17 振动基本理论

例如：钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 振动（Vibration ）:系统在平衡位置附近作往复运动。 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 振动的利弊： 利：振动给料机； 弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛； 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等。 消耗能量，降低精度等。

物理学知识的深化和扩展－物理学中研究质点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。 研究振动的目的： 消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服务。 物理学知识的深化和扩展－物理学中研究质点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。 振动属于动力学第二类问题－已知主动力求运动。

振动的分类： 单自由度系统的振动 按系统的自由度分 多自由度系统的振动 弹性体的振动 线性振动 非线性振动 按系统特性或运动微分方程类型分

按振动产生的原因分： 无阻尼的自由振动 自由振动 有阻尼的自由振动（衰减振动） 无阻尼的强迫振动 强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动

振动问题的研究方法－与分析其他动 力学问题相类似：  选择合适的广义坐标；  分析运动；  分析受力；  选择合适的动力学定理；  选择合适的广义坐标；  分析运动；  分析受力；  选择合适的动力学定理；  建立运动微分方程；  求解运动微分方程，利用初始条件确定 积分常数。

振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下， 都选择平衡位置作为广义坐标的原点。 研究振动问题所用的动力学定理：  矢量动力学基础中的－ 动量定理； 动量矩定理； 动能定理； 达朗贝尔原理。  分析动力学基础中的－ 拉格朗日方程。

实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为力学模型。 17.1 单自由度系统的自由振动 实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为力学模型。 振体 质量—弹簧系统

17.1.1 自由振动微分方程 m ——物块的质量 l0——弹簧原长 k——刚度系数 dst——弹簧的变形 弹簧的静变形为 （17-1） 取物块的静平衡位置为坐标原点，x轴铅垂向 下，当物块在任意位置x处时，弹簧对物块的 作用力大小为

根据牛顿第二定律，物块的运动微分方程为 令 （17-2） （17-3） 单自由度系统无阻尼自由振动（Free vibration）微分方程的标准形式。

通解： （17-4） 任意瞬时的速度为 当t = 0时，x = x0，v = v0，可求出积分常量 令 （17-5） 式（17-4）可写成

（17-6） 无阻尼自由振动是简谐 振动，其运动图线如图 17-2所示。

17.1.2 自由振动的特点 （1）周期与频率。物体的无阻尼自由振动是周期运动，设周期为T 无阻尼自由振动的周期 （17-7） 无阻尼自由振动的频率 （17-8）

（17-9） 表示物体在 2p 秒内振动的次数，称为圆频率（Circular frequency）。 只与系统本身的质量m及弹簧刚度k有关，而与运动的初始条件无关，是振动系统的固有特性，所以称为固有圆频率（固有频率（Natural frequency））。其单位与频率 f 相同，为赫兹（Hz）。 （17-10）

（2）振幅和初位相 A表示物块偏离振动中心的最大距离，称为振幅 （Amplitude），它反映自由振动的范围和强弱； 称为振动的相位（Phase）（或相位角），单位是弧度（rad），相位决定了物块在某瞬时t 的位置，而q 称为初相位，它决定了物块运动的 起始位置。

例 求图示单摆的微幅振动周期。已知摆球质量为m，摆绳长为l。 解： 单摆的静平衡位置为铅垂位置，用摆绳偏离垂线的夹角 j 作为角坐标。摆球受到重力 mg和绳拉力 F 的作用。取j 的增大方向为正向，依据动量矩定理，得

微幅振动 固有圆频率 周期为

例17-2 滑轮重量为 G，重物 M1，M2重量为 G1， G2。弹簧的刚度系数为k，如图17-4所示。设滑轮为 均质圆盘，略去弹簧与绳子的质量，求重物垂直振动 的周期。 解： 以滑轮偏离其平衡位置的转角j 为确定系统位置的坐标。设滑轮半径为r。 当系统在任意位置j 时，弹簧的变形量 为 依据动量矩定理，有

系统对点O的转动惯量 系统在平衡位置时弹性力对点O之矩与重物重力对 点O之矩相互抵消，即

17.1.3 弹簧的并联与串联 （1）弹簧并联。图示刚性系数为k1，k2的弹簧组成的两种并联系统。 在物块重力作用下，每个弹簧产生的静变形相等，由物块的平衡条件可得 将并联弹簧看成为一个弹簧，其刚度 系数 ，称为等效刚度系 数（Equivalent stiffness）。 （17-11）

并联弹簧系统的等效刚度系数等于各弹簧刚度系数之和。 这一结果说明弹簧并联后总的刚度系数增大了。该系统的固有圆频率为

（2）弹簧串联。 图示两个弹簧串联，两个弹簧的刚度系数分别为k1，k2。在物块重力作用下每个弹簧所受的拉力相同，因此每个弹簧的静变形为 弹簧总的静变形为 将串联弹簧看成为一个弹簧，其等效刚度系数为keq， 则有

（17-12） 表明串联弹簧系统的等效刚度系数的倒数等于各弹 簧刚度系数的倒数之和。 （17-13） 串联弹簧系统的固有频率为

17.2 计算固有频率的能量法 求系统固有频率的方法： （1）运动微分方程法 （2）静变形法 （3）能量法。能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率，用能量法来求更为简便。

对于如图所示无阻尼振动系统，当系统作自由振动时，物块的运动规律为 速度： 动能： 选静平衡位置为零势能位置，系统的势能：

物块处于静平衡位置时，势能为零，动能最大，即 物块距振动中心最远时，动能为零，势能最大，即 无阻尼自由振动系统是保守系统，机械能守恒 对于质量弹簧系统，固有频率为： 这种求振动系统固有频率的方法称为能量法。

例17-3 如图所示系统中，圆柱体 半径为 r，质量为 m，在水平面上滚而 不滑；弹簧刚度系数为 k。试求系统的 固有频率。 解： 以弹簧处于原长时圆柱圆心为坐标原点，以圆柱圆心偏离原点的距离 x为系统的运动坐标。设系统作自由振动，坐标 x 的变化规律为 动能： 最大动能：

势能： 最大势能： 机械能守恒，有

例17-4 用能量法计算例17-2题，如图17-4所示。 解： 以滑轮偏离其平衡位置的转角j为系统的坐标。设系统作自由振动，振动规律为 当系统在任意位置j 时，其动能为 最大动能：

系统在任意位置j 时，其势能为 最大势能：

例 图示结构中，杆在水平位置处于平衡，若k、m、a、l 等均为已知。 l a k m 求：系统微振动的固有频率  F 解：取静平衡位置为其坐标原点， 由动量矩定理，得 mg 在静平衡位置处，有

m k a l  F mg 在静平衡位置处，有

由能量法解 m k a l 解：设OA杆作自由振动时， 其摆角  的变化规律为  系统的最大动能为 系统的最大势能为 由机械能守恒定律有

半径为r、质量为 m的均质 圆柱体，在半径为 R 的刚性 圆槽内作纯滚动 。 求： 1、圆柱体的运动微分方程； 2、微振动固有频率。 R C O

R C O 解：取摆角  为广义坐标 系统的动能 由运动学可知：  系统的势能 拉氏函数为

R C O 

R C O 

R C O 由能量法求固有频率 解：设摆角  的变化规律为 系统的最大动能为  取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为

R C O  由机械能守恒定律有

17.3 单自由度系统有阻尼自由振动 自由振动是简谐运动，振幅不随时间而变。但实际中振动的振幅几乎都是随时间逐渐减小的，这是由于阻尼（Damping）的存在。 阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 阻尼有多种形式：如粘性阻尼、干摩擦阻尼、结构变形产生的内阻尼等。这里只讨论粘性阻尼。

当振动速度不大时，阻力近似地与速度成正比，方向与速度相反。这样的阻尼称为粘性阻尼（Viscous damping）。设振动质点的速度为 v ，粘性阻尼的阻尼力可表示为 （17-14） 其中比例常数 C 称为阻尼系数（Coefficient of damping），负号表示阻力与速度的方向相反。

17.3.1 振动微分方程 质量—弹簧系统存在黏性阻尼。取静平衡位置为原点，坐标轴 x 向下为正（见图17-8）。物块的运动微分方程为 （17-16） 有阻尼自由振动微分方程的标准形式。

17.3.2 微分方程的通解： 分三种情况讨论： （1）小阻尼情形 （ ）阻尼系数 （17-17） —有阻尼自由振动的圆频率

由小阻尼情形下的自由振动表达式式（17-17） 知 ，振幅随时间不断衰减，所以又称为衰减振 动（Damped Vibration）。运动图线如图17-9所示。 衰减振动的特点： 振幅在曲线 与 之间逐次递减。这种振动已不是周期振动，但仍然是围绕平衡位置的往复运动，仍然具有振动的特点。

瞬时振幅 衰减振动的圆频率 （17-19） x 称为阻尼比（Damping ratio）。 （17-20） 相同的质量及刚度系数条件下，衰减振动的周期比无阻 尼自由振动的周期长。

振幅减缩率：两个相邻振幅之比 （17-21） 任意两个相邻振幅之比为一常数。衰减振动的振幅呈几何级数减小 。 对数减缩率 ： （17-22） （17-23） 阻尼很小时： （17-24）

（2）大阻尼情形（ ） 积分常数由C1、C2由运动的初始条件决定。 系统不具备振动特性。 （3）临界阻尼情形（ ） 临界阻尼系数 （17-25） 积分常数由C1、C2由运动的初始条件决定。 系统不具备振动特性。

综上所述，系统受粘滞阻尼作用时，只有在n＜ωn的情况下才发生振动，振动的周期较无阻尼时略长，而振幅则按几何级数递减。在临界阻尼和大阻尼情形下，系统已不振动。 例17-5 一有阻尼的弹簧质量系统如图17-10（a）所示。测得 ，如图17-10（b）所示。已知质量块m = 450 kg， 振动周期为 1 s。求 此系统的弹性系数 k 及阻尼系数C。

解： 振幅的对数减缩率为 将 、 代入 Td =1s

17.4 单自由度系统无阻尼受迫振动 由于阻尼的存在，自由振动的振幅逐渐衰减，最后，系统的振动停止。但实际中，振动系统常常会受到激振力的作用。由激振力所引起的振动称为受迫振动（Forced vibration）。例如，电机转子的偏心引起的振动 。 简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力，简谐激振力 FS 随时间变化的关系为 （17-26） H 称为激振力的力幅，即激振力的最大值；w 是激 振力的圆频率

17.4.1 振动微分方程 如图17-11（a）所示的质量弹簧系统，物块质量为m。取重物的静平衡位置为坐标原点O，x 轴铅垂向下。当物体在离原点 x 处时，作用于物体上的力有重力G，弹性力 F 和激振力 FS，如图17-11（b）所示。 重物的运动微分方程为 ， 令 （17-27）

得 （17-28） 无阻尼受迫振动微分方程的标准形式。 解由两部分组成 齐次通解： 特解： （17-29） 将x2代入式（17-28），得 全解为 （17-31）

表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的，第一 部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率 为激振力频率的振动，称为受迫振动。由于振动系统 中总有阻尼存在，自由振动部分会很快地衰减下去。 下面着重研究受迫振动 。 17.4.2 受迫振动的振幅 受迫振动的振幅 振幅的大小与运动初始条件无关，与振动系统的固有频率 wn 、激振力频率 w、激振力力幅 H 有关。

幅－频 特性曲线： （1） ，激振力的周期趋于无穷大，激振力为一恒力，此时并不振动。在此恒力作用下的静变形为 （2） ，振幅 B 随着激振力频率w 的增加而增大（见 图17-12（a）。当 w 接近于wn时，振 幅 B 将趋于无穷 大。

，振幅 B 为负值，表示受迫振动 x2与激振力反相。习惯上把振幅都取为正值，因此 B 取其绝对值。随着激振力频率的增大，振幅减小，当w 趋于 时，振幅 B 趋于零。 （3） 纵轴取为 ，为振幅比，振幅比表示由常力H 的静力作用换成 的作用时，振动系统变形扩大的倍数。横轴取为 ，称频率比。l 和b 的关系如图17-12（b）所示。

17.4.3 共振现象 当 w = wn 时，振幅 B 理论上趋向无穷大，这种现象称为共振（Resonance）。此时，式（17-30）所表示的特解失去意义。此时微分方程的特解应为 代入微分方程得 故共振时受迫振动的规律为 （17-32） 振幅为 。共振时，随着时间的增加，振幅不断 加大，如图17-13所示。

实际上，由于系统存在有阻尼，共振时振幅不可能达 到无限大。但一般来说共振时的振幅都是相当大的。 如不预先加以防止，极易造成工程上的危害。 例17-6 电机质量 m = 800 kg，安装在弹性梁中部，如图17-14（a）所示。电机转速n = 1450 r / min，由于转子偏心引起的激 振力幅 H = 600 N，梁 静变形 dst = 0.4 cm。 不计梁重及阻尼。求受 迫振动的振幅及共振时 电机的临界转速。

解 图17-14（a）所示的系统可简化为图17-14（b）所示的模型，系统的刚度系数为 系统的固有圆频率为 激振力圆频率为

单位质量的激振力幅为 所以，受迫振动的振幅为 当激振力频率（即电机转子的角速度）等于系统的固有频率 wn 时，系统产生共振，这时的转速称为临界转速。设临界转速以nC表示，则有

17.5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 选平衡位置为坐标原点，坐标轴铅直向下，如图17-15所示建立质点的运动微分方程 （17-33） 有阻尼受迫振动微分方程的标准形式。

全解： 小阻尼，齐次部分通解： 特解： e —— 振动的相位落后于激振力的相位角 全解： （17-34） 两部分组成：第一部分是有阻尼的自由振动，因阻尼影响，其振幅将随时间的增加而衰减，一段时间后便消失。第二部分是有阻尼的受迫振动，它是周期变化的激振力引起的振动。在持续简谐激振力作用下，受迫振动也是一个持续进行的简谐运动，称为振动的稳定状态。

稳定状态下： 代入式（17-33），可得 （17-35） （17-36） H，w 及阻尼对振幅 B 的影响： （1）激振力力幅 H 对振幅 B 的影响： ，振幅 B 与激振力力幅成正比。

（2）激振力圆频率 w 对振幅 B 的影响：

1）低频区 趋近于1，表明 缓慢变化的激振力的动力 作用与其最大值的静力作 用几乎相同。 以 b 为纵轴，以 l为横轴，对于每一个x 值，都可得到一条幅频特性曲线。在图17-16中画出了不同 x 值的幅频特性曲线。 1）低频区 趋近于1，表明 缓慢变化的激振力的动力 作用与其最大值的静力作 用几乎相同。

2）高频区 趋近于零，即振幅 B 趋近于零。 3）当 趋近于1，即 w 趋近于wn时，在小阻尼情况下，幅频特性曲线出现一个峰值，此时振幅显著地增大。

（3）阻尼对振幅B的影响： 由图17-16可以看出，在低频区和高频区，阻尼对振幅的影响十分微小，可忽略系统的阻尼。当 w 趋近于 wn 时，即在共振区内，阻尼对振幅的影响很大。在共振区内，阻尼对受迫振动有显著的抑制作用 。