第四模块　微积分学的应用 第十三节　二阶常系数线性微分方程 一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数线性微分方程的解法 三、应用举例

一、二阶线性微分方程解的结构 二阶微分方程的如下形式 y + p(x)y + q(x)y = f (x) f (x) 称为自由项，当 f (x) 0 时，称为二阶线性非齐次微分方程， 称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程. 　　　　　　　　　　　 当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程， 简称二阶线性非齐次方程. 简称二阶线性齐次方程. 方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自变量的已知连续函数. 这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含 y 或 y 或 y， 且每项均为 y 或 y 或 y 的一次项， 例如 y + xy + y = x2 就是二阶线性非齐次方程. 而 y + x(y)2 + y = x2 就不是二阶线性方程.

　　定理 1　如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的两个解， 则函数 y = C1 y1 + C2 y2 仍为该方程的解， 其中 C1， C2 是任意常数. 　　证　因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个解， 所以有 与

于是有 y + p(x)y + q(x)y = 0 所以 y = C1y1 + C2y2 是 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解.

　　定义　设函数 y1(x) 和 y2(x) 是定义在某区间 I 上的两个函数， 如果存在两个不全为 0 的常数 k1和 k2， 使 k1 y1(x) + k2 y2(x) = 0 　　　　　　　　　则称函数 y1(x) 与 y2(x) 在区间 上是线性相关的，否则称为线性无关. 在区间 I 上恒成立. 我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数， 考察两个函数是否线性相关， 事实上，当 y1(x) 与 y2(x) 线性相关时，有 k1 y1 + k2 y2 = 0， 其中 k1, k2 不全为 0， 不失一般性，

即 y1 与 y2 之比为常数. 反之，若y1 与 y2 之比为常数， 所以 y1 与 y2 线性相关. 则 y1 = l y2，即 y1 - l y2 = 0. 因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关； 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例如函数 y1 = ex，y2 = e -x， 如果不是常数，则它们线性无关. 　　　　　　　　　　　　　　　　所以，它们是线性无关的.

　　定理 2　如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解， 则 y = C1 y1 + C2 y2 是该方程的通解， 其中 C1, C2为任意常数. 　　证　因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解， 所以，由定理 1 知 y = C1 y1 + C2 y2 也是该方程的解. 又因为 y1 与 y2 线性无关，即 y1 与 y2 之比不为常数， 所以它们中任一个都不能用另一个 ( 形如 y1 = ky2 或 y2 = k1 y) 来表示. 故C1 与C2不能合并为一个任意常数， 因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解.

　　定理 3　如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个特解， 则 y = Y + y*， 是线性非齐次方程的通解. 　　证　因为 y*与 Y 分别是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 和线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解， 所以有 y* + p(x)y* + q(x)y* = f (x)， Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .

又因为 y = Y + y*， y = Y + y*， 所以 y + p(x)y + q(x)y = (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*) = (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y*  + p(x) y*+ q(x)y*) = f (x).

这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解， 即 y = Y + y* 是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的通解. 故 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： 　　(1) 求线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的线性无关的两个特解 y1 与 y2， 得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. 　　(2) 求线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的一个特解 y*. 那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*.

定理 4　设二阶线性非齐次方程为 y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)， ① y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)， ② 和 y + p(x)y + q(x)y = f2 (x) ③ 的特解， 则 是方程 ① 的特解.

证　因为 y1* 与 y2* 分别是② 与 ③ 的特解， 所以有 y1* + p(x)y1* + q(x)y1* = f 1(x)， 与 y2* + p(x)y2* + q(x)y2* = f 2(x) . 于是有 = [y1* + p(x)y1* + q(x)y1*] + [y2* + p(x)y2* + q(x)y2*] = f 1(x) + f 2(x) ， 即 y1* + y2* 满足方程 ①，

二、二阶常系数线性微分方程的解法 如果二阶线性微分方程为 y + py + qy = f(x) ， 则称该方程为二阶常系数线性微分方程. 其中 p、 q 均为常数，

1.二阶常系数线性齐次方程的解法 设二阶常系数线性齐次方程为 y + py + qy = 0 . ④ 考虑到左边 p，q 均为常数， 我们可以猜想该方程具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数. 　将 y = rerx, y = r2erx 及 y = erx 代入上式， 得 erx (r2 + pr + q) = 0 . 由于erx  0，因此，只要 r 满足方程 r2 + pr + q = 0， ⑤ 　　　　　　　　　　　　　　　　　y = erx 就是④式的解. 即 r 是上述一元二次方程的根时， 　　　　　　　　　　　　　　　　　 特征方程根称为特征根. 方程⑤称为方程④的特征方程.

1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即 r1  r2. 都是 ④的解， 那么，这时函数 所以 y1 与 y2 线性无关， 因而它的通解为 即 2 特征方程具有两个相等的实根， 这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解 y1 = erx. 还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2， 将 y2 及其一阶、二阶导数 y2 = (uerx) = erx(u(x) + ru(x))， 为此，设 y2 = u(x)y1， 其中 u(x)为待定函数. y2 = erx (u(x) + 2ru(x) + r2u(x))， 代入方程 y+ py + qy = 0 中，得

注意到 是特征方程的重根， 所以有 r2 + pr + q = 0 及 2r + p = 0. 且 erx  0， 因此只要 u(x) 满足 则 y2 = uerx就是 ④式的解， 为简便起见，取方程 u(x) = 0 的一个解 u = x， 于是得到方程 ④且与 y1 = erx 线性无关的解 y2 = xerx. 　因此，④式的通解为

　　3 特征方程具有一对共轭复根 r1 = a + ib 与 r2 = a – ib . 这时有两个线性无关的特解 y1 = e(a + ib )x 与 y2 = e(a - ib )x. 为了便于在实数范围内讨论问题， 这是两个复数解， 我们再找两个线性无关的实数解. 由欧拉公式 (这公式我们将在无穷级数章中补证)，可得

于是有 由定理 1 知，以上两个函数 eax cosbx 与 eax sinbx　均为 ④ 式的解， 　因此，这时方程的通解为 且它们线性无关.

上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是： (1) 写出所给方程的特征方程； (2) 求出特征根； 　 (3) 根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解.

例 1　求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解. 　　解　该方程的特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0, 它有两个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 　 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x, 所以方程的通解为

　　例 2　求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解. 它有重根 r = 2. 　　解　该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0， 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x， 所以通解为 求得 将 y(0) = 1，y(0) = 4 代入上两式，得 C1 = 1，C2 = 2， 因此，所求特解为 y = (1 + 2x)e2x.

例 3　求方程 2y + 2y + 3y = 0 的通解. 　　解　该方程的特征方程为 2r2 + 2r + 3 = 0，它有共轭复根 对应的两个线性无关的解为 所以方程的通解为

例 4　求方程 y + 4y = 0 的通解. 　　解　该方程的特征方程为 r2 + 4 = 0，它有共轭复根 r1,2 =  2i. 即a = 0，b = 2. 　对应的两个线性无关的解 y1 = cos 2x. y2 = sin 2x. 所以方程的通解为

2.二阶常系数线性非齐次方程的解法 1 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x). 设二阶常系数线性非齐次方程为 y + py + qy = Pn(x), ⑥ 其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式. 因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍为多项式， 所以可设 ⑥ 式的特解为 其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式， 当原方程 ⑥ 中 y 项的系数 q  0 时， k 取 0； 当 q = 0，但 p  0 时， k 取 1； 当 p = 0， q = 0 时，k 取 2.

例 5　求方程 y - 2y + y = x2 的一个特解. 解　因为自由项 f (x) = x2 是 x 的二次多项式， 且 y 的系数 q = 1  0，取 k = 0 . 所以设特解为 则 代入原方程后，有

比较两端 x 同次幂的系数，有 解得 A = 1，B = 4，C = 6. 故所求特解为

例 6　求方程 y + y = x3 – x + 1 的一个特解. 　　解　因为自由项 f (x) = x3 – x + 1 是一个 x 的三次多项式， 且 y 的系数 q = 0， p = 1  0，取 k = 1. 所以设方程的特解为 则 代入原方程后，有

比较两端 x 同次幂的系数： 解得 故所求特解为

2 自由项 f (x) 为 Aeax 型 设二阶常系数线性非齐次方程为 y + py + qy = Aeax， ⑦ 其中 a，A 均为常数. 　　由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指数函数， 因此，我们可以设 ⑦ 的特解 其中 B 为待定常数， 当 a 不是 ⑦ 式所对应的线性齐次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根时，取 k = 0； 当 a 是其特征方程单根时，取 k = 1； 当  是其特征方程重根时，取 k = 2.

解 a = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，取 k = 0， 所以，设特解为 例 7　求方程 y + y + y = 2e2x 的通解. 　　解　a = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，取 k = 0， 所以，设特解为 则 . B 7 2 = 代入方程，得 故原方程的特解为

解 a = 1 是特征方程 r2 + 2r - 3 = 0 的单根，取 k = 1， 例 8　求方程 y + 2y - 3y = ex 的特解. 　　解　a = 1 是特征方程 r2 + 2r - 3 = 0 的单根，取 k = 1， 所以，设特解为 则 , 4 1 = B 代入方程，得 故原方程的特解为

3 自由项 f (x) 为 eax (Acos wx + Bsin wx)型 设二阶常系数线性非齐次方程为 y + py + qy = eax (Acos wx + Bsin wx)， ⑧ 其中 a，A ，B 均为常数. 　　由于 p，q 为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数， 正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数， 因此, 我们可以设 ⑧有特解 其中 C，D 为待定常数. 当 a + wi 不是 ⑧ 式所对应的齐次方程的特征方程的根时， 取 k = 0， 是根时， 取 k = 1， 代入 ⑧ 式，求得 C 及 D.

例 9　求方程 y + 3y - y = ex cos 2x 的一个特解. 　　解　自由项 f (x) = ex cos 2x 为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数， 且 a + wi = 1 + 2i，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程 r2 + 3r – 1 = 0 的根， 取 k = 0，所以设特解为 则

代入原方程，得 比较两端 cos 2x 与 sin 2x 的系数，得 解此方程组，得 故所求特解为

例 10　求方程 y + y = sin x 的一个特解. 　　解　自由项 f (x) = sin x 为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数，且 a = 0，w = 1， 且 a + wi = i 是特征方程 r2 + 1 = 0 的根， 取 k = 1，所以，设特解为 则 代入原方程，得

比较两端 sinx 与 cosx 的系数，得 故原方程的特解为 而对应齐次方程 y + y = 0 的通解为 Y = C1cosx + C2sinx. 故原方程的通解为

例 11　方程 y + 4y = x +1 + sinx 的通解. 　　解　自由项 f (x) = x +1 + sinx可以看成 f1 (x) = x +1 和 f2 (x) = sin x 之和， 所以分别求方程 y + 4y = x +1， ⑨ 和 y + 4y = sin x . ⑩ 的特解. 方程 ⑨ 的特解易求得， 设方程 ⑩ 的特解为

代入⑩，得 3Asin x = sin x. 所以 得原方程的特解

　　原方程所对应的线性齐次方程为 y + 4y = 0，其通解为 Y = C1cos 2x + C2sin 2x， 故原方程的通解为

三、应用举例 例 12 弹簧振动问题 设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为 m 的物体， 例 12 弹簧振动问题 　　设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为 m 的物体， 　　　　当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹性恢复力大小相等，方向相反， O 设给物体一个初始位移 x0 初速度 v0， 则物体便在其平衡位置附近上下振动. 已知阻力与其速度成正比， 试求振动过程中位移 x 的变化规律.

　　解 建立坐标系，平衡位置为原点, 铅垂方向为 x 轴的正向，则物体位移 x 是时间 t 的函数 x = x(t). 弹性恢复力 f1 与阻力 f2， 物体在振动过程中，受到两个力的作用： 其中 k 为弹性系数大于 0， 由胡克定律知， f1= - kx， 负号表示弹性恢复力与位移 x 方向相反； 其中 m 为比例系数大于 0 ( 或称阻尼系数 )， 阻力 f2 与速度 v 成正比， f2= - mv, 负号表示阻力 f2 与速度 v 方向相反， 根据牛顿第二定律 F = ma，知 ma = - kx – mv, 其中 a 为加速度， v 为速度，

那么，上式变为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　则上式方程可表示为 这里 n，w 为正常数， 是一个二阶常系数线性齐次方程， 称为振动的微分方程， 其根为 它的特征方程为 r2 + 2nr + w2 = 0，

由题意列出初始条件 于是，上述问题化为初值问题：

下面分三种情况来讨论 1 大阻尼情形，即 n > w . 是两个不相等的实根. 所以方程的通解为 2 临界阻尼情形，即 n = w. 这时，特征根 r1 = r2 = - n，所以方程的通解为

3 小阻尼情形，即 n < w . 这时，特征根为共轭复数 所以方程的通解为 上式也可写成

对于 1， 2 情形，x(t) 都不是振荡函数， 即物体随时间 t 的增大而趋于平衡位置. 且当 t  +  时， x(t)  0， 　对于 3 的情形，虽然物体的运动是振荡的， 　但它仍随时间 t 的增大而趋于平衡位置， 　总之，这一类振动问题均会因阻尼的作用而停止， 　　　　　　　　　　　称为弹簧的阻尼自由振动.