自动控制原理 第九章 线性离散控制系统

本章主要内容 离散控制系统的基本概念 信号的采样与保持 采样过程与采样定理，零阶保持器 信号的采样与保持 采样过程与采样定理，零阶保持器 离散系统的数学描述 z变换，脉冲传递函数（开环、闭环），差分方程 离散系统的z域分析法 稳定性，极点分布与暂态性能，稳态误差， 根轨迹法（自学） 离散系统的频域分析法（自学） 离散系统的状态空间分析法（自学） 离散系统的综合（自学）

Ä 9.1 离散控制系统的基本概念 y r e u u e 典型的离散控制系统如图： - 9.1 离散控制系统的基本概念 典型的离散控制系统如图： 脉冲 控制器 保持器 Ä y - r e T 受控对象 u 是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列 ， 脉冲控制器对 进行某种运算，产生控制信号脉冲序列 ， 保持器将采样信号 变成连续信号 ，作用于受控对象 u e

最常见的离散控制系统：计算机控制系统 A/D：模拟信号→数字信号，图中还包括 连续信号→离散信号的采样过程 D/A：数字信号→模拟信号，图中还包括 离散信号→连续信号的保持过程 A/D D/A 数字 控制器 受控 对象 测量 计算机 r e u(t) y(t) 计算机控制系统原理图 执行 机构

计算机控制系统的主要特点 修改控制器结构及参数很方便（改变控制程序）； 便于实现各种先进控制，能完成复杂的控制任务； 控制精度高，抗干扰能力强，能有效抑制噪声； 兼具显示、报警等多种功能。 有利于实现“智能化”、“网络化”、“管控一体化”、多级分布式控制等； 分析离散系统的常用方法：Z域法，状态空间法。

9.2 信号的采样与保持 连续信号 t 离散化信号（采样） t 复现信号（保持） t T：采样周期，一般是等周期采样，也可变周期或随机采样。 9.2 信号的采样与保持 连续信号 t τ T 离散化信号（采样） t 复现信号（保持） t T：采样周期，一般是等周期采样，也可变周期或随机采样。 （τ<< T ，近似认为τ→0 ） 信号恢复一般采用零阶保持，也可采用一阶或其他保持方式。

一、采样过程 t f(t) f*(t) 1 T 2T 采样器 采样信号可看作是 经脉冲序列 调制后的结果： 是否产生误差？

单位幅值脉冲与理想脉冲的区别 t 1 T 2T t T 2T

Z变换是离散信号拉氏变换的有理式表达形式 二、采样信号的数学表达式 理想单位脉冲序列 采样信号为 采样信号的拉氏变换 Z变换是离散信号拉氏变换的有理式表达形式

仿真实验：采样周期与采样效果 零阶保持器取采样周期为 T= 0.1，0.4，0.8

仿真结果 连续信号 T=0.1 T=0.4 T=0.8

采样周期的选取：信号变化越快，采样周期应越小， 反之则可以适当大一些。 采样周期的选取：信号变化越快，采样周期应越小， 反之则可以适当大一些。 选取采样周期的理论依据是采样定理。 三、香农（Shannon）采样定理（基于频谱分析） 则经采样得到的离散信号 可以无失真地恢复为原连续信号的条件是

采样定理的依据：信号的频谱分析

说明：采样定理只提供了选择采样周期的理论依据，对于实际的反馈控制系统，连续反馈信号的上限频率（带宽）通常难以准确地确定，因此选择采样周期一般依靠估计。

四、零阶保持器 t t 零阶保持器是一种按恒值规律外推的保持器，它将当前采样时刻的值，保持到下一个采样时刻，即 T 2T 3T 4T T T 2T 3T 4T t T 2T 3T 4T 零阶 保持器 零阶保持器是一种按恒值规律外推的保持器，它将当前采样时刻的值，保持到下一个采样时刻，即

零阶保持器的传递函数： 零阶保持器的单位脉冲响应可表示为二个单位阶跃信号的叠加。 单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶保持器的传递函数。 零阶 保持器 1 T -1 零阶保持器的单位脉冲响应可表示为二个单位阶跃信号的叠加。 单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶保持器的传递函数。 注意：这里的输入为1×δ(t)，是单位幅值脉冲经理想脉冲调制后的信号，即单位理想脉冲，其拉氏变换为1。

说明：零阶保持器实际的传递函数 零阶保持器实际的传递函数为 1 T -1 零阶 保持器 零阶保持器实际的传递函数为 式中的τ与U*(s)的τ抵消后等价于理想脉冲通过没有τ的零阶保持器，所以在分析中可以不考虑τ。

9.3 离散系统的数学描述 一、 Z变换与Z反变换

关于Z变换的几点说明： Z变换的无穷级数表达式与信号在采样时刻的取值一一对应。 对f(t) 采样后的 f (t) 是唯一的，但 f (t) 所对应的 f(t) 不唯一； f (t) 与 F(z) 之间的变换是唯一的。

S平面与Z平面的对应关系： 根据Z变换定义，有 Im Re 1 -1 S平面 因此，根据 F(z) 极点的分布，可以判断其对应的时间函数 f (t) 收敛与否、收敛的快速性与平稳性等。

|a|>1时,信号发散；|a|<1时,信号收敛；|a|=1时,信号恒值或等幅振荡（不发散也不收敛） Z变换的求法 １. 级数求和法 极点幅值=1  信号不发散也不收敛 例1：求 f(t) = 1(t) 的 Z 变换 例2：求 f(t) = e-αt ，t≥0 的 Z 变换 α>0时,极点幅值<1 信号收敛 α<0时,极点幅值>1 信号发散 |a|>1时,信号发散；|a|<1时,信号收敛；|a|=1时,信号恒值或等幅振荡（不发散也不收敛）

例3：求 f(t) = sin(ωt) 的 Z 变换 j 极点在Z平面的位置 1 相异极点的幅值=1  信号不发散也不收敛

例4：求 f(t) = e-αt sin(ωt)的 Z 变换 j 极点在Z平面的位置 1 例4：求 f(t) = e-αt sin(ωt)的 Z 变换 j 极点在Z平面的位置 1 α>0时,极点幅值<1  信号收敛 α<0时,极点幅值>1  信号发散 α=0时,相异极点的幅值=1  等幅振荡

a<1时,极点幅值<1  信号收敛 a>1时,极点幅值>1  信号发散 a=1时,互异极点幅值=1  等幅振荡 j 极点在Z平面的位置 1 × a<1时,极点幅值<1  信号收敛 a>1时,极点幅值>1  信号发散 a=1时,互异极点幅值=1  等幅振荡

2. 部分分式法 例5：已知连续函数的拉氏变换为 求Z变换 解： 注意极点的对应关系

解： 零点一般没有对应关系

Ｚ变换的基本性质 １. 线性定理 2. 延迟定理 式中k、T均为常量. 证：

t kT f(t) f(t-kT) 延迟定理的直观表示 注：连续系统的迟后环节 e-kTs 在离散系统中只是 z-k，属于有理式，便于分析。因此，对于有迟后环节的系统，按离散时间系统进行分析和设计通常较连续时间系统更方便。

3. 超前定理 ，则有 如果 第一个表达式对应蓝色实线的Z变换；zkF(z)对应全部蓝色线的Z变换，所以只有当虚线部分=0时才有第二个表达式 3. 超前定理 如果 ，则有 第一个表达式对应蓝色实线的Z变换；zkF(z)对应全部蓝色线的Z变换，所以只有当虚线部分=0时才有第二个表达式 t kT f(t) f(t+kT) 超前定理的直观解释 -kT

注：终值定理主要用于F(z)有极点1这种情况，其他情况直接就可判断。 4. 终值定理 　设 f(t) 的Z变换为F(z)，且F(z) 在z平面不含有单位圆上及圆外的的极点（除 z＝１外），则 f(t) 的终值为 j Z平面 1 F(z)允许的极点分布区域 注：终值定理主要用于F(z)有极点1这种情况，其他情况直接就可判断。

不求也可判断! 极点在Z平面 单位圆上 j 1

4. 初值定理 　设f(t)的Z变换为F(z)，则 f(t) 的初值为

５.位移定理 　设f(t)的Z变换为F(z)，则有 例：用位移定理求 f(t) = e-at sin(ωt)的 Z 变换

6. Z域微分定理 　设f(t)的Z变换为F(z)，则有 证：

例：用微分定理求 f(t) = t，t≥0 的 Z 变换 单位幅值的重极点  发散

例：用微分定理求 f(t) = te-at，t≥0 的 Z 变换 极点位置与收敛性的关系： a>0时,极点幅值<1 信号收敛 a<0时,极点幅值>1 信号发散 （即重极点与前面单极点的结论相同）

Z 反变换 1. 长除法 例1：求 的反变换 长除法主要用于求出信号的前面有限个采样时刻值， 1. 长除法 例1：求 的反变换 长除法主要用于求出信号的前面有限个采样时刻值， 一般难以找到 f(nT) 的一般规律，即闭式表达形式。

例1 的长除法过程： （z的多项式除法）

例1 的长除法过程： （z-1的多项式除法）

使分解后的分子都含有z 2. 部分分式法 步骤: 把 F(z)/z 展开为部分分式 求各个部分分式项的Z反变换之和 例：已知 ，求 解：

练习Ⅰ B9.1,(6),(7); B9.4,(2),(3); B9.5,(1),(3);

三、脉冲传递函数 1、 基本概念 u(t) T G (s) u*(t) y*(t) y(t) 定义：对于线性离散定常系统，在零初始条件下，系统输出采样信号的Z变换与输入采样信号Z变换之比，称为系统的脉冲传递函数。 U(z) G (z) Y(z)

脉冲传递函数的物理意义 脉冲传递函数是单位脉冲响应g(t)经采样后的离散信号g*(t)的Z变换。 g3 单位脉冲响应的输入信号可看作单位幅值脉冲经理想脉冲调制而产生的，对于有保持器的离散时间系统，单位脉冲响应的实际输入是单位幅值脉冲，即 gk g2 g1 … t/T 系统的单位脉冲响应序列 g*(t) g3 1 2 g0 3 k

任意输入时的响应 y(k) 与单位脉冲响应序列的关系： 根据叠加原理可知：对于由多个脉冲构成的输入脉冲序列，系统输出为各个脉冲响应的叠加； uk u2 u1 … t/T 系统的的输入脉冲序列 u*(t) u3 1 2 u0 3 k 任意输入时系统输出与单位脉冲响应的关系 y*(t) 对于一个任意幅值的脉冲输入，系统输出为单位幅值脉冲响应×该脉冲输入的幅值。 gk g2 g1 … t/T 系统的单位脉冲响应序列 g*(t) g3 1 2 g0 3 k

gk g2 g1 … g*(t) g3 g0 uk u2 u1 … u*(t) u3 u0 t/T 系统的单位脉冲响应序列 1 2 3 k 1 2 g0 3 k uk u2 u1 … t/T 系统的的输入脉冲序列 u*(t) u3 1 2 u0 3 k

根据脉冲传递函数的定义求输出y(k)： 与前面的结果完全一致！ U(z) G (z) Y(z) 与前面的结果完全一致！ 该结论实际上就是离散系统的“卷积定理”

该结论可推广到n个环节串联，各相邻环节之间都有采样开关隔开的情况。 2、采样系统的开环脉冲传递函数 （1）两个串联环节之间有采样开关隔开 u(t) T G1(s) u*(t) v*(t) G2(s) y*(t) 该结论可推广到n个环节串联，各相邻环节之间都有采样开关隔开的情况。

u(t) T G1(s) u*(t) v*(t) G2(s) y*(t)

（2）两个串联环节之间无采样开关隔开 u(t) T G1(s) u*(t) G2(s) y*(t) 该结论可推广到n个环节直接串联的情况。

u(t) T G1(s) u*(t) G2(s) y*(t)

有零阶保持器的开环脉冲传递函数 u(t) T Gh(s) u*(t) G0(s) y*(t) 零阶保持器 重要！

u(t) T Gh(s) u*(t) G0(s) y*(t) 零阶保持器

附：有无保持器的区别（略） u(t) T u*(t) G(s) y*(t) y(t) （1）没有保持器的情况 1 t

该结论可以推广到采用其他保持器、以及有保持器的反馈控制系统 （2）有零阶保持器的情况 u(t) T Gh(s) u*(t) G0(s) y*(t) uh(t) y(t) 1 T 由于零阶保持器实际的传递函数为 其分母中含有的τ与U*(s)的τ抵消后等价于理想脉冲通过没有τ的零阶保持器，所以符合实际情况，在分析中不必再考虑τ的影响。 该结论可以推广到采用其他保持器、以及有保持器的反馈控制系统

u(t) T Gh(s) u*(t) G0(s) y*(t) uh(t) y(t) 1 T 等价于G0的输入如右图

u(t) T Gh(s) u*(t) G0(s) y*(t) uh(t) y(t) 与前面实际情况的结果一致！ “附”结束

脉冲传递函数与差分方程 u(t) Gh(s) u*(t) G0(s) y*(t) U(z) G (z) Y(z) 利用延迟定理 T 零阶保持器 U(z) G (z) Y(z) 利用延迟定理

若输入输出方程的输出信号包含相邻n+1个采样时刻值，则称该方程为n阶差分方程。 差分的定义及差分方程的阶次 包含相邻2个采样时刻值 包含相邻3个采样时刻值 包含相邻4个采样时刻值 若输入输出方程的输出信号包含相邻n+1个采样时刻值，则称该方程为n阶差分方程。

差分方程的计算： ① 迭代法 计算机作为控制器，执行时按差分方程进行迭代计算。 迭代法一般难以确定通项表达式

Z变换法只能用于u(k)或U(z)确定时，

零初始值的含义及差分方程的Z变换： （后向差分，Z变换利用延迟定理） （前向差分，Z变换利用超前定理）

u(k) 系统 y(k) U(z) G (z) Y(z) （利用延迟定理） （利用超前定理）

零初始值的含义及差分方程的Z变换（续）：

（Z变换利用超前定理） 该结论可推广到一般情况

由输入输出差分方程求状态空间表达式： 不唯一 u(k) 系统 y(k) 有高阶差分 项时如何求？

由 脉冲传递函数求状态空间表达式： 不唯一 引入中间变量 h(k) 初值为零

可控规范形，可直接由传递函数或差分方程写出 所以状态空间模型为 可控规范形，可直接由传递函数或差分方程写出

线性离散系统状态空间表达式的一般形式 u(k) 系统 y(k)

由状态空间表达式求脉冲传递函数： 唯一 u(k) 系统 y(k)

3、闭环脉冲传递函数 （1）有一个采样开关的闭环系统 T G(s) H(s) －

附：闭环脉冲传递函数的推导 T G(s) H(s) －

T G(s) H(s) －

（2）有数字控制装置的采样系统 D*(s) T G(s) H(s) － 思考：计算过程有何规律？

附：闭环脉冲传递函数的推导 D*(s) T G(s) H(s) －

（3）有扰动作用的采样控制系统 D*(s) T G1(s) H(s) － G2(s)

附：扰动作用部分 E1(z) 和 Y1(z) 的推导 D*(s) T G1(s) H(s) － G2(s)

常见情况：反馈环节为比例环节 D*(s) T G1(s) H(s) － G2(s)

D*(s) T Gh(s) H(s) － G2(s)

D*(s) T Gh(s) H(s) － G2(s) 解：

极点在单位圆内 y(k)收敛于0.5

y(k)收敛于0.25

与T无关 y(k)发散

K在什么范围内取值时 y(k) 收敛？收敛域与T的关系？

练习Ⅱ B9.6,(1),(4); B9.7,(a),(b); B9.9;

9.4 离散系统的z域分析法 一、离散系统的稳定性 S平面 1、S域到Z域的映射 根据Z变换定义，有 Z平面 Im Re 1 -1

2、离散系统的稳定性 （1）稳定条件（开、闭环） R(z) Y(z) 线性离散系统稳定的充要条件是： 系统的全部极点均位于Z平面的单位圆内。

稳定的充要条件是：特征方程的根（闭环系统的极点）全部位于Z平面的单位圆内。 （2）闭环系统的稳定条件 T G(s) H(s) － 稳定的充要条件是：特征方程的根（闭环系统的极点）全部位于Z平面的单位圆内。

稳定的充要条件是：特征方程的根（闭环系统的极点）全部位于Z平面的单位圆内。 D*(s) T G(s) H(s) － 稳定的充要条件是：特征方程的根（闭环系统的极点）全部位于Z平面的单位圆内。

T↑K的稳定域↓；T→0  K的稳定域→连续系统的情况 （3）低阶系统的稳定性判别（一、二阶） K T Gh(s) － G0(s) T↑K的稳定域↓；T→0  K的稳定域→连续系统的情况 （连续系统的特征式为 s+1+K ）

能否利用劳斯判据 （4）高阶系统的稳定性判别 采用双线性变换 可以使Z平面映射为类S平面: Z平面的单位圆  W平面的虚轴；

Z平面与W平面的映射关系 Z平面的单位圆映射为W平面的虚轴； Z平面的单位圆内映射为W平面的左半复平面； 在W平面应用劳斯判据与在S平面完全相同。 Z平面 x 1 -1 jy W平面

G(s) － T=0.25s

为使采样系统稳定，应使所有系数>0, 所以有 0 < K < 17.3 改变T会有什么结果？ 比较：对于没有采样开关的二阶连续系统， K的稳定域是 K>0。（特征式为s2+4s+K） 加入采样开关通常对系统的稳定性不利，而提高采样频率，稳定性将得到改善，但最多与连续系统一样。

用根轨迹法可以得出同样的结论 jy 绘制根轨迹图无须变换，直接针对G(z)即可； 分析稳定性是看根轨迹法的哪些部分位于Z平面的单位圆内。 x 1 -1 jy × 0.368 绘制根轨迹图无须变换，直接针对G(z)即可； 分析稳定性是看根轨迹法的哪些部分位于Z平面的单位圆内。 极点 增益 零点 利用MATLAB绘图： a=zpk([0], [1, 0.368], 0.158, 'Variable', 'z' ) rlocus(a)

根轨迹图

G(s) － T=0.2s

比较：对于无采样开关时的 连续系统，K的稳定域为 0 < K < 2 要求第一列>0，所以有K的稳定域为 0 < K < 0.4001 （由一、三行条件得）

根轨迹图

二、离散系统极点分布与暂态性能 系统响应由暂态和稳态分量组成，稳态分量主要取决于输入，而暂态分量则主要取决于系统传函； r(k) 系统 y(k) 系统响应由暂态和稳态分量组成，稳态分量主要取决于输入，而暂态分量则主要取决于系统传函； R(z) Y(z) 系统传函的极点决定了暂态分量的基本形态，也就是决定了响应的发散或收敛、以及收敛情况下的快速性和平稳性； 与连续系统类似，系统传函可按极点进行部分分式分解，总的响应是各部分响应的叠加。

S平面与Z平面的对应关系： 根据Z变换定义，有 S平面极点的实部决定Z平面极点的幅值， S平面极点的虚部决定Z平面极点的相位。 Im Re 1 -1 S平面 S平面极点的实部决定Z平面极点的幅值， S平面极点的虚部决定Z平面极点的相位。 因此，根据系统极点的分布，可以判断其对应的时间响应收敛与否、收敛的快速性与平稳性等。

实数极点的情况 j 极点a在Z平面可能的位置 1 × -1

系统实数极点分布与相应的暂态分量响应形态 Im 1 Re Z平面

复数极点的情况 j Z平面的复数极点 1 × j 期望的极点分布区域 1 期望区域

闭环复数极点分布与相应的暂态分量响应形态 Im –1 1 Re Z平面

Simulink仿真例 程序：ac9no2 积分作用 采样周期 T=0.25s 改变 K 如何影响系统的闭环极点和阶跃响应？

分析 - 同前面例 K 的稳定域为 0 < K < 17.3 利用 MATLAB 绘制根轨迹图，分析 K 与闭环极点的关系 D(z) G(z) Y(z) R(z) - E(z) 同前面例 K 的稳定域为 0 < K < 17.3 利用 MATLAB 绘制根轨迹图，分析 K 与闭环极点的关系

根轨迹图

仿真结果1 极点距单位圆越近，响应越慢 K增大使振荡性加剧 极点距单位圆距离相同时，调节时间基本相同 K=8.63 K=3.59

仿真结果2 K=16.3 K=13.9 K增大使振荡性加剧 但调节时间基本相同

仿真结果3 K=16.9 振荡性加剧 调节时间变长

说明：对暂态性能的进一步分析 对离散系统同样可以应用根轨迹法，根轨迹图的绘制与连续系统完全相同，但分析基于Z平面，且可用于时间滞后系统； 离散系统的频率分析法有两种。一种是直接在z域进行分析（令 z = ejTω），频率特性为周期性函数，只须分析一个周期；另一种是先进行双线性变换，然后再运用频率法（方法同连续系统）

三、离散系统的稳态误差 D(z) G(z) -

1. 内模原理 - 跟踪稳态误差为零的条件为 闭环系统稳定（Δ=a+b 的根在单位圆内） 1. 内模原理 D(z) G(z) Y(z) R(z) - E(z) 跟踪稳态误差为零的条件为 闭环系统稳定（Δ=a+b 的根在单位圆内） 开环传函 Gk(z) 包含与参考输入 R(z) 相同的不稳定极点 第二个条件称为内模原理（Internal Model Principle）

说明 - 满足内模原理通常要依靠控制器，而不是受控对象； 只要系统满足内模原理和闭环稳定的条件，即使系统存在模型误差，只要没有破坏系统的稳定性，就能保证稳态误差为零。 与连续时间系统的结论类似 D(z) G(z) Y(z) R(z) - E(z)

2. 内模原理的特例：R(z)为典型输入信号 基本概念：离散积分环节 U(z) Y(z) （离散积分作用）

R(z)为典型输入信号时跟踪稳态误差为零的条件： 若Gk(z)包含n个离散积分环节，则称闭环系统为n型系统 Gk(z) -

不满足内模原理时如何求稳态误差？ ① 根据终值定理 ② 对误差函数进行分式分解

3. 根据终值定理求稳态误差 Gk(z) - 前提：E(z) 没有单位圆上及圆外的的极点（除 z＝１外） 终值定理主要用于不满足内模原理、且R为典型输入（极点为1）时求系统的稳态误差。不属于这种情况则可采用误差函数的分式分解法。

分析与仿真例 分析阶跃、斜坡、抛物线输入下系统的稳态误差。 D T Gh(s) － G(s) 采样周期 T=0.25s

K 的稳定域为 0 < K < 17.3（见前面） 分析 D(z) G(z) Y(z) R(z) - E(z) K 的稳定域为 0 < K < 17.3（见前面）

D(z) G(z) Y(z) R(z) - E(z)

仿真结构图：单位阶跃输入 程序：ac9no3 采样周期 T=0.25s

单位阶跃响应曲线 r(t) y(t) 稳态误差都为零 time

仿真结构图：单位斜坡输入 程序：ac9no4 采样周期 T=0.25s

单位斜坡响应曲线 0.5 r(t) y(t) 思考：有模型误差时，稳态误差是否改变？ time

仿真结构图：单位抛物线输入 程序：ac9no5 采样周期 T=0.25s

单位抛物线响应曲线 e (t)→∞ r(t) y(t) time

4. 求稳态误差的分式分解法 - Gk(z) E2(z)的极点只有三种情况：①单位圆外，②单位圆上的1， ③单位圆上1以外的位置。 jy 4. 求稳态误差的分式分解法 Gk(z) - E2(z)的极点只有三种情况：①单位圆外，②单位圆上的1， ③单位圆上1以外的位置。 Z平面 x 1 -1 jy 对于①，显然有 esr=∞； 对于②，也可利用终值定理求； 对于③，esr 为等幅振荡或发散。

例： 例：

扰动作用下离散系统的稳态误差 控制目标：稳态时输出的扰动分量越小越好 与连续系统的情况类似：（基本条件是闭环系统稳定） D*(s) T G1(s) － G2(s) 与连续系统的情况类似：（基本条件是闭环系统稳定） 若扰动作用点之前的环节包含与N(z)相同的不稳定极点，则扰动稳态误差=0 （内模原理）； 不满足内模原理时，可应用终值定理或对扰动误差函数进行分式分解。

练习Ⅲ B9.14; B9.19; B9.21

“离散系统”习题汇总 B9.1,(6),(7); B9.4,(2),(3); B9.5,(2); B9.6,(1),(4); B9.7,(a),(b); B9.9; B9.14; B9.19; B9.21