九年级上册 第二十四章 圆 垂直于弦的直径 北京市海淀实验中学 吴 波
活动1 用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论? 结论: 圆是轴对称图形,任何一条直径所 在直线都是它的对称轴. 思考:你能证明你的结论吗?
思考 在圆形纸片上任意画一条弦AA’,作垂直于弦AA’的直径CD,把圆沿着直径CD翻折时,你发现了什么?由此你能得到什么结论?
思考 问题1:如果换一条直径,这些线段和弧的 相等关系还存在吗? 问题2: 我们得到的这些线段和弧在量上的 相等关系是由谁决定的?
思考 问题3:既然线段和弧在量上的相等关系是由 其相应的对称轴即直径决定的,那 么要如何描述这条对称轴呢? 问题4:平分弦的直径一定垂直于弦吗?
垂径定理及其推论 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理推论:平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦,并且平分弦所对 的两条弧.
垂径定理 P A D C B O ∵ CD 是⊙O的直径, CD ⊥AB ∴ AP=BP P
垂径定理推论 P A D C B O ∵ CD 是⊙O的直径, AP=BP ∴ CD ⊥AB P
例题讲解 已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中, 大圆的弦AB 交小圆于C、D两点,两个圆 都以点O为圆心. 求证: AC=BD.
例题讲解 已知:⊙O中,OA=OB ,AB 交 ⊙O于C、D两点. 求证:AC=BD.
例题讲解 已知:如图,AB为弦,C、D为弦AB上的点,且OC=OD. 求证: AC=BD.
例题讲解 如图,AB为弦,⊙O的半径OE、OF分别交 AB于C、D,且AC=BD. 求证:CE=DF.
例题讲解 E A D C B O 已知:CD是⊙O的直径,CD⊥AB于E,CD=10,OE=3. 求弦AB的长. 5 3
例题讲解 已知:CD是⊙O的径,CD⊥AB于E,AB=16,OE=6. 求⊙O的半径. E A D C B O 6 8
例题讲解 已知:如图,⊙O 的半径 为5,OE⊥AB于E,弦AB=8, 求弦心距OE的长.
课堂小结 根据圆的轴对称性可知: 1.图形中存在等腰三角形; 2.图形中的直角三角形的三边分别为: 半径、弦长的一半、弦心距. 1.图形中存在等腰三角形; 2.图形中的直角三角形的三边分别为: 半径、弦长的一半、弦心距. 根据勾股定理可知: 三者间存在数量关系,三者知二求一.
例题讲解 已知: CD为⊙O的直径,弦AB交CD于E, AE=BE,AE=3,CE=1. 求ED的长.
巩固练习 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2 m,求桥拱的半径(精确到0.1 m).
总结归纳 1.本节课你学到了什么?还有哪些困惑? 2.我们是如何得到垂径定理及其推论的? 3.你学到了哪些数学思想和方法? 1.本节课你学到了什么?还有哪些困惑? 2.我们是如何得到垂径定理及其推论的? 3.你学到了哪些数学思想和方法? 复习巩固:第1,2,3题.
布置作业 教科书83页练习第1,2题. 复习巩固:第1,2,3题.