2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

主要内容 2.1.1 平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4平面与平面之间的位置关系

2.1.1 平 面

构成图形的基本元素 A′ B′ C′ D′ A B C D 点无大小 线无粗细 面无厚薄 点、线、面

点 直线 可无限延伸的 平面 平面是可无限延展的

平面的表示 平面的画法 一般来说，常用正方形或长方形表示平面，如图一, 在画立体图时，为了增强立体感， 常常把平面画成平行四边形，如图二是按照斜二测画法得到的平面的水平直观图. 图一 图二

平面的表示 平面的符号表示 D C  A B 1. 希腊字母： 平面， 平面，平面 2. 一个或几个拉丁字母： 平面M， 平面AC， 1. 希腊字母： 平面， 平面，平面 2. 一个或几个拉丁字母： 平面M， 平面AC， 平面ABCD等

平面的表示 两个相交平面的画法和表示 平面和平面相交于一条直线a   a a 被遮住的部分画虚线 平面平面=直线a

平面的表示 用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线与平面的关系 直线和平面都可以看成点的集合 “点P在直线l上”,“点A在平面α内” 直线 l 在平面α内，或者说平面α经过直线 l 直线 l 在平面α外.

． 平面的基本性质 α B A 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 平面经过这条直线 集合符号表示 思考1：如何让一条直线在一个平面内？ 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. ． A B α 平面经过这条直线 集合符号表示 作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据

思考2：经过两点可以确定一条直线，那么经过几个点可以确定一个平面呢？ 平面的基本性质 思考2：经过两点可以确定一条直线，那么经过几个点可以确定一个平面呢？ 公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. ． A B C “不共线的三点确定一个平面”  集合符号表示 已知A、B、C三点不共线，则存在惟一平面，使得A、B、C 作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内

思考3：如果两个平面有一个公共点，那么还会有其它公共点吗？如果有这些公共点有什么特征？ 平面的基本性质 思考3：如果两个平面有一个公共点，那么还会有其它公共点吗？如果有这些公共点有什么特征？ 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P 作用：判断两个平面位置关系的基本依据

例题 a (2) (1) 例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系. α α a B l β l A β b P 解：1） A，B，=l，a=A，a=B 2) a,b,=l,al=P, bl=P, ab=P

例2：已知直线a，和点P，Pa，求证 经过点P和直线a有且只有一个平面.

探究问题 根据公理1探究直线与平面的各种位置关系. 根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个 平面的合理性. 根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个 平面的合理性. 根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.

小结 1.平面的表示：概念、图形、符号等 2.平面的基本性质 公理1 公理2 公理3 3.判断共面的方法

作业 P43 练习1,2,34 P51 习题A组 1，2

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

两条直线的位置关系 思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？ C

1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系如何？ 2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安街所在直线的位置关系如何？

两条直线的位置关系 观察 如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段 A′B所在直线分别与线段CD′所在直线，线段 BC所在直线，线段CD所在直线的位置关系如何? C B' C' A' D' B A D

两条直线的位置关系 定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线. b a a b 异面直线的图示

两条直线的位置关系 问题 关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法 最合适？ A. 空间中既不平行又不相交的两条直线； 关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法 最合适？ A. 空间中既不平行又不相交的两条直线； B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线； C. 分别在不同平面内的两条直线； D. 不在同一个平面内的两条直线； E. 不同在任何一个平面内的两条直线.

两条直线的位置关系 空间中的直线与直线之间有三种位置关系： 相交直线: 平行直线: 同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线 异面直线： 同一平面内，没有公共点； 不同在任何一个平面内，没有公共点

探究 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原 为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线 是异面直线的有多少对? B A C D F A H G E D C B G H E F 直线EF 和直线HG 直线AB 和直线HG 答：3对 直线AB 和直线CD

平行直线 观察 如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中, BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行吗 ? D' C' 答：平行

平行直线 公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行. 如果a//b，b//c，那么a//c 空间中的平行线具有传递性 A B C D E F 公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行. 如果a//b，b//c，那么a//c 空间中的平行线具有传递性 A B C D E F A F E D C B 三条平行线共面 三条平行线不共面

平行直线 问题 已知三条直线两两平行，任取两条直线能确 定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？ A B C D E F A F E D C 已知三条直线两两平行，任取两条直线能确 定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？ A B C D E F A F E D C B 三条平行线共面 三条平行线不共面

平行直线 例2 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分 别是AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：连接BD， 因为 EH是 的中位线， F G D A E B C H 所以 ，且 同理 ，且 因为 ，且 所以 四边形EFGH 是平行四边形．

探究 在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH 是什么图形？ 答：四边形EFGH是菱形 F G D A E B C H

等角定理 思考1 在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等或互补”．空间中，结论是否仍然成立？

思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ? B A D C A' B' D' C' B A D C A' B' D' C' ∠ADC=∠A′D′C′ ∠ADC+∠B′A′D′=1800

思考3 如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明∠BAC与∠B′A′C′ 相等吗？ B C A B´ C´ A´ E E´ D D´

等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等.

异面直线所成的角 思考 在同一平面内两条相交直线形成四个角，常取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系呢？ a b a b 平面内两条相交直线 空间中两条异面直线

已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线 ，把 与 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角． 异面直线所成的角 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线 ，把 与 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角． O O

异面直线所成的角 探究 我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么 两条异面直线所成的角的取值范围是什么？ 我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么 两条异面直线所成的角的取值范围是什么？ 如果两条异面直线所成角为900，那么这两条直线垂直. 记直线a垂直于b为：ab

异面直线所成的角 探究 （1）在长方体 中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？ 如： 等． （1）在长方体 中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？ 如： 等． （2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？ 垂直 （3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 不一定，如上图的立方体中 直线AB与BC相交，

异面直线所成的角 例3 已知正方体 ． （1）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？ （2）直线 和 的夹角是多少？ 例3 已知正方体 ． （1）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？ （2）直线 和 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线 垂直？ 解:（1）由异面直线的定义可知， 棱 所在的直线分别与直线 是异面直线． （2）由 可知， 为 异面直线 与 的夹角， ， 所以 与 的夹角为 ． （3）直线 分别与直线 垂直．

练习1 在如图所示的长方体中，AB= ，且 AA1=1，求直线BA1和CD所成角的度数. 30O

如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且 ，已知AB=CD=3， 练习2 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且 ，已知AB=CD=3， , 求异面直线AB和CD所成的角. A F E D C B

练习3 n直线相交最多有几个交点？

本节小结 基本知识 （1）空间直线的三种位置关系． （2）平行线的传递性． （3）等角定理． （4）异面直线所成的角． 基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.

作业 P48 练习1，2 P51 -52习题2.1 A组 3，4(1)(2)(3)(6)，5，6， B组1

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系

主要内容 直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行

直线与平面 思考？ 1）一支铅笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种关系？ D' C' B' C' A' D' B A D 2）如图，线段A’B所在直线与长方体ABCD-A’B’C’D’的六个面所在平面有几种位置关系？

直线与平面 直线和平面的位置关系有且只有三种 (1)直线在平面内 有无数个公共点 a 记为：a 

直线与平面 (2)直线与平面相交 有且只有一个公共点 a A 记为：a=A 

直线与平面 （3）直线与平面平行 没有公共点 a 记为：a// 

直线与平面 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 记为：a a// a=A a a 或 A  

直线与平面 例1. 下列命题中正确的个数是 ( ) 1）若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l// 例1. 下列命题中正确的个数是 ( ) 1）若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l// 2) 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意 一条直线都平行 3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那 么另一条也与这个平面平行 4）若直线 l与平面平行，则 l与平面内的任意一 条直线都没有公共点. B (A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

主要内容 直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行

作业 P49 练习 P51-53 习题2.1A组 4(4)(5) B 2，3

2.1.4 平面与平面之间的 位置关系

平面与平面之间的位置关系 思考 （1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？ （2）如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？ C B' C' A' D' B A D

两个平面的位置关系 两个平面的位置关系有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线． 分类的依据是什么？ 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

两个平面平行或相交的画法及表示    m  // =m

探究1 已知平面 ，直线a、b，且//，a，b， 则直线a与直线b具有怎样的位置关系？ a  b  答：平行或异面

如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论. 探究2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论. b α β γ a l α β γ a b l 相交于一条交线 三条交线 三条交线

探究3 一个平面可以把空间分成几个部分？ 两个平面可以把空间分成几个部分？ 三个平面可以把空间分成几个部分？

小结 平面与平面的位置关系 平面与平面相交 平面与平面平行

作业 P50 练习 P52 习题2.1 A组7，8