低模式为TE10或者TE01； 2018/12/31 电磁场理论

上面我们介绍了矩形波导中TM和TE波的传输模式的计算情况，下面我们就利用前面的计算结果来讨论矩形波导中一个非常重要的概念：截止频率。 截止频率 ：对于一定的模式和波导尺寸来说，截止频率是能够传输该模式的最低频率。 我们可以定义截止传播常数和截止波长 这三个是可以相互推导的，记住截止传播常数就可以推导出其它的量。 2018/12/31 电磁场理论

（1）当 时， 为实数， 表示沿正z方向传播的波，波矢 为z方向的传播常数。 频率大于波导的截止频率的波能够在导波系统中传播。 以TM波为例来讨论： （1）当 时， 为实数， 表示沿正z方向传播的波，波矢 为z方向的传播常数。 频率大于波导的截止频率的波能够在导波系统中传播。 （2）当 时， 为虚数， ，表明这种波是沿着z方向不断衰减的凋落场，不能正常传播。 频率低于波导的截止频率的波不能够在导波系统中传播。 对于一定的模式和波导尺寸来说， 是能够传输该模式的最低频率，波导相当于一个高通滤波器。 上面的所有结论对TE波同样成立。 2018/12/31 电磁场理论

2. 电磁波的模次越高，截止频率越高，截止波长越短。 根据 m 和 n 的取值，可得 TMmn 波和 TEmn 波的截止频率如下。 1. 截止频率和截止波长不但与波导的几何尺寸 a 和 b 有关，而且还与电磁波的模式 m 和 n 有关。另外，截止频率还与波导中的介质特性（磁导率和电介质常数）有关。 2. 电磁波的模次越高，截止频率越高，截止波长越短。 根据 m 和 n 的取值，可得 TMmn 波和 TEmn 波的截止频率如下。 对于矩形波导，通常假定 a > b 。 2018/12/31 电磁场理论

讨论 如果选取 a = 2b ，则有 简并模式 简并模式 填充空气的矩形波导中TM波和TE波的截止频率分布 主模频率范围 先从截止频率这一方面来说明这个问题，即小于最低截止频率的波不能在波导中传输；在处于最小和次小模式之间的频率，可以实现单模传输。下面我们再从波长的角度来阐述这个问题。 2018/12/31 电磁场理论

继续前面的讨论 全部模式被截止。 截止区 主模区 只有 TE10 波存在，其它模式均被截止。 其它模式开始出现，呈现多模式。 4. 实际工程中通常选取： 2018/12/31 电磁场理论

矩形波导中的相速度（等相位面的传播速度） 上面我们介绍了矩形波导中的截止频率这个概念及计算方法，下面我们将继续利用本节课开始的时候推导的公式来矩形波导中的相速度、群速度、波导波长、波导波阻抗等波的基本概念在波导中的应用。 矩形波导中的相速度（等相位面的传播速度） （1）波导中的相速度与介质特性、波的频率、截止频率有关； 截止频率由波导尺寸和模式决定，因此波导中波的相速度与波导尺寸和模式都有关。 （2）如果波导中为真空，波速v是真空光速c，可见真空波导中电磁波的相速度大于光速（并不代表信息/能量传播速度）； （3）截止频率由波导尺寸和模式决定，因此波导中波的相速度与波导尺寸和模式都有关。 2018/12/31 电磁场理论

矩形波导中电磁波的群速度（电磁波能量传播速度） 对同一波导的同一模式： 真空 （1）波导中的群速度与介质特性、波的频率、截止频率有关； 所以对于波导泛泛而言群速度和相速度的乘积等于一个常数并不严谨，需要明确该公式的成立条件。 （2）如果波导中为真空，波速v是真空光速c，可见真空波导中电磁波的群速度小于光速（是信息/能量传播速度）； （3）截止频率由波导尺寸和模式决定，因此波导中波的群速度与波导尺寸和模式都有关。 2018/12/31 电磁场理论

（1） 为工作波长，在参数为 和 无限大介质中的电磁波波长; 矩形波导中电磁波的波导波长 （1） 为工作波长，在参数为 和 无限大介质中的电磁波波长; （2） 为波导波长，在介质为 和 矩形波导中传输电磁波波长; （3）波导波长大于工作波长，与波导的尺寸和模式有关； 2018/12/31 电磁场理论

矩形波导中电磁波的波导波阻抗 TM波的波导波阻抗： 无限大介质波阻抗： TE波的波导波阻抗 2018/12/31 电磁场理论

例题9-2-1 设填充空气的矩形金属波导横截面尺寸为 a = 25 mm，b = 10 mm，对于频率 f = 104 MHz 的电磁波，该波导能够传输的模式是什么？如果波导中填充相对介电常数为 4 的理想介质，该波导能够传输的模式又如何变化？ 当波导中填充空气时，电磁波的工作波长为 截止波长为（注意统一单位）： 只能传输 TE10 波 2018/12/31 电磁场理论

波导中填充相对介电常数为 4 的理想介质,电磁波的工作波长为 截止波长为（与填充介质无关）： 该波导能够传输的模式有(工作波长小于截止波长)： TE10，TE20，TE01，TE11，TM11，TE30，TE21，TM21 2018/12/31 电磁场理论

本节课小结：矩形波导的传播特性 下一节课：矩形波导中的TE10波 1. 矩形波导系统TM和TE波电场和磁场的表达式； 2. 矩形波导截止频率和截止波长这两个非常重要的概念； 3. 矩形波导中电磁波的群速度、相速度、波导波长、波导波阻抗这些概念； 4. 介绍了怎么利用截止频率和截止波长来计算矩形波导中电磁波的传输模式问题。 下一节课：矩形波导中的TE10波 我们将在本节课的基础上着重研究矩形波导中的主模TE10波的各种性质。 2018/12/31 电磁场理论