§3 二元函数的连续性 一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质 无论是单元微积分还是多元微积分, 其中 §3 二元函数的连续性 无论是单元微积分还是多元微积分, 其中 所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数. 二元函数连续性的定义比一元函数更一般化 了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的 整体性质, 二者完全相同. 一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质 返回

一、二元函数的连续性概念 ※ 连续性的定义 定义1 设 f 为定义在点集 上的二元函数, 若 只要 , 就有 则称 f 关于集合 D 在点 连续.在不致误解的情形 下, 也称 f 在点 连续. 若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D 上的连续函数.

由上述定义知道: 若 是 D 的孤立点,则 必定是 f 的连续点. 若 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点 连续等价于 如果 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元 函数的对应情形相同 ), 则称 是 f 的不连续点 (或 称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于 是 f 的可去间断点. 时, 如上节例1、2 给出的函数在原点连续; 例3、4、5

给出的函数在原点不连续. 又若把上述例3 的函数 改为 其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在 上，这时由于

因此 f 在原点沿着直线 是连续的． 例1 讨论函数 在坐标原点的连续性． 解 由于当 因此 此时 f 在原点连

为函数 f 在点 的全增量. 和一元函数一样, 可用增 续; 而当 不存在， 此时 在原点间断． ※ 全增量与偏增量 设 为函数 f 在点 的全增量. 和一元函数一样, 可用增 量形式来描述连续性, 即当

时, f 在点 连续. 如果在全增量中取 则相应得到的 增量称为偏增量, 分别记作 一般说来, 函数的全增量并不等于相应的两个偏增 量之和.

由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该 若一个偏增量的极限为零, 如 则表示当固定 时, 作为 x 的函数, 它 在 x0 连续. 同理, 则表示当 固定 时， 在 y0 连续. 容易证明: 当 f 在其定义域的内点 连续时, 在 x0 与 在 y0 都连续. 但是反过来, 由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该 函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数

在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续. 例2 设在区域 连续．试证在下列条件之一满足时， 处处连续： (i) 对其中一个变量 (例如 y) 满足李普希茨条件, 即 使得对任何

(ii) 对其中一个变量 (x) 的连续关于另一个变量 (y) 是一致的, 即 (iii) 参见本节习题第 9 题 (这里不作证明). 证(i)

又当

(ii) 又由 f 对 x 的连续关于 y 是一致的, 故

若二元函数在某一点连续, 则与一元函数一样, 可以 证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性 这就证得 ※ 连续函数的局部性质 若二元函数在某一点连续, 则与一元函数一样, 可以 证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性 以及相应的有理运算的各个法则. 下面只证明二元

复合函数的连续性定理, 其余留给读者自己去练习. 定理16.7 (复合函数的连续性) 设函数 和 在点 的某邻域内有定义, 并在 点 连续; f (u, v) 在点 的某邻域内有定 义, 并在点 Q0 连续, 其中 则复合函数 在点 P0 也 连续. 证 由 f 在点 Q0 连续可知： 使得当

时, 有 又由 、 在点 P0 连续可知: 对上述 使得当 时, 有 综合起来, 当 时, 便有 所以 在点 连续.

二、有界闭域上连续函数的性质 本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质. 这 可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广. 本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质. 这 可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广. 定理16. 8 ( 有界性定理与最大、小值定理 ) 若二元 函数 f 在有界闭域 上连续, 则 f 在 D上有界, 且能取得最大值与最小值. 证 先证明 f 在 D 上有界. 倘若不然, 则 存 使得 在

于是得到一个有界点列 , 且能使 中有无 穷多个不同的点. 由聚点定理的推论, 存在收敛 子列 ,设 . 因 D 是闭域, 从而 又因 f 在 D上连续, 当然在点 也连续, 于是有 这与不等式 (3) 矛盾，所以 f 是 D上的有界函数. 下面证明 f 在 D 上能取到最大、小值. 为此设 可证必有一点 , 使 (同理可证存在

, 使 ). 如若不然, 对任意 , 都 有 . 考察 D 上的正值连续函数 由前面的证明知道, F 在 D上有界. 又因 f 不能在 D 上达到上确界 M, 所以存在收敛点列　 , 使 . 于是有 , 这导致与 F 在 D 上有界的结论相矛盾, 从而证得 f 在 D 上能取 到最大值.

方法, 运用有限覆盖定理来证明, 也可以运用聚点定 定理16.9 (一致连续性定理) 若函数 f 在有界闭域 上连续, 则 f 在 D 上一致连续. 即 存 在只依赖于 的 使得对一切满足 必有 的点 证 本定理可参照第七章中证明一致连续性定理的 方法, 运用有限覆盖定理来证明, 也可以运用聚点定 理来证明. 这里我们采用后一种证法. 倘若 f 在 D 上连续而不一致连续, 则存在某 对于任意小的 例如 , 总有

相应的 , 虽然 , 但是 由于 D 为有界闭域, 因此存在收敛子列 并设 . 再在 中取出与 下 标相同的子列 则因 有 . 最后, 由　f　在 P0 连续, 得

这与 相矛盾, 所以 f 在 D 上一致连续. 定理16.10　(　介值性定理　) 设函数　f　在区域　 上连续, 若P1 , P2 为 D 中任意两点, 且 则对任何满足不等式 的实数 , 必存在点 , 使得 证 作辅助函数

易见 F 仍在 D 上连续, 且由　(4)　式知道 下面证明必存在 , 使 图 16 -18

由于 D 为区域, 我们可以用有限段都在 D 中的折线 连结 P1 和 P2 (如图 16-18). 若有某一个连接点所对应的函数值为 0, 则定理得 证. 否则从一端开始逐段检查, 必定存在某直线段, 使得 F 在它两端的函数值异号. 不失一般性, 设连结 P1(x1, y1), P2(x2, y2) 的直线段含于 D, 其方程为

在此直线段上, F 变为关于 t 的复合函数： 由于 G 为 [0, 1] 上的一元连续函数, 且 因此由一元函数根的存在定理, 在 (0, 1) 内存在一点 使得　 . 记 则有 , 使得

界闭集 (证明过程无原则性变化). 但是介值性定理 注1 定理16. 8 与 16. 9 中的有界闭域 D 可以改为有 界闭集 (证明过程无原则性变化). 但是介值性定理 中所考察的点集 D 只能假设是一区域, 这是为了保 证它具有连通性, 而一般的开集或闭集是不一定具 有连通性的. 注2 由定理16. 10 又可知道, 若 f 为区域 D 上的连 续函数, 则 f (D) 必定是一个区间 (有限或无限). 例3

证 由定理16. 9 知道

复习思考题 这就证得 1. 在一元函数连续性定义中, 如何引入“孤立点必为 连续点”这个概念？ 2. 在讨论一元初等函数时有一个重要结论: “任何初 等函数都是在其定义区间上的连续函数”. 当引入了 “孤立点必为连续点”后，上述结论便可简单地说成 是: “任何初等函数在其定义域上处处连续.” 试讨论 这两种说法有何不同？你喜欢哪一种说法?