沪科版 九年级 下册 24.3 圆周角

一. 复习引入: . O B C 1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角 一. 复习引入: . O B C 1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角 2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦、弦心距四个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。

. . . 探索 圆周角 我们知道：顶点在圆心的角叫圆心角，当圆心角的顶点发生变化时,我们得到以下三种情况: 探索1: A A O B C 圆内角 圆外角 圆周角

考考你：你能仿照圆心角的定义，给下 图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？ o A B C 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做 圆周角．

二、概念 什么叫做圆周角？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角． D · A E C O B

辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗? C D E

6．5圆周角（一） C C C o o o A B 图1 A B 图2 A B 图3 C A C C o o B o B A B 图4 图5 练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？ C C C o o o A B 图1 A B 图2 A B 图3 C A C C o o B o B A B 图4 图5 A 图6 o A B C o o C 图7 图8 图9 A A B B

请仔细观察下图,△ABC内接于⊙O,∠A、∠B、∠C有什么共同特点? · 顶点在圆上 两边都与圆相交 圆周角 O B C

× × √ × √ × 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角 . 练习:指出下图中的圆周角. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 练习:指出下图中的圆周角. × × √ × √ ×

如图,△ABC是等边三形,∠BAC与∠BOC的大小有什么关系? (∠BAC与∠BOC分别是弧BC所对的圆周角和圆心角)

二、观察 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB 和∠AEB ）和同学乙的视角相同吗？

１．视角∠AOB和∠ACB有什么关系？即同弧所对的圆心角和圆周角的关系． 深入探究 １．视角∠AOB和∠ACB有什么关系？即同弧所对的圆心角和圆周角的关系． ２．∠ADB和∠AEB和∠ACB相等吗？即同弧所对的圆周角之间的大小关系．

类比圆心角探知圆周角 你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗? 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？ 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系. 你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?

圆周角和圆心角的关系 （1） 折痕是圆周角的一条边，如图（1） （2） 折痕在圆周角的内部，如图（2） 在⊙O任取一个圆周角∠BCA，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BCA的顶点C。由于点C的位置的取法可能不同，这时有三种情况： （1） 折痕是圆周角的一条边，如图（1） （2） 折痕在圆周角的内部，如图（2） （3） 折痕在圆周角的外部．如图（3）

圆周角和圆心角的关系 1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. ∵∠AOC是△ABO的外角， A B C ∴∠AOC=∠B+∠A. ●O ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC = ∠ AOC. 根据以上证明你能得到什么结论？

定理证明 (1)圆心在圆周角的一边上 证明： ∵OA=OC ∴∠BAC＝∠C ∴∠BOC＝∠BAC+∠C=2∠BAC ∴∠BAC= ∠BOC

圆周角和圆心角的关系 2.考虑第二种情况 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 能否转化为1的情况? A B C D 过点B作直径BD.由1可得: ●O ∠ABD = ∠AOD, ∠CBD = ∠COD, ∴ ∠ABC = ∠AOC. 根据以上证明你又能得到什么结论？

(2)圆心在圆周角的内部 证明： 连结AO并延长交⊙O于D点 ) 由（１）得∠BAＤ= ∠BOＤ ∠ＣAＤ= ∠ＣOＤ ∴∠BＡC＝　　∠BＯＤ+　　∠CＯＤ ∴∠BＡC＝　　∠BＯＣ

圆周角和圆心角的关系 3.考虑第二种情况 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 能否也转化为1的情况? A B C ●O D 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, ∴ ∠ABC = ∠AOC. 根据以上证明你又能得到什么结论？

(３)圆心在圆周角的外部 证明： 连结AO并延长交⊙O于D点 ) 由（１）得∠BAＤ= ∠BOＤ ∠ＣAＤ= ∠ＣOＤ ∴∠BＡC＝　　∠ＣＯＤ－　∠ＢＯＤ ∴∠BＡC＝　　∠BＯＣ

结论：圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 如图：则有 ∠ACB= ； ∠ADB= ； ∠ =∠ . ACB ADB

⌒ 弧等 角等 做一做 · 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等. 1.在一个圆中，并画出AB所对的圆周角能 画多少个？它们有什么关系？ ⌒ 2.在同圆和等圆中，如果两个弧 相等，它们所对的圆周角一定 相等吗？为什么？反过来呢？ D · A E C 推论1： O 同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等. B 弧等 角等

· 三、探索半圆或直径所对的圆周角的度数 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径. 如图， △ABC内接于⊙O, 请思考当∠AOB为180°时, ∠ACB的度数是多少?从而你得到什么结论? C · A B O 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径.

证明：因为OA＝OB＝OC， ∴ △AOC、△BOC都是等腰三角形 ∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB 又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝ 180° ∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝ ＝90° 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°

例1.如图,AB是O的直径,弦CD交AB于点P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数. 解:连接BC,则∠ACB=90°, ∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝ 90°－60°=30°. 又∵∠BAD=∠DCB=30°, ∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.

· ⌒ 例2.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中， A B O ∵CD平分∠ACB， ∴ AD=BD. ⌒ D ∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，

练　习 1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ ∠1 = ∠4 C ∠5 = ∠8 A 8 1 7 2 ∠2 = ∠7 3 6 ∠3 = ∠6 4 5 B D

. . 2.求圆中角x的度数。 120° 35° O B A C 3.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___. 130° 70° x 3.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___. 130° 4、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________ 25°

5.如图，P是△ABC的外接圆上的一点， ∠APC=∠CPB=60°. 求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵∠ABC和∠APC · A P B C O 证明：∵∠ABC和∠APC 都是 ⌒ 所对的圆周角. AC ∴∠ABC=∠APC=60° (同弧所对的圆周角相等） 同理: ∠BAC=∠CPB=60°. ∴△ABC等边三角形.

∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD， 6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证：⌒　⌒ BD=DE A B C D E 证明：连结AD. ∵AB是圆的直径，点D在圆上， . O ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD， ∴ ⌒ ⌒ BD= DE （同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等）

7.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 且CO= AB 已知：△ABC ，CO为AB边上的中线， 求证： △ABC 为直角三角形. C 证明： · 以AB为直径作⊙O， CO= AB, ∵AO=BO， A B O ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, ∴∠ACB= ×180°= 90°. ∴ △ABC 为直角三角形.

内容小结： (1)一个概念（圆周角） (2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于 它所对圆心角的一半. (3)二个推论： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.

内容小结： 思想方法：一种方法和一种思想. 在证明中，运用了数学中的分类方法和化归思想. 分类时要做到不重不漏；化归思想是将复杂问题转化成一系列的简单问题或已证问题.

再见 ! 知识像一艘船，让它载着我们驶向理想的 ……

试金石： 1.求圆中角X的度数 B A O . 70° x C 2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。 O A B C

3、如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.

4.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径，且∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC. A O B C

⑵如图6：已知弦AB、CD相交于P点，且∠AOC=44、 ∠BOD=46 求 ∠APC 的度数。 5⑴如图5，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5= 。 ⑵如图6：已知弦AB、CD相交于P点，且∠AOC=44、 ∠BOD=46 求 ∠APC 的度数。 O A B C D P 图6 1 2 3 4 5 图5

四、例题 例1 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中， ∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，

已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 练 习 求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= AB 求证： △ABC 为直角三角形. C · 证明： 以AB为直径作⊙O， CO= AB, ∵AO=BO， A B O ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, ∴∠ACB= ×180°= 90°. ∴ △ABC 为直角三角形.

练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.

3、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=35° ， 求∠BOC的度数。 350 700 ∠BOC =140°

Ｄ 交流合作 １.ΔABC内接于⊙O ，∠BOC=80º， 则∠BAC等于( ). (A)80º (B) 40º (C) 140º (D) 40º或140º Ｄ

Ｃ 交流合作 ２．已知:如图,AB=AC=AD, ∠BAC=40º, 则∠BDC的度数为( ) （A）40º （B）30º （C）20º （D）不能确定

交流合作 3．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC 分别是 则∠BAC的度数为＿＿＿＿＿． 15°或 75 °

A 交流合作 4．如图，⊙O1、⊙O2相交于A、B两点， 直线O1O2交两圆于C、D∠O1AO2=40°， 则∠CBD等于（ ）

C Ｄ Ｄ 课堂反馈 1．如图，已知圆心角∠BOC＝100°， 则圆周角∠BAC的度数为（ ） A、100° B、130° C、50° D、80° C Ｄ 2．圆内接正三角形的一条边所对的圆周角为( ) A、30° B、60° C、30°或150° D、60°或120° 3．如图，A、B、C三点在⊙O上， ∠AOC=100°，则∠ABC等于( ) A、140° B、110° C、120° D、130° Ｄ

A 课堂反馈 4.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1∶3的两条弧， 则劣弧所对的圆周角的度数为（ ） 则劣弧所对的圆周角的度数为（ 　） A、45°　　B、90°　　　C、135°　　　D、270° A 5．已知：如图，△ABC内接于 ⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC ＝30°，则∠CAD等于_________。 60° 6． 在⊙O中，一条弦的长度等 于半径，则它所对的圆周角的 度数为_________。 30°或150 ° 7．半径为1的圆中有一条弦，如果 它的长为 那么这条弦所对的圆 周角的度数等于 . 60°或120 °

课堂反馈 弦AB分圆为l∶5两部分，则弦AB所对 的圆周角度数等于 30°或150 ° 9． 已知：如图，AB 为⊙O的直径，∠BED=35º， 则∠ACD= º 。 55 O D A B C E 10．圆内接四边形相邻三个内角之比是3:1:6， 则这个四边形的最大角的度数为 。 160 °

7 学以致用 作业适量 分层要求 A层（基础题） ⑶如图9，已知AB=AC=2cm, ∠BDC=60，则△ABC 的周长是 。 ⑷如图10：∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC 的度数。 A B C D O 图9 A B C O 图10

7 学以致用 作业适量 分层要求 B层（中等题） ⑴ 在⊙O中，∠BOC=100o，则弦BC所对的圆周角 是 度。 是 度。 ⑵如图11，AD是⊙O直径，BC=CD，∠A=30°， 求∠B的度数。 A B C D O 图11

7 学以致用 作业适量 分层要求 C层（提高题） 如图12，AB是⊙O直径，点C在圆上，∠BAC的平分线交圆于点E，OE交BC于点H，已知AC=6，AB=10，求HE的长。 A B C O H E 图12

7 学以致用 作业适量 分层要求 球门 D层（课外延拓、承上启下） 如图13：“世界杯”赛场上李铁、邵佳一、郝海东三名队员互相配合向对方球门进攻，当李带球冲到如图C点时，邵、郝也分别跟随冲到图中的D点、E点，李应把球传给谁好？请你从数学角度帮忙合情说理、分析说明。 A B C D E O 图13

能力提升 　1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A

能力提升 　1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A

能力提升 ⌒ ⌒ 　　 2、如图，在⊙O中，AB为直径，CB = CF, 弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC

25° 20° 3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则 ∠CAD=______； 4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_ _； 20°

3、若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于多少度。 4、如图，BC为圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是BF的中点AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于点E。 （1）说明：BE·BF=BD·BC （2）说明：AE=BE

小结: 1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90° 90°的圆周角所对的弦是圆的直径 3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。