第七章 实际流体动力学基础 §7.2 边界层的基本概念 §7.3 边界层的动量方程 §7.4 平板边界层计算 §7.5 边界层的分离现象 第七章 实际流体动力学基础 §7.1 纳维—斯托克斯方程 §7.2 边界层的基本概念 §7.3 边界层的动量方程 §7.4 平板边界层计算 §7.5 边界层的分离现象 §7.6 绕流阻力

§7.1纳维—斯托克斯方程 一 实际流体的应力 实际流体具有实际，运动时会产生切应力，它的力学性质不同于理想流体，在作用面上的表面应力既有压应力，也有切应力。 如图，过M点作用于水平面上 的表面应力pn在x、y、z轴上 的分量为一个垂直于水平面的 压应力pzz和两个与水平面相切 的切应力τzx、τzy。

压应力和切应力的下标中第一个字母表示作用面的法线方向，第二个字母表示应力的作用方向。 通过M点在三个相互垂直的作用面上的表面应力共有九个分量，其中三个是压应力pxx、pyy、pzz，六个是切应力τxy、τxz、τyx、τyz、τzx、τzy，将应力分量写成矩阵形式：

二 应力形式的运动方程 在实际流体的流场中，取一以点M为中心的微元直角六面体，其边长分别为dx、dy、dz。 设M点的坐标为(x，y，z)，流体在M点处的速度分量为ux、uy、uz，密度为ρ。根据泰勒级数展开，并略去级数中二阶以上的各项，六面体各表面上中心点的应力如图所示。

作用于六面体的力有质量力和表面力两种，x方向上的表面 力有： 将三式相加，得

设作用于六面体的单位质量力在x轴上的分量 为fx，则x方向上作用于六面体的质量力为 ρfxdxdydz。 根据牛顿第二定律有：

化简上式可得 同理，在y、z 轴方向上 (7.1)

这些关系式可以从对流体质点的应力分析中得到。 式(7.1)是以应力表示的实际流体的运动微分方程。式中单位质量力的分量fx、fy、fz通常是已知的，对于不可压缩均质流体而言，密度ρ是常数，所以上式中包含6个应力分量和3个速度分量，共9个未知量。而式中只有3个方程式，加上连续性微分方程也只有4个方程式，无法求解，因此必须找出其他的补充关系式。 这些关系式可以从对流体质点的应力分析中得到。

三 实际流体应力与变形速度的关系 根据第一章讨论过的牛顿内摩擦定律，切应力 流体微团运动时的角变形速度与纯剪切变形速度的 关系为 从而有

因此，切应力分量与角变形速度的关系式写作 上式即为实际流体切应力的普遍表达式，称为广义 牛顿内摩擦定律。 （7.2）

实际流体运动时存在切应力，所以压应力的 大小与其作用面的方位有关，三个相互垂直 方向的压应力一般是不相等的， pxx≠pyy≠pzz 在实际问题中，同一点压应力的各向差异并 不很大，可以用平均值p作为该点的压应力， 即

这样，实际流体各个方向的压应力可以为等于这个平均值加 上一个附加压应力，即 这些附加压应力可认为是由于粘滞性所引起的。由于粘滞性 的作用，流体微团除了发生角变形外，同时也发生线变形， 即在流体微团的法线方向上有相对的线变形速度 、 、 ，从而使压应力的大小有所改变，产生附加压应力。 (7.3)

在理论上可以证明，对于不压缩均质流体，附加压应力与线 变形速度之间关系类似（7.2）式。将切应力的广义牛顿内 摩定律推广应用，可得附加压应力等于流体的动力粘度与两 倍的线变形速度的乘积，得 上式中的负号是因为当为正值时，流体微团发生伸长变形，周 围流体对它作用的是拉力，应为负值；反之，当为负值时，流 体微团发生压缩变形，周围流体对它作用的是压力，应为正值 (7.4)

因此，压应力与线变形速度的关系式为： 不可压缩均质实际流体的连续性方程为 将(7.5)式中三个式子相加后平均，得 上式正好验证了前述 的关系。 (7.5)

将（7.2）式和（7.5）式代入以应力形式表示的实 际流体的运动微分方程（7.1）式，写出x方向的方 程式为 整理得到 因不可压缩均质实际流体的连续性方程为 引入拉普拉斯算符

上式即为不可压缩均质实际流体的运动微分方程，即纳维— 斯托克斯方程，简称N-S方程。如果流体是理想流体，上式则 将加速度项展开， 得 同理，在y、z方 向可得 上式即为不可压缩均质实际流体的运动微分方程，即纳维— 斯托克斯方程，简称N-S方程。如果流体是理想流体，上式则 成为理想流体的运动微分方程；如果流体为静止流体，上式 则成为欧拉平衡微分方程。所以，N-S方程是不可压缩均质流 体的普遍方程。 （7.6）

N-S方程中未知量有p、ux、uy、uz四个，加上连续性方程共有四个方程式，从理论上讲，任何不可压缩均质流体的N-S方程，在一定的初始和边界条件下，是可以求解的。但是，N-S方程是二阶非线性偏微分方程组，要进行求解是很困难的，只有在某些简单的或特殊的情况下，才能求得精确解。 N-S方程的精确解，虽然为数不多，但能揭示实际流体的一些本质特征，其中有些还有重要的实用意义。它可以作为检验和校核其他近似方法的依据，探讨复杂问题和新的理论问题的参照点和出发点。下面介绍求解精确解的例题。

例7.1 设实际流体在两无限长的水平平板间作恒定层流流动，上板移动速度为U1，下板移动速度为U2。已知两板间距为2h，质量力可忽略不计，试求两平板间的速度分布。 解：uy=uz=0；由于平板很大，速度与坐标x、z无关，即ux=ux(y)；另外，由于在y、z轴方向无流动，压强p与y、z无关，p=p(x)。 流体的方程简化为 因为是x的函数，与y无关，上式积分两次得 边界条件为 y=h时，ux=U1；y=-h时，ux=U2 得到积分常数 得到速度分布式

§7.2 边界层的基本概念 实际流体流经固体时，固体边界上的流体质点粘附在固体表面边界上，与边界没有相对运动，称为无滑移条件。在固体边界的外法线方向上流速从零迅速增大，在边界附近的流区存在着相当大的速度梯度。在这个流区内粘滞性作用不能忽略，边界附近的这个流区就称为边界层（或附面层）。 将大雷诺数流动情况视为由两个性质不同的流动所组成：一是固体边界附近的边界层流动，粘滞性作用不能忽略；另一个是边界层以外的流动，按理想流体来处理。

设在速度为U0的二维恒定均匀流场中，放置一块与流动方向平行的厚度极薄光滑的平板，可认为平板不会引起流动的改变，如图所示。现讨论平板一侧的情况。从平板前缘开始形成的流速不均匀区域就是边界层。

由层流边界层转变为湍流边界层的点xcr设为转捩点，对应的雷诺数称为临界雷诺数Rex,cr。对于光滑平板而言， 这里注意： 1 边界层的厚度δ 一般规定ux=0.99U0的地方可看作是边界层外边缘，可以认为边界层厚度δ是沿固体表面外法线方向从ux=0到ux=0.99U0的一段距离。 2 边界层内的流态也有层流和湍流两种。在边界层的前部，为层流边界层。沿流动方向，随着x增加，雷诺数增大，当其达到一定数值后，边界层内流动经过一过渡段后转变为湍流，成为湍流边界层。 3 边界层内流动的雷诺数表示为 由层流边界层转变为湍流边界层的点xcr设为转捩点，对应的雷诺数称为临界雷诺数Rex,cr。对于光滑平板而言， 3×105 < Rex,cr<3×106

边界层概念也适用于管流和明渠流动，如图所示。由于受壁面阻滞的影响，靠近管壁或渠壁的流体在进口附近形成边界层，其厚度δ随离进口的距离的增加而加大。当边界层发展到管轴或渠道自由表面后，流体的运动都处于边界层内，此后流速分布不再变化，形成均匀流动。从进口发展到均匀流的长度，称为进口段长度，用L’表示。

管流进口段 明渠流进口段

§7.3 边界层的动量方程 设二维恒定匀速绕流一固体，如图所示。沿固体表面取x轴，沿固体表面的外法线方向取y轴，在固体表面取单宽微段ABCD为控制体，对它建立x方向的动量方程。

（2）dx无限小，所以BD、AC可视为直线。 根据动量方程得 假设：（1）不计质量力； （2）dx无限小，所以BD、AC可视为直线。 根据动量方程得 式中，MCD、MAB、MAC分别为单位时间通过CD、AB、AC面的流 体动量在x轴上的分量；ΣFx为作用在控制体ABCD上所有外 力的合力在x轴上的分量。 (a)

单位时间通过AB、CD、AC面的质量分别为

对控制体进行受力分析。作用在ABCD的外力只有表面力。 理论证明，沿固体表面的外法线方向压强不变，即 ，因而AB、CD面上压强是均匀分布的。设AB面上的压强为p，则作用在CD面上的压强由泰勒级数展开为 。作用在AC面上的压强是不均匀的，现已知A点压强为p，C点压强为 ，取其平均值为

设固体表面对流体作用的切应力为τ0，那么固体表面的摩擦阻力为τ0dx。由于边界层外可看作是理想流体，边界层外边界AC面上没有切应力。 因为 ，所以 略去高阶微量，并考虑p仅仅是x的函数，用全微分代替偏微分，则上式为 (e)

将(b)、(c)、(d)、(e)式代入(a)式，得 上式即为边界层动量积分方程，也称为卡门动量积分方程。它适用于层流边界层和湍流边界层。 (7.7) 注意：当ρ为常数时，（7.7）式中，u0可由势流理论得到，p可由伯努利方程求出，剩下δ、ux、τ0三个未知量。因此，要求解边界层动量积分方程，还必需补充两个方程。通常是边界层内流速分布关系式ux= ux(y)和切应力τ0与边界层厚度δ的关系式τ0=τ0(δ)。

§7.4 平板边界层计算 设有一极薄的静止光滑平板顺流放置在二维恒定均速流场中，如图。 §7.4 平板边界层计算 设有一极薄的静止光滑平板顺流放置在二维恒定均速流场中，如图。 平板首端设为坐标原点，取平板表面为x轴，来流速度为U0且平行于x轴。因为 平板极薄，可认为对流场没有影响，因此边界层外边界上的速度处处相等，且 等于来流速度U0。根据伯努利方程，由于流速不变，边界层外边界上的压强处处 相等，即 。对于不可压缩均质流体而言，密度ρ是常数，可以提到积 分符号外，（7.7）式可写为 (7.8)

一 平板层流边界层 首先要补充两个关系式。 第一个关系式为边界层内流速分布关系式ux= ux(y)。这里 假定层流边界内流速分布和管流中的层流速度分布相同， 即 将其应用于层流边界层，管流中的r0对应于边界层的厚度 δ，r对应于(δ-y) ，umax对应于U0，u对应于ux。这样， 上式可写为 或 (7.9)

第二个补充关系式为切应力与边界层厚度的关系式 τ0=τ0(δ)。因为是层流，符合牛顿内摩擦定律， 求平板上的切应力，令y=0，得 整理简化得到 将(7.9)、(7.10)式代入(7.8)式，得 (7.10)

积分常数C由边界条件确定，当x=0时，δ=0，得到C=0。代 入上式得 简化为 积分得 积分常数C由边界条件确定，当x=0时，δ=0，得到C=0。代 入上式得 化简后得到 式（7.11)即为平板层流边界层厚度沿x轴方向的变化关系。 (7.11)

上式即为平板层流边界层的切应力沿x轴方向的变化关系。 作用在平板上一面的摩擦阻力Df为 将(7.11)式代入（7.10）式，化简后可得 上式即为平板层流边界层的切应力沿x轴方向的变化关系。 作用在平板上一面的摩擦阻力Df为 式中，b为平板的宽度，L为平板的长度。将(7.12)式代入上 式，积分后得到 如求平板两面的总摩擦阻力时，将上式乘以2即可。 (7.12) (7.13)

式中，Cf为摩阻系数；ρ为流体密度；U0为流体的来流速 度；A为切应力作用的面积，这里指平板面积。 由(7.13)式和(7.14)式比较可得 通常将绕流摩擦阻力写成如下形式 式中，Cf为摩阻系数；ρ为流体密度；U0为流体的来流速 度；A为切应力作用的面积，这里指平板面积。 由(7.13)式和(7.14)式比较可得 式中， ，ReL是为以板长L为特征长度的雷诺数。 (7.14) (7.15)

二 平板湍流边界层 对于湍流边界层的计算，同样要补充两个关系式。 这里假定从平板首端开始就是湍流边界层，并且不考虑平板 壁面粗糙度的影响。 借用圆管湍流水力光滑区的流速分布公式 将其应用于平板湍流边界层，管流中的r0对应于边界层的厚 度δ，umax对应于U0，u对应于ux。这样，上式可写 (7.16)

第二个补充关系式为切应力与边界层厚度的关系式同样借用 管流的关系式 将(7.16)、(7.17)式代入(7.8)式，得 积分得到 积分常数C由边界条件确定，当x=0时，δ=0，得到C=0。 化简后得到 (7.17) (7.18) 上式即为平板湍流边界层厚度沿x轴方向的变化关系。

上式即为平板湍流边界层的切应力沿x轴方向的变化 关系。 作用在平板上一面的摩擦阻力Df为 将式(7.18)代入（7.17）式，可得 上式即为平板湍流边界层的切应力沿x轴方向的变化 关系。 作用在平板上一面的摩擦阻力Df为 将(7.19)式代入上式，积分后得到 (7.19)

如果用绕流摩擦阻力的通用形式（7.14）表示，摩 阻系数为 实验表明，上式中的0.072改为0.074，则与实验的 结果符合得更好。 (7.20) 可以看出：与层流边界层比较，当ReL增加时，湍流的Cf要比层流的Cf减小得慢些；在同一ReL的情况下，湍流的Cf要比层流的Cf大得多，即在湍流边界层内，产生更大的摩擦阻力。

三 平板混合边界层 前面讨论的是假定整个平板上的边界层都处于湍流状态，但 实际上，当雷诺数增加到某一数值后，而且平板长度 时，平板的前部是层流边界层，后部是湍流边界层，在层流 和湍流边界层之间还有过渡段。这种边界层称为混合边界 层。 由于混合边界层内流动情况很复杂，在进行计算时，作了两 个假设： 1 层流边界层转变为湍流边界层是在xcr处突然发生的，没有过渡段； 2 混合边界层的湍流边界层可以看作是从平板首端开始的湍流边界层的一部分。

根据假设，整个平板混合边界层的摩擦阻力，由转 捩点xcr前层流边界层的摩擦阻力和转捩点xcr后湍流 边界层的摩擦阻力两部分组成，即 式中 Cf,m、Cf,t、Cf,l分别为混合边界层、湍流边 界层、层流边界层的摩阻系数，这里用Cf,t、Cf,l分别表示整个平板都是湍流边界层和平板首端到转捩点这段距离是湍流边界层的情况。

将式(7.15)和(7.20) 代入上式，得平板混合边界层的摩阻 系数为 由此得 将式(7.15)和(7.20) 代入上式，得平板混合边界层的摩阻 系数为 或 式中， (7.21) (7.22)

例7.2 设有一平板长5m，宽2m，顺流放置在二维恒定匀速流 场中。已知水流以的速度U0=0.1m/s绕流平板，平板长边与 水流方向一致，水的运动粘度 m2/s，密度 求（1）距平板首端1m和4m处边界层厚度； （2）平板一面所受的摩擦阻力。 解：首先判别流态 整个平板的边界层为层流边界层。 在x=1m和x=4m时，边界层的厚度分别为

平板一面所受的摩擦阻力为

例7.3 一块面积为的矩形平板放在速度 的水流中， 水的运动粘度 ，平板放置的方法有两种：以长边 顺着流速方向，摩擦阻力为F1；以短边顺着流速方向，摩擦 阻力为F2。试求比值F1/F2。 解：设定转捩雷诺数 ， 那么 长边顺着流速方向时，b1=2m，L1=8m，L1>xcr，整个平板 边界层为混合边界层，那么摩擦阻力为

短边顺着流速方向时，b2=8m，L2=2m，L2>xcr，整个平板 边界层也为混合边界层，那么摩擦阻力为 这里 所以

§7.5 边界层的分离现象 在某些情况下，边界层内的流体向边界层以外流动，这种现象称为边界 层从固体边界上的分离。 以液体绕圆柱的流动来说明边界层的分离现象： 设二维恒定匀速流绕光滑表面静止圆柱的流动。由伯努利方程知，越接 近圆柱，流速越小，压强越大，在贴近圆柱表面的A点处流速降低为 零，压强增加到最大。流速为零，压强最大的点，称为停滞点或驻点。 液体质点到达停滞点后，便停滞不前了。由于液体不可压缩，继续流来 的液体质点，在较圆柱两侧压强为大的驻点的压强作用下，只好将压能 部分转变为动能，改变原来的运动方向，沿着圆柱面两侧继续向前流 动。观察流线，看到流线在停滞点呈分歧现象。如图。

实际流体绕流圆柱 图 当液体从停滞点A向两侧面流去时，在圆柱面上产生边界层。从A点经过四分之一圆周到达B点以前，边界层内液体处在加速减压的情况，这时压能的减小部分还能补偿动能的增加和克服流动阻力所消耗的能量损失，边界层内液体的流速不会为零。

过了B点以后，边界层内液体处在减速增压的情况，这时动 能一部分转换为压能，另外一部分转换为用以克服流动阻力 所消耗的能量损失。因此，边界层内的液体质点速度迅速降 低，到贴近圆柱面的C点，流速将为零。液体质点在C点停滞 下来，形成新的停滞点。由于液体不可压缩，继续流来的液 体质点被迫脱离原来的流线，沿着另一条流线流去，如图中 的CE线，从而使边界层脱离了圆柱面，这种现象即为边界层 的分离现象，C点称为分离点。

边界层分离后，在边界层与圆柱面之间，由于分离点下游的 压强大，从而使液体发生反向回流，形成旋涡区。在绕流物 体边界层分离点下游形成的旋涡区称为尾流。 分离点的位置是不固定的，它和流体所绕物体的形状、粗糙 程度、流动的雷诺数以及来流和物体的相对方向等有关。如 前述的流体绕经极薄平板的流动，当平板与来流方向平行放 置时，边界层不会发生分离。但当平板与来流方向垂直放置 时，则必然在平板两端产生分离，如图。

总结：边界层的分离是增速减压和物面实际阻滞作 用的综合结果。 垂直绕流平板 图 总结：边界层的分离是增速减压和物面实际阻滞作 用的综合结果。

§7.6 绕流阻力 一 绕流阻力的基本概念 实际流体绕流物体，作用在物体上的力可以分解为绕流阻力D和升力L。 绕流阻力D包括摩擦阻力Df和压差阻力Dp两部分，D=Df+Dp。 摩擦阻力Df是由于物体的粘滞性引起的，] 可用前述的边界层理论计算。 压差阻力Dp对于非流线型物体而言，是 由于边界层的分离，在物体尾部形成的 旋涡区的压强较物体前部的低，因而在 流动方向上产生压强差，形成作用于物 体上的阻力。压差阻力主要取决于物体的形状，所以又称为形状阻力。

式中，Df和Dp分别表示摩擦阻力系数和压差阻力系数；Af为 切应力作用的面积，Ap为物体与流速方向垂直的迎流投影面 积。 摩擦阻力和压差阻力的计算公式分别为 式中，Df和Dp分别表示摩擦阻力系数和压差阻力系数；Af为 切应力作用的面积，Ap为物体与流速方向垂直的迎流投影面 积。 绕流阻力计算公式可写为 式中，CD为绕流阻力系数，A=Ap。 一般而言， CD尚无法由理论计算得出，多由实验确定。 (7.23)

二 减阻措施 绕流阻力中的压差阻力和摩擦阻力的主次取决于雷诺数。雷 诺数越大，压差阻力所占的份额越大。 压差阻力是由于边界层的分离引起的，与物体的形状关系密 切。物体后部曲率越大，分离越早，尾流越粗，压差阻力相 应越大；反之，就越小。对于流线型物体，边界层的分离点 接近尾端，绕流阻力基本上是表面摩擦力， 摩擦阻力与边界层的流态有很大的关系。一般来说，层流边 界层的摩擦阻力比湍流边界层小。为了减小摩擦阻力，应使 物面上的层流边界层尽可能长，并使壁面光滑。

通常减小阻力的措施为： （1）采用流线型外形，用以阻止或推迟边界层的分 离，从而达到减小压差阻力的目的。 （2）控制边界层，也是减小压差阻力的方法。对于 一些剖面形状或尺寸有特殊要求的物体，在加工制 造过程中采取一定的措施以控制边界层，避免边界 层分离。 （3）采用小的物面粗糙度，这是为了延长层流边界 层，从而达到减小摩擦阻力的目的。

三 自由沉降速度与悬浮速度 在实际工程中，需研究颗粒在流体中的运动规律，知道颗粒 在流体中的自由沉降速度、悬浮速度的概念和计算。 三 自由沉降速度与悬浮速度 在实际工程中，需研究颗粒在流体中的运动规律，知道颗粒 在流体中的自由沉降速度、悬浮速度的概念和计算。 现研究一个圆球在静止流体中的运动情况。设直径为d的圆 球，从静止开始在静止的流体中自由下落。由于重力的作用 而加速，而速度的增加受到的阻力随之增大。因此，经过一 段时间后，圆球的重量与所受的浮力和阻力达到平衡，圆球 作等速沉降，其速度称为自由沉降速度，用uf表示。

分析圆球所受的力： 方向向上的力有绕流阻力D和浮力B，分别为 方向向下的力有圆球的重量 式中，ρs为球体的密度，ρ为流体的密度，CD为绕流阻力 系数。

式中绕流阻力系数CD与雷诺数Re有关，可查图得到。也可以根据Re的范 围，采用下列公式进行近似计算，即 圆球所受的力平衡关系为 即 由此求得圆球的自由沉降速度为 式中绕流阻力系数CD与雷诺数Re有关，可查图得到。也可以根据Re的范 围，采用下列公式进行近似计算，即 当Re<1时， 圆球基本上沿铅垂线下沉，绕流属于层流状态， 当Re=10—103时， 圆球呈摆动状态下沉，绕流属于过渡状态， 当Re=103—2×105时， 圆球脱离铅垂线，盘旋下沉，绕流属于 湍流状态， (7.24)

如果圆球被以速度为u的垂直上升的流体带走，则圆球的绝 对速度us为 当u=uf时，us=0，则圆球悬浮在流体中，呈悬浮状态，这时 流体上升的速度u称为圆球的悬浮速度， 注意：us与uf数值相同，但意义不同。自由沉降速度是圆球自由下降时 所能达到的最大速度，而悬浮速度是流体上升速度能使圆球悬浮所需的 最小速度。

例7.4 已知炉膛中烟气流的上升速度 ，烟气的密 度 ，运动粘度 。试求烟气中直 径 的煤粉颗粒是否会沉降，煤的密度 解：烟气流的雷诺数 则 计算自由沉降速度为 因为 ，所以煤粉颗粒将被烟气流带走，不会沉降。