必修5第三章复习 不等式

1.不等式的基本性质 作差比较法 作商比较法

不等式的性质 性质1 如果a>b,那么b<a; 如果b<a,那么a>b 如果a>b, b>c, 那么a>c. 性质2 性质3 如果a>b, 那么a+c>b+c 性质4 如果a>b, c>0,那么ac>bc; 如果a>b, c<0,那么ac<bc. 性质5 如果a>b, c>d,那么a+c>b+d; 性质6 如果a>b>0, c>d>0,那么ac>bd; 性质7 如果a>b>0, 那么an>bn ， (nN,n2); 性质8 如果a>b>0, 那么 如果b<a<0, 那么 如果b<0<a, 那么

当判别式△=b2-4ac>0时 大于符号取两边 小于符号取中间 y x y x x1 x2 x1 x2 2.一元二次不等式的解法: 不等式ax2+bx+c>0(a>0)与不等式ax2+bx+c<0(a>0) 当判别式△=b2-4ac>0时 不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集为 大于符号取两边 小于符号取中间 y x O y x O x1 x2 x1 x2

3.二元一次不等式的平面区域的判定: 坐标平面内的任一条直线Ax+By+C=0把坐标平面分成三部分,即直线两侧的点集及直线上的点集,它们构成不同的平面区域. 在相应直线的一侧任取一点(x0,y0),代入Ax+By+C,通过Ax0+By0+C的正负,结合原不等号方向判定.一般取原点(0,0). 4.简单线性规划问题的解法: (1)目标函数、约束条件、线性规划、可行解、最优解 (2)解题步骤:设出未知数,列出约束条件,确定目标函数,作出可行域,作平行线使直线与可行域有交点,求出最优解并作答. (3)简单线性规划问题的解法称为图解法,即通过研究一族平行直线与可行域有交点时,直线在y轴上的截距的最大(小)值求解.

5.基本不等式: (1)重要不等式:对任意实数a,b,a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时,等号成立. 基本不等式:a,b是正数,则 ,当且仅当a=b时,等号成立. (2)设x,y都是正数,则有 若x+y=p(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值P2/4; 若xy=s(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值 (3)利用基本不等式求最大(小)值问题要注意”一正二定三相等”,为了达到使用基本不等式的目的,常常需要对代数式进行通分分解等变形,构造和为定值或积为定值的模型.

一、含参数的一元二次不等式的解法 例1 ：(12分)解关于x的不等式(a∈R)． (1)2x2＋ax＋2＞0； (2)ax2－(a＋1)x＋1＜0. 【思路点拨】 题号 分析 (1) 对相应方程的判别式进行讨论，按二次不等式的解法求解 (2) 先对二次项的参数进行讨论，再按二次不等式的解法求解

2．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)． 解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. ∴当a<0时，a<a2，解集为{x|x<a或x>a2}； 当a＝0时，a2＝a，解集为{x|x≠0}； 当0<a<1时，a2<a，解集为{x|x<a2或x>a}； 当a＝1时，a2＝a，解集为{x|x≠1}； 当a>1时，a<a2，解集为{x|x<a或x>a2}．

二、有关一元二次不等式恒成立的问题

Δ<0 (2)分离参数法，将恒成立问题转化为求最值问题，即： k≥f(x)(k>f(x))恒成立⇔k≥f(x)max(k>f(x)max)；k≤f(x)(k<f(x))恒成立⇔k≤f(x)min(k<f(x)min)． Δ<0

(12分)设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围． 【思路点拨】由于二次项系数中含有参数m，故要先对m进行讨论，再利用一元二次不等式的恒成立构造关于m的不等式求解．

【题后总结】不等式恒成立的问题实质上就是最值问题，因此解决恒成立问题的一种常用方法就是分离参数法，即把所求范围的参数放在不等式的一边，化成k>f(x)(或k<f(x))的形式，然后通过求f(x)的最大(小)值来解决．

若把本例的条件改为“当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立”，则如何求m的取值范围？

三、求线性目标函数的最值

答案：C

(1)解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．

【借题发挥】求线性目标函数最值问题的步骤： (1)作图——画出约束条件(不等式组)所表示的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l. (2)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置． (3)求值——解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出目标函数的最值．

四、求非线性目标函数的最值 求非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，利用数形结合的方法求解．如两点间的距离(或距离的平方)、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等．

【思路点拨】确定目标函数的几何意义，再利用解析几何知识并结合可行域求最值或范围．

解析：(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

答案：25

(2)作出可行域如图所示，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．

本例(2)中，若条件不变，将问题改为“z＝x2＋y2－10y＋25的最小值为______．”则如何求解？ 解析：z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方．

五、求参数的范围或最值 这是关于线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率间的关系．

【思路点拨】画出可行域，结合图形并利用取得最值的条件和参数的关系求解．

解析：(1)由选项知m>0，作出可行域如图．目标函数z＝x－y对应直线y＝x－z经过可行域内的点A时，－z取最大值1，从而z取最小值－1.

答案：B

(2)由约束条件画出可行域(如图阴影部分所示)，点C的坐标为(3,1)，由题意知，只有当直线y＝－ax＋z经过点C时，该直线在y轴上的截距z才最大．∴－a<kCD．即－a<－1，∴a>1. 答案：(1，＋∞)

2．已知平面区域D由以A(1,3)，B(5,2)，C(3,1)为顶点的三角形内部及边界组成．若在区域D上有无穷多个点(x，y)可使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝(　　)

答案：C

六、用线性规划解决实际问题 在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最好；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．

(12分)某公司计划2014年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分和200元/分，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？

作二元一次不等式组所表示的可行域，如图阴影部分所示. 6分 作直线l：3 000x＋2 000y＝0， 即3x＋2y＝0，平移直线l，由图可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值. 8分

3．某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为多少元？

解析：设甲种设备需要生产x天，乙种设备需要生产y天，该公司所需租赁费为z元，则z＝200x＋300y，甲、乙两种设备生产A、B两类产品的情况如表所示： 设备　 A类产品(件)(≥50) B类产品 (件)(≥140) 租赁费 (元) 设备甲 5 10 200 设备乙 6 20 300

作出不等式表示的平面区域如图中阴影，

误区：忽视最优解为整数致误 【典例】某实验室需购某种化工原料106 kg，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35 kg，价格为140元；另一种是每袋24 kg，价格为120元．在满足需要的条件下最少要花费多少钱？

画出可行域如图阴影部分所示：

3.4基本不等式

七、利用基本不等式证明不等式、比较大小 1.两个不等式都具有放缩的功能，因此利用不等式可将数式放大或缩小，即可用来判断大小关系． 2在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外特别要注意等号成立的条件． 1.两个不等式都具有放缩的功能，因此利用不等式可将数式放大或缩小，即可用来判断大小关系．

八、构造基本不等式求最值

2．应用基本不等式可以求某些函数或代数式的最值，但要注意以下三点： (1)a、b一定为正数． (2)a＋b与a·b有一个为定值，才能求另一个的最值． (3)等号必须取到． 以上三点可简记为“一正、二定、三相等”，且三个条件缺一不可．

【思路点拨】应用基本不等式求解．按“一正、二定、三相等”的原则挖掘条件，检查是否具备，再利用基本不等式求解．

即x＝1时等号成立． ∴函数的最大值为－1.

【题后总结】(1)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子进行适当的“拆项、添项、配凑、变形”等，以创设应用基本不等式的条件． (2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利用单调性、数形结合、换元法、判别式法等.

九、利用基本不等式解应用题 (12分)如图所示，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？

当且仅当25a＝40b，且ab＝9 000，即a＝120，b＝75时等号成立.10分 即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24 500 cm2. 故广告的高为140 cm，宽为175 cm时， 可使广告的面积最小.12分

即当x＝140，y＝175时， S取得最小值24 500 cm2. 故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时， 可使广告的面积最小.12分

误区：多次使用基本不等式时忽视等号成立的一致性致误

【考情分析】 不等式的应用非常广泛，它贯穿于高中数学的始终．通过近几年的高考试题来看，不等式重在考查简单线性规划的应用、基本不等式的应用和一元二次不等式的解法．常以选择题、填空题的形式考查基本知识，不等式的解法，基本不等式也可作为解题工具出现在解答题中． 考查角度通常有如下几个方面：

一是对各类不等式解法的考查，其解题关键是对于生疏的、非规范化的题目转化为熟悉的、规范化的问题去求解． 二是对含参数的不等式的解法的考查，解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行求解． 三是与函数、三角函数、向量等知识相结合，以解题工具的面貌出现在解答题中，以求解参数的取值范围为主，并且将更加突出不等式的灵活性、综合性及应用性的考查．

答案：B

解析：约束条件表示的平面区域如图阴影部分所示． 当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点A时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x＋y－3＝0上，则m＝1. 答案：B

答案：A

解析：先作出可行域，如图阴影部分所示： 当线性目标函数经过点A(1,0)时，目标函数z＝2x＋3y有最小值2. 答案：2

5．(2012江苏高考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为______．

答案：9