第四章 电磁波的传播（1） §4.1 平面电磁波 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2014年11月18日 《电动力学》第18讲 第四章 电磁波的传播（1） §4.1 平面电磁波 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2014年11月18日

本讲主要内容 1、电磁场波动方程 2、时谐电磁波 3、平面电磁波 4、电磁波的能量和能流 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 在迅变情况下，电磁场以波动形式存在。 变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间 中传播的电磁波。由于在广播通讯、光学和 其他科学技术中的广泛应用，电磁波的传播、 辐射和激发问题已发展为独立的学科，具有 十分丰富的内容。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 平面电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的 形式，本章先研究无界空间中平面电磁波的主要特 性，然后用电磁场边值关系研究电磁波在介质界面 上的反射和折射问题，从电磁理论出发导出光学中 的反射和折射定律。第三节研究有导体存在时的电 磁波传播问题，说明电磁波在导体内有一定的穿透 深度，在良导体内只有很小部分电磁能量透入，因 而良导体成为电磁波存在的边界。第四节研究有界 空间的电磁波，以谐振腔和波导管为例说明电磁波 边值问题的解法。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 一般情况下，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组： 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 现在我们研究在没有电荷电流分布的自由空间（或 均匀介质）中的电磁场运动形式。在自由空间中， 电场和磁场互相激发，电磁场的运动规律是齐次的 麦克斯韦方程组（ ρ = 0 , J = 0 情形 ）： 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 真空情形 在真空中，D = ε0 E , B = μ0 H 。取第一 式的旋度并利用第二式得 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 同理取第二式的旋度并利用第一式得 用矢量分析公式及▽·B = 0 得 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 令 得 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 此即为波动方程。由其解可知电磁场具有波动性， 电磁场的能量可以从一点转移到另一点。即脱离电 荷、电流而独立存在的自由电磁场总是以波动形式 运动着。在真空中，一切电磁波（包括各种频率范 围的电磁波，如无线电波、光波、X射线和γ射线等） 都以速度c传播，c就是最基本的物理常量之一，即 光速。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 介质情形 研究介质中的电磁波传播问题时，必须 给出D和E的关系以及B和H的关系，当以一定角频率 ω作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的 束缚电荷受电场作用，亦以相同频率作正弦振动。 在线性介质中有关系 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 由介质的微观结构可知，对于不同频率的电磁波， 介质的介电常数是不同的，即 ε和μ随频率ω而变化的现象，称为介质的色散。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 由于色散，对一般非正弦变化的电场E(t)，关系式 D(t)=εE(t)不成立。因此在介质内，不能够推出E 和B的一般波动方程。这是因为 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 1. 电磁场波动方程 因此在介质内不能导出 E 和 B 的一般波动方程，所 以不要由真空情况根据 μ0ε0 →με转到介质情形， 这是不正确的。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以大致确 定的频率作正弦震荡，因而辐射出的电磁波也以相 同频率作正弦振荡。例如无线电广播或通讯的载波， 激光器辐射出的光束等，都接近于正弦波。这种以 一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色 波）。在一般情况下，即使电磁波不是单色波，它 也可以用傅里叶（Fourier）分析（频谱分析）方法 分解为不同频率的正弦波的叠加。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 因此， 只讨论一定频率的电磁波。设角频率为ω ， 电磁场对时间的依赖关系 cos(ωt) ，或用复数形式表 为 在上式中，用同一个符号E表示抽出时间因子e−iωt 以 后的电场强度，一般不会发生混淆。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 研究时谐情形下的麦氏方程组。在一定频率下，有 D = ε E , B = μ H , 消去共同因子 e−iωt 后得 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 研究时谐情形下的麦氏方程组。在一定频率下，有 D = ε E , B = μ H , 消去共同因子 e−iωt 后得 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 研究时谐情形下的麦氏方程组。在一定频率下，有 D = ε E , B = μ H , 消去共同因子 e−iωt 后得 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 在 ω ≠ 0 的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。 取第一式的散度，由于 ▽· (▽×E) = 0 ， 因而 ▽· H = 0 ，即得第四式。 同样，由的二式可导出第三式。因此，在一定频率 下，只有第一、第二式是独立的，其他两式可由以 上两式导出。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 亥姆霍兹（Helmholtz)方程 由时谐电磁波Maxwell’s equations的第一式取旋度， 并用第二式，得 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 亥姆霍兹（Helmholtz)方程 上式变为 解出E后，磁场B 可由第一式求出 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 亥姆霍兹（Helmholtz)方程 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 亥姆霍兹（Helmholtz)方程 是一定频率下电磁波的基本方程，其解E(x) 代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一 种可能的形式称为一种波模。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 2. 时谐电磁波 亥姆霍兹（Helmholtz)方程 类似地，亦可以把Maxwell方程组在一定频率下化 为 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 按照激发和传播条件的不同，电磁波的场强E(x)可 以由各种不同形式。例如从广播天线发射出的球面 波，沿传输线或波导定向传播的波，由激光器激发 的狭窄光束等，其场强都是亥姆霍兹方程的解。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 讨论一种最基本的解，它是存在于全空间中的平面 波。设电磁波沿x轴方向传播，其场强在与x轴正交 的平面上各点具有相同的值，即E和B仅与x，t有关， 而与y，z无关。这种电磁波称为平面电磁波，其波 阵面（等相为点组成的面）为与x轴正交的平面。在 这种情形下亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程 ： 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 （kx −ωt）代表波动的相位因子。 3. 平面电磁波 它的一个解是 由条件 ▽·E =0 得 ikex·E =0 ，即要求 Ex=0， 因此，E0 与x轴垂直。式中 E0 是电场的振幅， （kx −ωt）代表波动的相位因子。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 以上为了运算方便采用了复数形式，对于实际存在的场强 应理解为只取上式的实数部分，即 相位因子 cos（kx−ωt）的意义：在时刻 t = 0，相位因 子是coskx，x=0的平面处于波峰。在另一时刻t，相因子变 为cos（kx−ωt），波峰移至 kx−ωt=0处，即移至 x = ωt/k 的平面上。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 因此，一个沿x轴方向传播的平面波，其相速度为 真空中电磁波的传播速度为 介质中电磁波的传播速度为 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 式中 εr 和 μr 分别代表介质的相对电容率 和相对磁导率，由于它们是频率 ω 的函数， 因此在介质中不同频率的电磁波有不同的相速 度，这就是介质的色散现象。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 k的意义： 从相速度公式 和波速、波长及频率的关系 ，我们可以 得到k的算式 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 任意传播方向的平面电磁波 在一般坐标系下平面电磁波的表示式是 式中k是沿电磁波传播方向的一个矢量，其量值为 |k| = ω（με）1/2 。在特殊坐标系下，当 k 的方 向取为x轴时，有 k · x = k x 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 对 式必须加上条件 ▽·E = 0 才得到电 磁波解。取上式的散度 上式表示电场波动是横波，E可在垂直于k的任意方向上振荡。E的 取向称为电磁波的偏振方向。可以选与k垂直的任意两个互相正交 的方向作为E的两个独立偏振方向。因此，对每一波矢量k，存在 两个独立的偏振波。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 平面电磁波的磁场可有 式求出。 取 E 的旋度得 n为传播方向的单位矢量。由上式得 k·B = 0 ，因此 磁场波动也是横波。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 E、B和k是三个各互相正交的矢量。E和B同相，振幅比 为 在真空中，平面电磁波的电场与磁场比值为 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 概括平面波的特性如下： （1）电磁波为横波，E和B都与传播方向垂直，TEM波； （2）E和B互相垂直，E×B沿波矢k方向； （3）E和B同相，振幅比为 υ 。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 3. 平面电磁波 平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值如 图4-2所示。随着时间的推移，整个波形向x轴方向以 速度υ = c/(μrεr)1/2 移动。 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 4. 电磁波的能量和能流 电磁场的能量密度为 在平面电磁波情形，有εE2 =(1/μ)∙B2 ，因此平面电 磁波中电场和磁场能量相等，有 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 4. 电磁波的能量和能流 平面电磁波的能流密度 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 4. 电磁波的能量和能流 由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把场 强的复数表示直接代入。计算w和S的瞬时值时，应把 实数表示代入，得 山东大学物理学院 宗福建

§5.1 平面电磁波 4. 电磁波的能量和能流 w和S都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需要用 到它们的时间平均值。 山东大学物理学院 宗福建

MATLAB 应用 % function Example000 clear; clc; L=0.5; [x,y]=meshgrid(-1:0.1:1, -1:0.1:1); a=sqrt(x.^2+y.^2+0.01); z=a.^-1; [px,py]=gradient(-z,.1,.1); subplot(1,2,1); contour(x,y,z,20); axis([-1 1 -1 1]); subplot(1,2,2); quiver(x,y,px,py); return; 山东大学物理学院 宗福建

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MATLAB 应用 % Function Example001 clear clc x = linspace(0,4*pi,100); %定义变量x并设定取值范围 y1 = 8*cos(x); % E的函数 z1 = zeros(size(x)); %与y1对应的z1取值 z2 = 8*cos(x); % B的函数 y2 = zeros(size(x)); %与z2对应的y2取值 plot3(x,y1,z1,x,y2,z2,x,y2,z1); %三维画图函数 grid on view(-45,45) Return; 山东大学物理学院 宗福建

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MATLAB 应用 % function Example002 clear clc [x,y] = meshgrid(-8:0.1:8,-8:0.1:8); % 建立三维表格并且设定x，y的取值范围 z = cos(y+10); % E的表达式函数 surfc (x,y,z); % 画图 view(45,45); %调整视角 return; 山东大学物理学院 宗福建

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MATLAB 应用 % function Example003 clear; clc; x=linspace(0,4*pi,100); y1 = 8*cos(x); z1 = zeros(size(x)); z2 = 8*cos(x); y2 = zeros(size(x)); plot3(x,y1,z1,x,y2,z2) theaxes = axis; %取坐标轴的值 fmat = moviein(40); %创建帧矩阵 for j=1:40; plot3(x,8*cos(x+pi/20*j),z1,x,y2,-8*cos(x+pi/20*j),x,y2,z1) %函数循环体，创造出动态效果 axis(theaxes) %使用同一个坐标，连成动画 fmat(:,j) = getframe; %采取图像信息 end movie(fmat,10,20) %放映动画 movie2avi(fmat,'Example003.avi'); return; 山东大学物理学院 宗福建

MATLAB 应用 % function Example004 clear; clc; [x,y] = meshgrid(-8:0.1:8,-8:0.1:8); z = cos(y+10); surfc(x,y,z) theAxes = axis; fmat = moviein(20); for j = 1:20 surf(x,y,cos(y+2*pi*j/20)) axis(theAxes) fmat(:,j) = getframe; end movie(fmat,10); movie2avi(fmat,'Example004.avi'); return; 山东大学物理学院 宗福建

MATLAB 应用 % function Example005 clear; clc; x=-16:0.5:16; % 设定坐标范围 [XX,YY] = meshgrid(x); %建立三维网格图 r = sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps; % +eps是为了在r=0附近 能取值 z = sin(r)./r; surf(z) return; 山东大学物理学院 宗福建

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MATLAB 应用 % function Example006 clear; clc; x = -20:0.5:20; [XX,YY] = meshgrid(x); r = sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps; theAxes = axis; fmat = moviein(20); for j=1:20 surf(sin(r-2*pi*j/20)./r) axis(theAxes) fmat(:,j) = getframe; end movie(fmat,10); movie2avi(fmat,'Example006.avi'); return; 山东大学物理学院 宗福建

课下作业 第150页 第1，5题。 山东大学物理学院 宗福建

课下作业 补充题： 1．证明对时谐电磁波，麦可斯韦方程组不独立。 2．证明真空中的平面电磁波为TEM波。 3．根据麦可斯韦方程组推导时谐电磁波的电场量E 的亥姆霍兹方程及E与B之间的关系。 4、 根据麦可斯韦方程组推导时谐电磁波的磁场量B 的亥姆霍兹方程及E与B之间的关系。 山东大学物理学院 宗福建

谢谢！ 2014.11.18