本次课讲授:第二章第十一节,第十二节,第三章第一节, 下次课讲第三章第二节,第三节,第四节; 下次上课时交作业P29—P30

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1 §2.2 离 散 型 随 机 变 量 §2.1 随 机 变 量 的 概 念 §2.3 超几何分布 · 二项分布 · 泊松分布 1. “0-1” 分布 ( 两点分布 ) 3. 二项分布 4. Poisson 分布 2. 超几何分布 n →∞ , N→∞ , (x = 0, 1, 2, , n) (x.
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第二章 导数与微分 习题课 主要内容 典型例题 测验题. 求 导 法 则求 导 法 则 求 导 法 则求 导 法 则 基本公式 导 数 导 数 微 分微 分 微 分微 分 高阶导数 高阶微分 一、主要内容.
全微分 教学目的:全微分的有关概念和意义 教学重点:全微分的计算和应用 教学难点:全微分应用于近似计算.
第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 随机变量的独立性
第四章 随机变量的数字特征 随机变量的分布是对随机变量的一种完整的描述,知道随机变量的分布就全都知道随机变量的所有特征。然后随机变量的概率分布往往不容易求得的。 随机变量的这些统计特征通常用数字表示的。这些用来描述随机变量统计性的数字称为随机变量的数字特征。其中最重要的是数学期望(均值)和方差二种。
第三章 函数逼近 — 最佳平方逼近.
6.6 单侧置信限 1、问题的引入 2、基本概念 3、典型例题 4、小结.
《高等数学》(理学) 常数项级数的概念 袁安锋
概率论与数理统计.
第四章 随机变量的数字特征 主讲教师:董庆宽 副教授 研究方向:密码学与信息安全
例题 教学目的: 微积分基本公式 教学重点: 牛顿----莱布尼兹公式 教学难点: 变上限积分的性质与应用.
高等数学电子教案 第五章 定积分 第三节 微积分基本定理.
第五节 微积分基本公式 、变速直线运动中位置函数与速度 函数的联系 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式.
一、原函数与不定积分 二、不定积分的几何意义 三、基本积分公式及积分法则 四、牛顿—莱布尼兹公式 五、小结
第二节 微积分基本公式 1、问题的提出 2、积分上限函数及其导数 3、牛顿—莱布尼茨公式 4、小结.
第四章 定积分及其应用 4.3 定积分的概念与性质 微积分基本公式 定积分的换元积分法与分部积分法 4.5 广义积分
数 学 分 析 第九章 定积分 第二节 微积分学基本公式 主讲:师建国.
第四章 函数的积分学 第六节 微积分的基本公式 一、变上限定积分 二、微积分的基本公式.
第三节 协方差及相关系数 协方差 相关系数 课堂练习 小结 布置作业.
第四章 一元函数的积分 §4.1 不定积分的概念与性质 §4.2 换元积分法 §4.3 分部积分法 §4.4 有理函数的积分
第5章 定积分及其应用 基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
定积分习题课.
主要内容 § 3.1 多维随机变量及联合分布 联合分布函里数 联合分布律 联合概率密度 § 3.2 二维随机变量的边缘分布
第三节 函数的求导法则 一 函数的四则运算的微分法则 二 反函数的微分法则 三 复合函数的微分法则及微分 形式不变性 四 微分法小结.
第三节 格林公式及其应用(2) 一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分的求积 四、小结.
第二章 导数与微分 第二节 函数的微分法 一、导数的四则运算 二、复合函数的微分法.
全 微 分 欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校
第三章 导数与微分 习 题 课 主要内容 典型例题.
第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 第二节 方差 第三节 协方差及相关系数 第四节 矩、协方差矩阵.
第5章 §5.3 定积分的积分法 换元积分法 不定积分 分部积分法 换元积分法 定积分 分部积分法.
第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度.
例1 :甲击中的环数; X :乙击中的环数; Y 平较高? 试问哪一个人的射击水 : 的射击水平由下表给出 甲、乙两人射击,他们
§2 求导法则 2.1 求导数的四则运算法则 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 .
第一章 函数 函数 — 研究对象—第一章 分析基础 极限 — 研究方法—第二章 连续 — 研究桥梁—第二章.
第四章 随机变量的数字特征 主讲教师:董庆宽 副教授 研究方向:密码学与信息安全
第四模块 函数的积分学 第三节 第二类换元积分法.
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
连续型随机变量及其概率密度 一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结.
习题 一、概率论 1.已知随机事件A,B,C满足 在下列三种情况下,计算 (1)A,B,C相互独立 (2)A,B独立,A,C互不相容
抽样和抽样分布 基本计算 Sampling & Sampling distribution
实数与向量的积.
概 率 论.
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
应用概率统计 主讲:刘剑平.
5.2 常用统计分布 一、常见分布 二、概率分布的分位数 三、小结.
第四章 随机变量的数字特征 我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面地描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问题中,这样的全面描述并不使人感到方便. 已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高.如果不去比较它们的平均值,而只看它们的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握,又难以迅速地作出判断.
在第一章中,我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 推广到随机变量
§6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和.
第三章 多元随机变量及其分布 关键词:二元随机变量 联合分布 边际分布 条件分布 随机变量的独立性 随机变量函数的分布.
第三章 随机变量的数字特征 (一)基本内容 一、一维随机变量的数学期望 定义1:设X是一离散型随机变量,其分布列为:
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结 思考题.
第三章 函数的微分学 第二节 导数的四则运算法则 一、导数的四则运算 二、偏导数的求法.
第4课时 绝对值.
学习任务三 偏导数 结合一元函数的导数学习二元函数的偏导数是非常有用的. 要求了解二元函数的偏导数的定义, 掌握二元函数偏导数的计算.
第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 相互独立的随机变量
第四节 随机变量函数的概率分布 X 是分布已知的随机变量,g ( · ) 是一个已知 的连续函数,如何求随机变量 Y =g(X ) 的分布?
第一部分:概率 产生随机样本:对分布采样 均匀分布 其他分布 伪随机数 很多统计软件包中都有此工具 如在Matlab中:rand
第15讲 特征值与特征向量的性质 主要内容:特征值与特征向量的性质.
§5.2 抽样分布   确定统计量的分布——抽样分布,是数理统计的基本问题之一.采用求随机向量的函数的分布的方法可得到抽样分布.由于样本容量一般不止2或 3(甚至还可能是随机的),故计算往往很复杂,有时还需要特殊技巧或特殊工具.   由于正态总体是最常见的总体,故本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.
第三章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions)
定义 设连续型随机变量 概率密度为 分布函数是 特别地, 其概率密度为 一、正态分布的相关内容:.
难点:连续变量函数分布与二维连续变量分布
7.4 随机变量的数字特征 离散型随机变量的数学期望和方差 连续型随机变量的数学期望和方差
教学建议 学习目标 § 7.1 随机事件 § 7.2 事件的概率及概率的加法公式 § 7.3 概率的乘法公式与事件的独立性
第三章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions)
第四章 函数的 积分学 第七节 定积分的换元积分法     与分部积分法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法.
三角 三角 三角 函数 余弦函数的图象和性质.
§4.1数学期望.
第二节 偏 导 数 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数.
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本次课讲授:第二章第十一节,第十二节,第三章第一节, 下次课讲第三章第二节,第三节,第四节; 下次上课时交作业P29—P30 第九讲 二维变量函数的分布与期望 本次课讲授:第二章第十一节,第十二节,第三章第一节, 下次课讲第三章第二节,第三节,第四节; 下次上课时交作业P29—P30 重点:二维变量函数的分布 难点:二维随机变量函数的分布。

第九讲 二维变量函数的分布与期望 一、X、Y是连续型随机变量时:和的分布 1.连续变量和的分布函数: 设Z为连续随机变量 X 与 Y 的和, 第九讲 二维变量函数的分布与期望 一、X、Y是连续型随机变量时:和的分布 1.连续变量和的分布函数: 的分布函数: 考虑随机变量 设Z为连续随机变量 X 与 Y 的和, 求 x + y = z

第九讲 二维变量函数的分布与期望 特殊地,如果X 与Y 独立,则 或

第九讲 二维变量函数的分布与期望 例9-1-1(07数学一,11分)

第九讲 二维变量函数的分布与期望

第九讲 二维变量函数的分布与期望

第九讲 二维变量函数的分布与期望 2. 平方和的分布 设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 f (x, y), 寻求 的分布。 第九讲 二维变量函数的分布与期望 2. 平方和的分布 设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 f (x, y), 寻求 的分布。 考虑 Z 的分布函数: 显然有 从而有

第九讲 二维变量函数的分布与期望 设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 例9-1-2 解 考虑 Z 的分布函数 显然有 从而有

第九讲 二维变量函数的分布与期望

第九讲 二维变量函数的分布与期望 3. 最大值与最小值的分布 设随机变量X与Y 独立,它们的分布函数分别为 第九讲 二维变量函数的分布与期望 3. 最大值与最小值的分布 设随机变量X与Y 独立,它们的分布函数分别为 (1) 最大值的分布 (最大小于号,小于都小于) (2) 最小值的分布 (最小大于号,大于都大于)

第九讲 二维变量函数的分布与期望 推广到有限多个独立随机变量的情形, 有 特别地, 若 独立同分布,设它们的分布函数为 则

第九讲 二维变量函数的分布与期望 例9-1-3 某仪器由六个相互独立的部件 组成, 联接方式如图所示。设各部件的使用寿命 服从相同的指数 第九讲 二维变量函数的分布与期望 例9-1-3 某仪器由六个相互独立的部件 组成, 联接方式如图所示。设各部件的使用寿命 服从相同的指数 求仪器使用寿命的概率密度。 分布 解 各部件的使用寿命 的分布函数 先求两个串联组的寿命 的分布函数

第九讲 二维变量函数的分布与期望

第九讲 二维变量函数的分布与期望 再求仪器使用寿命Z 的分布函数 Z 的概率密度为

第九讲 二维变量函数的分布与期望 例题9-1-4(2008数学一,4分)

第九讲 二维变量函数的分布与期望 例9-1-5(2001数学三,8分)

第九讲 二维变量函数的分布与期望

第九讲 二维变量函数的分布与期望

第九讲 二维变量函数的分布与期望 二、离散型随机变量的数学期望(均值) 1.定义: 绝对收敛时。 称 当级数 为随机变量 第九讲 二维变量函数的分布与期望 二、离散型随机变量的数学期望(均值) 1.定义: 绝对收敛时。 称 当级数 为随机变量 的数学期望,又称均 值 设 是一离散型随机变量,其分布列为 : 2.均值背景与说明 (1)期望源自平均值之意:例如,某班20名学生,英语成绩按照5分计,该班学生成绩分布为

第九讲 二维变量函数的分布与期望

第九讲 二维变量函数的分布与期望 3.例题讲解 例9-2-1 设随机变量 服从“0—1”分布,求数学期望 解 第九讲 二维变量函数的分布与期望 3.例题讲解 例9-2-1 设随机变量 服从“0—1”分布,求数学期望 解 例9-2-2 设随机变量 ,求数学期望 解

第九讲 二维变量函数的分布与期望

第九讲 二维变量函数的分布与期望 例9-2-3 设随机变量 ,求数学期望 解 例9-2-4:几何分布

第九讲 二维变量函数的分布与期望

第九讲 均值、矩与方差 三. 连续型随机变量的数学期望 1.定义背景

第十讲 均值、矩与方差 2.定义: 设 为连续型随机变量, 则 的数学期望为: 其概率密度为 [注] 假定广义积分绝对收敛, 即 存在.

第九讲 均值、矩与方差 例9-3-1 设随机变量 , 求数学期望 3.例题讲解: 解 的密度函数为: 例9-3-2 设随机变量服从指数分布 第九讲 均值、矩与方差 例9-3-1 设随机变量 , 求数学期望 3.例题讲解: 解 的密度函数为: 例9-3-2 设随机变量服从指数分布 求数学期望 的密度函数为: 解

第九讲 均值、矩与方差 四、随机变量函数的数学期望 1.离散型一维变量函数的均值定义 则定义随机变量函数 的数学期望为: 第九讲 均值、矩与方差 四、随机变量函数的数学期望 1.离散型一维变量函数的均值定义 则定义随机变量函数 的数学期望为: 2.连续型一维变量函数的均值定义

第九讲 均值、矩与方差 [注]:假定积分 绝对收敛。 的数学期望为: 则定义随机变量函数 X 的分布密度为 , 例9-4-1 设随机变量 第九讲 均值、矩与方差 [注]:假定积分 绝对收敛。 的数学期望为: 则定义随机变量函数 X 的分布密度为 , 例9-4-1 设随机变量 的概率分布为: 求随机变量函 数 的数学期望. -2 -1 1 2 3 0.10 0.20 0.25 0.15

第九讲 均值、矩与方差 解 例9-4-2

第九讲 均值、矩与方差 例9-4-3

第九讲 均值、矩与方差 五. 二维随机变量条件下的单变量数学期望

第九讲 均值、矩与方差

第九讲 均值、矩与方差

第九讲 均值、矩与方差 2.例题讲解: 例9-5-1 设二维随机变量 ( X, Y ) 服从区域D={(x , y)| 0≤x≤1,0≤y≤x } 上的均匀分布,求:E(X), E(Y), E(XY). x y y = x

第九讲 均值、矩与方差 例9-5-2 一个系统由两个子系统并联而成,若只有一个子系统发生故障, 第九讲 均值、矩与方差 例9-5-2 一个系统由两个子系统并联而成,若只有一个子系统发生故障, 系统还能正常工作,设两个子系统的工作寿命分别为:X,Y, 且相互独立,并服从相同的指数分布: 求:系统工作寿命 T 的数学期望.

第九讲 均值、矩与方差 解: 因为X, Y 相互独立,所以 x y y = x

第九讲 均值、矩与方差

第九讲 均值、矩与方差 六、关于数学期望的定理 1.定理与公式 定理(1,2) 证明 若 X 是一离散型随机变量, 第九讲 均值、矩与方差 六、关于数学期望的定理 1.定理与公式 定理(1,2) 证明 若 X 是一离散型随机变量, 若 X 是一连续型随机变量,则有:

第九讲 均值、矩与方差 推论 定理3 证 若X与Y为离散随机变量: 若X与Y 为连续型随机变量

第九讲 均值、矩与方差 推论 定理4 定理5 设随机变量X与Y相互独立,则 证 若X与Y为离散随机变量:

第九讲 均值、矩与方差 = E(X ) E( Y ) 若X与Y 为连续型随机变量 = E(X ) E( Y ) 定理6 第九讲 均值、矩与方差 = E(X ) E( Y ) 若X与Y 为连续型随机变量 = E(X ) E( Y ) 定理6 设随机变量X1, X2,…Xn相互独立,则 2.例题讲解:

第九讲 均值、矩与方差 例9-6-1

第九讲 均值、矩与方差