第六章 近独立粒子的最概然分布 §6. 1 粒子运动状态的经典描述 §6. 2 粒子运动状态的量子描述 §6. 3 系统微观运动状态的描述 §6. 4 等概率原理 §6. 5 分布和微观状态 §6. 6 玻耳兹曼分布 §6. 7 玻色分布和费米分布 §6. 8 三种分布的关系

如何描述系统的微观状态呢？ §6.1 粒子运动状态的经典描述 研究方法： §6.1 粒子运动状态的经典描述 是由大量微观粒子构成的，并且这些微观粒子不停地进行着无规则的运动。 宏观物体 研究方法： 1、热力学方法 2、统计物理学方法 统计物理是研究热运动的微观理论。它认为宏观物理系统是由大量微观粒子组成的，物质的宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现，宏观物理量是相应微观量的统计平均值。 对应 微观量 微观状态 我们先看看如何描述粒子的运动状态！！ 如何描述系统的微观状态呢？

即 ε = ε （ q1、q2、…qr ， p1、p2、…pr） 运动状态 是指粒子的力学运动状态． 根据它遵从的是经典的还是量子的力学运动规律，分为经典描述和量子描述，那么对给定的系统究竟是采用经典的还是量子的描述，其判断的方法就是利用测不准关系ΔqΔp≈h 。 注：原则上说微观粒子是遵从量子力学的运动规律的．经典理论在一定的极限条件下仍具有意义． 一、经典描述 设粒子的自由度为r，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r个广义坐标q1、q2、…qr和相应的r个广义动量p1、p2、…pr在该时刻的数值确定，粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函数 即 ε = ε （ q1、q2、…qr ， p1、p2、…pr） 更一般 ε = ε （qi、pi、λi ） （i = 1、2、…r） λ为非参量 如果存在外场， ε还是描述外场参量的函数．

在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数写成H函数， 即 ε = H（ qi、pi ） （i = 1、2、…r） 运动方程为 （i = 1、2、…r） 当某一初使时刻　t0　给定了qi、pi 的初值qi0、pi0 之后，由正则运动方程可确定在任何相继时刻t， qi、pi 的数值，因而这个力学系统的运动状态就完全确定了。 　　所以一组qi、pi 数值确定这个系统的一个运动状态，这样所确定的运动状态把每个粒子的运动状态都完全确定了. 这就是微观运动状态。 而使用粒子的坐标和动量的方法叫做微观描述法，也可以借助几何表示法讨论力学体系运动状态，用q1、q2、…qr ； p1、p2、…pr为直角坐标构成一个2r维空间，这个空间称为相空间（即μ空间）。

相空间任何一点代表力学体系一个运动状态，这个点称为代表点。 　　相空间任何一点代表力学体系一个运动状态，这个点称为代表点。 　　当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨迹称为相迹。 也称为相轨道。 二、具体事例 我们来找出下面的量！ 自由度 坐标 动量 能量 相空间 （一）自由粒子 不受力的作用而作自由运动的粒子． 当不存在外场时，理想气体的分子或金属的自由电子都可看作自由粒子． １一维空间中运动 自由度 r=1 确定粒子在任一时刻的位置的坐标 x 动量 能量 相空间 2r 维

２三维空间中运动 自由度 r=3 坐标 x, y, z 动量 2r 维 能量 相空间 ６维 （二）线性谐振子 　　质量为m的粒子在弹性力 f= -Ax作用下，将在原点附近作简谐振动，称为线性谐振子．振动的圆频率为=(A/m)1/2.取决于弹性力系数A和粒子的质量m． 　　在一定条件下，分子内原子的振动，晶体中原子或离子在其平衡位置附近的振动都可看作简谐振动． 自由度 r=1 坐标 位移 x 共轭动量 能量 是其动能和势能之和 相空间 2维

以x和p为直角坐标，可构成二维的μ空间，振子在任一时刻运动状态由μ空间中的一点表示。 　　如果给定振子的能量ε，对应点的轨迹就由如下方程确定： 即为椭圆方程 　　椭圆的两个半轴　a和b， q p n=0 n=1 n=2 n=3 　椭圆的面积等于 ab=２／． 　　对于遵从经典力学规律的谐振子，振子的能量原则上可取任何正值． 能量不同，椭圆就不同．

§ 6.2 粒子运动状态的量子描述 一、量子描述 20世纪当不少物理学家为光的波粒二象性感到困惑时，德国物理学家德布罗意于1924年提出一个假说： 　　一切微观粒子都具有波粒二象性． 　　把标志波动性质的量：圆频率ω和波矢k 通过一个普适常数h 用标志粒子性质的量：能量ε和动量 p 联系起来。 德布罗意关系 ε = ħω p = ħk 适用于一切微观粒子 . 　　能量为ε和动量为p 的自由粒子联系着圆频率为ω和波矢为k 的平面波，称为德布罗意波．

普朗克常数: ħ = h/2π h＝6.62610-34 J S ħ =1.055 10-34 J S 普朗克常数是物理中的基本常数，它的量纲是 [时间] ·[能量]=[长度] ·[动量]=[角动量] 这样一个物理量通常成为作用量，因而普朗克常数也称为基本的作用量子。 这个作用量子成为判别采用经典描述或量子描述的判据。 当一个物质系统的任何具有作用量纲的物理量具有与普朗 克常数相比拟的数值时，这个物质系统就是量子系统。 如果物质系统的每一个具有作用量纲的物理量用普朗克常数来量度都非常大时，这个系统就可以用经典力学来研究. 在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。

量子态由一组量子数表征． 量子数的数目＝粒子的自由度数 微观粒子的运动不是轨道运动，这一点我们可以作如下解释： 继德布罗意之后，1927年，海森堡在研究粒子和波动的二象性时，得到一个重要的结果： 微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。 即用Δq表示粒子坐标的不确定值和Δp表示粒子动量不确定值，在量子力学所容许的最精确的描述，Δq与Δp的乘积满足 测不准关系 ΔqΔp≈h 说明：量子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量，因此这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动，是微观粒子的运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或量子数来描述的。

测不准关系也可表示为 Δp≈h／Δq Δq≈h／ Δp 也称为不确定关系． 表明： 如果粒子的坐标具有完全确定的数值，即q０，则粒子的动量将完全不确定 p． 如果粒子的动量具有完全确定的数值，即p０，则粒子的坐标将完全不确定  q ． 　　在经典力学的理论中，粒子可以同时具有确定的坐标和动量，这并不是在实际上我们可以任意的精确度做到这一点，而是说在经典的理论中，原则上不允许对这种精确度有任何限制．特别地在经典范围内，波动量很小，以致于探测不到。因此认为物质有确定的坐标和动量，这并不与测不准关系发生矛盾。

二、具体事例 （一）自旋状态 　　考虑一个粒子，质量为m，电荷为-e，具有自旋角动量1/2． 粒子的自旋磁矩与自旋角量子数Ｓ之比为 如果加上沿Z方向的外磁场，磁感应强度为B，则粒子自旋角动量在外磁场方向的投影SZ有两个可能值，即SZ=ħ/2。 自旋磁矩在外磁场方向的投影相应为Z= e ħ/2m。 粒子在外磁场中的势能为 将SZ表示为SZ=mS ħ，描述粒子的自旋状态只要一个量子数mS，只能取两个分立的值1/2。

（二）线性谐振子 　　振动的圆频率为的线性谐振子． 能量的可能值为 n=0,1,2 其中 n:表征线性谐振子的运动状态和能量的量子数。 上式给出的能量值是分立的。分立的能量称为能级。 线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能量差为ħ ，其大小取决于振子的圆频率。

空间中一个自由运动的粒子，假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动。 （三）自由粒子 空间中一个自由运动的粒子，假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动。 在量子力学中粒子的运动满足薛定谔方程： L x y z A A' 其中 上式可变成为： 解为： 根据周期性边界条件，在点A（l/2，y，z）和A‘ （-l/2，y，z）ψ（r）应相同。即：

∴ n=0,  1,  2 同理可得： 和 nx,ny,nz:表征三维自由粒子运动状态的量子数。 其中 以上的式子表示，动量只能取分立的值。 能量是分立的 能 量： 总能量： 量子态由量子数nx，ny，nz来描述，对于一确定的能量ε， nx，ny，nz可取不同的值，因此，对于一确定的能量来说，系统有许多量子态。

nx=0 ny=0 nz=1 ny= 1 nz=0 nx= 1 经典粒子的动量和能量是连续的，而在量子情形中，动量和能量是分立的，这是局域在有理空间范围的量子粒子的特性. 如果某一能级的量子态不止一个,该能级称为简并的, 能级的量子态数成为该能级的简并度. 如果某能级只有一个量子态,该能级称为非简并的. 如:能量 nx=0 ny=0 nz=1 ny= 1 nz=0 nx= 1 能量取决于三个量子数的平方和,因此处在一个能级的量子状态一般不止一个. 三个量子数的平方和=1时,量子态有6个.

一维的情况： 根据周期性边界条件，粒子可能的运动状态，德布罗意波长的整数倍等于容器的长度Ｌ． |nX|=0, 1, 2 周期性边界条件： nx=0,  1,  2 波　矢　量： nx=0,  1,  2 动　量： nx=0,  1,  2 能　量： 相邻两个能级的间距： 显然，若L∞时，Δε 0，即能量此时是连续的。

三维的情况： 周期性边界条件： 波矢量： 动　量： 能　量： 总能量：

三、粒子的状态与相空间体积元的对应关系 在统计物理学所讨论的某些问题中，普朗克常数与有关的物理量相比是一个较小的量，这时，可以利用半经典近似认为粒子是沿着满足量子化条件的那些轨道做轨道运动的。这些量子化轨道与量子描述中的量子状态相对应。 由测不准关系可知，坐标和动量不能同时取确定的值，所以量子态不能用相空间的一点来描述，而应用一个体积元，称为相格,相格的大小为h. 自由度为r 的粒子，相格大小为： 如果将空间划分为若干个体积元Δωl（l =1，2…），则在体积元Δωl中粒子可能的状态数为Δωl/h r 。

例如： 空间中一个自由运动的粒子，假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动。 容器的体积 V=L3　． 其内的动量，能量都是连续的． 同理 体积Ｖ内，动量范围内的三维自由粒子的量子态数为 　　上式可理解为：三维自由粒子的一个状态对应于 空间中体积为h３ 的一个体积元. 　　　　　　　　　在空间的体积为Ｖdpxdpydpz内，自由粒子可能的状态数．

px py pz 常用动量空间中的球极坐标p,θ,来描写自由粒子的动量p，θ， 与px、py、pz的关系为：   用球极坐标，动量空间的体积元为： 在体积V内，动量在p到p+dp，θ到θ+dθ，φ到φ+dφ，自由粒子可能的状态数为：

如果对θ 和  进行积分， θ 由０到 ，  由０到２． 在体积V内，动量绝对值在p到p+dp的范围内，自由粒子 可能的状态数为：

以能量形式表示，在V内，在ε 到ε+d ε的范围内，自由粒子可能的状态数为： 定义态密度 D（ε）表示单位能量间隔内的可能状态数． 　　体积V内，在ε 到ε+d ε的范围内，自由粒子可能的状态数为：

以上的计算没有考虑粒子的自旋，如果粒子的自旋不等 于零，还要考虑自旋的贡献。 例如： 　　粒子的自旋量子数为１／２，则自旋角动量在动量方向的投影有两个可能值ħ/2 ． 以上求得的结果都应该乘以２．

§ 6.3 系统微观运动状态的描述 所谓系统的微观状态就是它的力学运动状态。 一、全同近独立的粒子系统 § 6.3 系统微观运动状态的描述 所谓系统的微观状态就是它的力学运动状态。 一、全同近独立的粒子系统 全同的粒子组成的系统: 是由具有完全相同的属性（相同的质量、自旋、电荷等）的同类粒子所组成的系统. 如自由电子组成的自由电子气体是全同的粒子组成的系统。 近独立的粒子组成的系统: 是指粒子之间的相互作用很弱,相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。 将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和： 理想气体就是由近独立的粒子组成的系统。

二、系统微观运动状态的经典描述 设粒子的自由度为r ． 粒子的经典描述中，在任意时刻，第i个粒子的力学运动状态由 r 个广义坐标和 r 个广义动量来描述. 当组成系统的N 个粒子在某一时刻的理想运动状态都确定时，也就确定了整个系统的在该时刻的运动状态。因此确定系统的微观运动状态需要qi1、qi2、…qir； pi1、pi2、…pir , 2Nr个变量来确定。 特点： 全同粒子是可以分辨的．（因为经典粒子的运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的）。如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以交换，交换前后，系统的力学运动状态是不同的。 对于可分辨的全同粒子，确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每一个粒子的体量子态。

例如第i个粒子和第j个粒子状态本来为（q1′、q2′、…qr ′；p1′、p2′、…pr′）和（q1〞、q2〞、…qr 〞； p1〞、p2〞、…pr〞如果将它们的运动状态加以交换，系统运动状态是不同的。如下图： ） i j 交换前 j i 交换后 一个粒子在某时刻的力学运动状态可以在μ空间中用一个点表示，由N个全同粒子组成的系统在某时刻的微观运动状态可以在μ空间中用N个点表示，那么如果变化两个代表点在μ空间的位置，相应的系统的微观是不同的。

全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观状态，此为微观粒子的全同性原理。 三、系统微观运动状态的量子描述 特点： 全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观状态，此为微观粒子的全同性原理。 　　对于不可分辨的全同粒子，确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每一个体量子态的粒子数。 经典粒子的运动是轨道运动，原则上可以跟踪经典粒子的运动，加以辨认． 量子粒子具有波粒子二象性．不是轨道运动，原则上不可以跟踪粒子的运动．粒子波动可能发生重叠，不能辨认粒子． t=0 1 2 t=0 1 2

为了确定量子态上的粒子数，我们要区分一下微观粒子． 微观粒子可分为两类： 1、玻色子：即自旋量子数是整数的。 如光子自旋量子数为1、π介子自旋量子数为0，是玻色子 2、费米子：即自旋量子数为半整数的。 如电子、质子、中子等自旋量子数都是1/2，是费米子 玻色子与费米子的关系： 凡是由玻色子构成的复合粒子是玻色子，由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子，由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。 费米子遵从泡利不相容原理，即在含有多个全同近独立费米子的系统中，占据一个个体量子态的费米子不可能超过一个，而玻色子构成的系统不受泡利不相容原理的约束，此外，费米子和玻色子遵从不同的统计。

１费米系统：由费米子组成的系统。遵从泡利不相容原理． ２玻色系统：由玻色子组成的系统。不受泡利不相容原理限制． 　　无论是费米系统还是玻色系统，在量子描述中，粒子都是不可分辨的． 玻尔兹曼建立了一个粒子可分辨的系统． ３玻尔兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成的系统。且处在一个个体量子态上的粒子的数目不受限制． 换个角度说，微观粒子还受到空间的限制，因而分为定域的和非定域的． 　　定域系统可用粒子的位置来分辨粒子，对于非定域系统，必须考虑微观粒子的全同性原理。 　　因此，玻尔兹曼系统为定域系统；费米系统和玻色系统为非定域系统．

① ② ③ 系统微观运动状态的量子描述仍是由系统的波函数或量子数来表征，只是不同的系统来说，对一确定的分布，其微观状态是不同的。 设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子态有3个，如果这两个粒子是定域子、玻色子、费米子时，试分别讨论系统各有那些可能的微观状态？ 费米系统：粒子不可分辨，每个个体量子态最多能容纳一个粒子，两个粒子占据3个个体量子态有以下的方式： 量子态1 量子态2 量子态3 ① A ② ③ 因此，对于费米系统，可以有3个不同的微观状态

玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态所能容纳的粒子数不受限制，由于不可分辨，令A=B，两个粒子 占据3个个体量子态有以下的方式： 量子态1 量子态2 量子态3 ① AA ② ③ ④ A ⑤ ⑥ 因此，对于玻色系统，可以有6种不同的微观状态

定域系统，粒子可以分辨，每个个体量子态能容纳的粒子数不受限制，以A、B 表示可以分辨的两个粒子，它们占据3个个体量子态可以有以下的方式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ 量子态1 AB A B 量子态2 量子态3 因此，对于定域系统可有9种不同的微观状态

§ 6.4 等概率原理 本章研究平衡状态下，近独立粒子的最概然分布． 等概率原理是平衡态统计物理的基本假设． § 6.4 等概率原理 　　本章研究平衡状态下，近独立粒子的最概然分布． 等概率原理是平衡态统计物理的基本假设． 宏观物质系统是由大量微观粒子构成，其粒子数的典型数值为10²³/mol，作为热运动的宏观理论，热力学讲述的状态是宏观状态，由几个宏观参量表征. 对于一个孤立系统，可以用粒子数N，体积V 和能量E来表征系统的平衡态；更精确地说，应当认为系统的能量是在E附近的一个狭窄的能量范围内，或者说系统的能量是在E到E+ΔE之间。状态参量给定后，处在平衡态的系统的所有宏观物理量就都具有确定值，系统就处在一个确定的平衡态。但在宏观状态确定的情下，系统可能的微观状态是大量的，而且微观状态不断地发生着极其复杂的变化。

统计物理认为，宏观物质系统的特性是大量微观粒子运动的集体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。 玻耳兹曼在19世纪70年代提出了著名的等概率原理，即：对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个可能的微观状态出现的概率是相等的。 说 明： 这些微观状态都同样满足具有确定N、E、V的宏观条件，没有理由认为哪一个状态出现的概率更大一些。这些微观状态应当是平权的。

§ 6.5 分布和微观状态 设有一个系统，由大量全同近独力的粒子组成，具有确定的粒子数N、能量E和体积V。 § 6.5 分布和微观状态 设有一个系统，由大量全同近独力的粒子组成，具有确定的粒子数N、能量E和体积V。 N个粒子的在各能级的分布可以描述如下： 能 级 ε1， ε2， … εl，… 简并度 ω1，ω2，… ωl，… 粒子数 α1， α2，… αl，… 即，能级ε1上有α1个粒子，能级ε2上有α2个粒子，… 一　定义分布： al表示数列 α1， α2，… αl，… 显然，对于具有确定的N，E，V的系统，分布必须满足

a4 a3 a2 a1 例如： １ Ｖ一定，Ｎ＝２，Ｅ＝２，求分布al ． 能 级 ε１＝０ ε２＝１ ε３＝２ ε４＝3 能 级 ε１＝０　 ε２＝１ 　 　ε３＝２　ε４＝3　 简并度 ω１＝１　ω２＝３ 　 　ω３＝２ 　ω４＝１ 解析:所求的分布必须满足 a1 粒子数 a4 a3 a2 a1 a2 ε１＝０ ε２＝１ ε３＝２ ε４＝3 1 1 1 2 1 2 可能有两种分布．

a1 ２ Ｖ一定，Ｎ＝３，Ｅ＝５，求分布al ． 能 级 ε１=０ ε２=１ ε３=２ ε４=3 ε5=4 ε6=5 能 级 ε１=０ ε２=１ ε３=２ ε４=3　 ε5=4 ε6=5　 简并度 ω１=１ ω２=３ ω３=２ ω４=１ ω5=4 ω6=2 解析:所求的分布必须满足 可能有４种分布． １ ０ a２ 粒子数 　a６ 　a５ 　a4 　a3 　a2 　a1 1 a1 １ ０ ２ １ a３ ０ ２ １ a４ ε５＝４ ε６＝５ ε１＝０ ε２＝１ ε３＝２ ε４＝3

给定一个分布后，只能确定处在每一个能级εl上的粒子数al，但是粒子在该能级上哪个微观状态上还不能确定． 二　微观状态是粒子的运动状态，即量子态。 对于非定域系（费米系统和玻色系统），在量子描述下，粒子不可分辨，要确定系统的微观状态，要求确定处在每一个个体量子态上的粒子数。 在分布给定后，为了确定非定域系的微观状态，还必须对每一个能级εl确定al个粒子占据其ωl个量子态的方式。 对于定域系（玻尔兹曼系统），在量子描述下，粒子可分辨，确定系统的微观状态要求确定每一个粒子的个体量子态． 在分布给定后，为了确定定域系的微观状态，还必须确定处在每一能级εl上的是哪al个粒子，以及在每一能级εl上al个粒子占据其ωl个量子态的方式。 每一种不同的占据方式都反映不同的运动状态。

分布与微观状态数的区别： 分布只表示每一个能级上有几个粒子． 　　如a1=1， a2=4，a3=6，表示在第一个能级上有1个粒子，在第2个能级上有4个粒子，在第3个能级上有6个粒子。 如a1=0， a2=2，a3=9，表示在第一个能级上有0个粒子，在第2个能级上有2个粒子，在第3个能级上有9个粒子。 微观状态是粒子运动状态或称为量子态。它反映的是粒子运动特征。 例如：在某一能级上，假设有3个粒子，这三个粒子是如何占据该能级的量子态，也就是它的微观状态。上节中的两个粒子和三个个体量子态，判定有那些微观状态． 就一个确定分布而言，与它相应的微观状态数是确定的。 　　不同的分布，有不同的微观状态数。如上边提到的分布{1，4，6}和{0，2，9}，它们分别有不同的微观状态数。

微观状态对于玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统显然是不同的，下面分别加以讨论： 　　从统计物理的角度来看一下在已知分布的情况下，对于各个系统其对应的微观状态数． １　费米系统 （ωl　 αl） 特征：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。 αl 个粒子 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ αl 能级εl上的ωl个 量子态 １ １ １ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ωl 第一个粒子占据量子态的可能性为 ωl种； 第二个粒子占据量子态的可能性为 （ωl　 －１）种； 第αl个粒子占据量子态的可能性为 （ωl　 －αl＋１）种；

　　αl 个粒子占据能级εl上的ωl个 量子态，相当于从ωl个量子态中挑出αl个来为粒子所占据，其可能性为 　　同一能级上（各量子态对应能级相同），有al!种交换能级的方法．由于粒子不可分辨，所以状态相同，所以应除以al!． 　　将各能级的结果相乘，就得到费米系统与分布相应的微观状态数为：

特征：粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。 ２　玻色系统 　　特征：粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。 　　由于个体量子态上容纳的粒子数不受限制，我们可以应用数学中的方法全排列．我们在排列的时候，将状态和粒子排成一行．量子态上的粒子排在其右侧． 那么就可能有这样的排列： αl １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ωl 　　这个排列表示：量子态１上没有粒子，量子态２上有１个粒子，量子态３上有３个粒子，量子态４上有２个粒子， 量子态Ｌ上有１个粒子． 　　　　　　由于左方第一个固定为量子态１，则其余的量子态和粒子的总数是 （ωl　 ＋αl－１）个

对于这（ωl ＋αl－１）个量子态或粒子的排列就相当于其中的粒子在量子态上数目的改变． 这种排列的方式共有 （ωl　 ＋αl－１）！种 例如：交换量子态２和粒子１的位置，其他不变，有 αl １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ωl 排列表示：量子态１上有１个粒子，量子态２上没有粒子， 再交换粒子１和粒子４的位置，其他不变，有 αl １ ２ ４ ３ ５ ６ ７ ８ ９ ωl 排列仍表示：量子态１上有１个粒子，量子态２上没有粒子． 由于粒子不可分辨，因此这种交换不改变系统的状态．

αl 个粒子间交换，但不改变系统状态的方式共有 αl ！种 对于这种交换，第一个粒子可以有 αl　种； 第二个粒子可以有 （αl　 －１）种； 第αl个粒子可以有 １种； 　　αl 个粒子间交换，但不改变系统状态的方式共有 αl　！种 　　同样地，可以交换量子态． αl １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ωl αl １ 3 2 ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ωl 　　由于同一能级上的量子态是简并的，因此也不可分辨的．交换两个量子态后，排列的方式不变．系统的状态不变． 　　 （ ωl －１）个量子态间交换(量子态１固定），但不改变系统状态的方式共有 （ωl　 －１）！种

αl个粒子占据能级εl上的ωl个 量子态，可能方式有 （ ωl+ αl –1）！/ ［αl ！（ ωl – 1）！］种 　　将各种能级的结果相乘，就得到玻色系统与分布相应的微观状态数为：

３　玻耳兹曼系统 　　特征：粒子可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。 　　由于粒子可以分辨，若对粒子加以编号，则αl粒子占据能级εl上的ωl个量子态时，是彼此独立、互不关联的。 第一个粒子占据量子态的方式为 ωl种； 　　由于一个量子态上可容纳的粒子数不受限制，则第二个粒子占据量子态的方式也为 ωl种； 第αl个粒子占据ωl个量子态的方式同样有 ωl　种． 　　αl 个粒子占据能级εl上的ωl个 量子态可能的方式有 ωlαl 种 　各能级结果相乘得占据各能级的量子态数共有 ωlαl 种方式

　　由于粒子可分辨，则交换粒子，系统处于不同的状态． 　　将Ｎ个粒子加以交换，也包括同一个能级上粒子的交换，可能出现的不同的状态的数目为Ｎ！ 　　由于粒子在同一个能级中进行交换后，相当于同一能级中的粒子数αl　不变，则系统的能量Ｅ不发生变化，系统的状态相同． 　　一个能级上αl个粒子的交换数为αl ！，它们所对应的系统状态相同． 对于玻耳兹曼系统，分布相应的系统的微观状态数为：

哈尔滨师范大学 物理系 ４ 三个微观状态数之间的关系 如果在玻色系统和费米系统中，任一能级εl上的粒子数均远小于该能级的量子态数，即 ４　三个微观状态数之间的关系 如果在玻色系统和费米系统中，任一能级εl上的粒子数均远小于该能级的量子态数，即 称为经典极限条件，也称非简并性条件。 表示：在所有的能级，粒子数都远小于量子态数。 费米系统： 哈尔滨师范大学 物理系

玻色系统： 说明： 　　在满足经典极限条件的情况下，每个量子态上的平均粒子数远小于１，粒子间的关联可以忽略． 　　Ｎ个粒子相交换的交换数为Ｎ！ 　　则费米分布和玻色分布都趋近于玻耳兹曼分布／Ｎ！． 以上为量子统计中的分布和微观状态数．

三　经典统计中的分布和微观状态数 粒子的自由度为r ． 　　　粒子在任一时刻的力学运动状态由r 个广义坐标q1 ,q2 ,　qr 和相应的r 个广义动量p1 , p2 ,…,pr 在该时刻的数值所确定。 相应于μ 空间中的代表点。 　　　那么系统在某一时刻的力学运动状态由r 个广义坐标q1 ,q2 ,　qr 和相应的r 个广义动量p1 , p2 ,…,pr 在该时刻的数值所确定 相应于μ 空间中的Ｎ个代表点。 　　由于测不准关系中的p 和q 在这里是连续变量，粒子和系统的微观状态都是不可数的．假设q  p =h0是一个小量． 　　对于自由度为r 的粒子，相应于μ 空间中的一个相格h0 r ．

　　在体积内含有多少个相格就有多少个运动状态．处在同一相格的代表点，代表相同的运动状态． 　　显然h0足够小，就可以由粒子的运动状态代表点所在的相格确定粒子的运动状态． h0越小，越精确． 将μ空间划分为许多个小体积元ω Ｌ　 　其中所有粒子的能量均为εＬ　． 　不论粒子处在哪个相格中（也就是粒子在哪个状态上），　　只要所处体积元相同，其能量εＬ就相同． 　体积元ω Ｌ内包含多少个相格h0 r ，就包含多少个粒子的运动状态． 　　状态数为ω Ｌ  h0 r ．可见这个量与量子统计中的简并度相当．

　　有了以上的量，可以对Ｎ个粒子在各体积元ω Ｌ的分布描述如下： 体积元　　　　  ω1， 　 ω2，　… 　 ωl，… 体积元中量子态个数  ω1  h0 r ，  ω2  h0 r ，…  ωl  h0 r ，… 体积元对应　能　量 　　ε1， 　　ε2， 　　… 　εl，　… 体积元对应　粒子数 　　α1， 　　α2，　　… 　αl，… 因为ω Ｌ  h0 r 对应于量子统计中的简并度ω Ｌ ． 　　经典粒子可分辨，处在同一相格内的经典粒子数没有限制． 　　经典统计与分布相应的微观状态数为：

前一节中, 我们参照量子统计中的形式, 求出了经典统计中的微观状态数. 但是无论是在量子统计中还是在经典统计中, 我们所研究的微观状态数都是与分布相对应的. 因此,我们要研究一下分布. 首先, 我们知道微观状态数最多的分布, 出现的概率最大的称为最概然分布. 因为根据等概率原理，对于处在平衡状态的孤立系统，没每一个可能的微观状态出现的几率是相等的。 因此最概然分布中的微观状态数越多，分布出现的几率越大. 下面将推导玻耳兹曼系统粒子的最概然分布——玻耳兹曼分布。

§ 6.6 玻耳兹曼分布 斯太林公式： ( m  1) 与分布{al }对应的麦克斯韦－玻尔兹曼微观状态数Ｍ．Ｂ公式（简记为）为 § 6.6 玻耳兹曼分布 斯太林公式： ( m  1) 　　与分布{al }对应的麦克斯韦－玻尔兹曼微观状态数Ｍ．Ｂ公式（简记为）为 由于玻尔兹曼系统中粒子的最概然分布是使为极大的分布． 由于ln随的变化是单调的． 所以可以等价地讨论使ln为极大的分布．

对上式取对数得： N>>1，若假设αl>>1 ， ωl>>1,利用斯太林公式可得到： 分布要满足约束条件： 得

　　从数学知识可以知道，要想有极大值，必须满足一级变分为０． 　　我们令al 发生变化为 al，则ln将发生变化为 ln ． 　　要想使ln为极大的分布，就必须使 ln＝０ 即

　　分布不是完全独立的，必须满足粒子数守恒和能量守恒． 　　分布的变化量 al也不完全独立，也必须满足 用拉格朗日常规变法： 为求在此约束条件下的最大值，使用拉格朗日乘数法，取未定因子为α和β，乘分布必须满足的条件，并从ln 中减去, 得拉格朗日函数为： 即 根据拉格朗日乘数法原理，每个 al　的系数都等于０，有

即： 表明：最概然分布下，处在能级 l　的粒子数． 上式给出了玻耳兹曼系统粒子的最概然分布，称为麦克斯韦－玻耳兹曼分布。 其中确定拉氏乘子为α和β的条件为：

在许多实际问题中,也往往将β看作由实验确定的已知参量 而由 确定系统的内能. 或将a和β都当作由实验确定的已知参量, 由 确定系统的平均总粒子数和内能. 　　能级的εl有ωl个量子态处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的,因此处在能量为εS　的量子态S上的平均粒子数为: 总粒子数和能量可分别表示为:

由于al ０，显然2ln0，即玻尔兹曼分布是使ln为极大值的分布。 对粒子的所有的量子态求和，可得Ｎ和Ｅ为： 　ln的一级变分为０，表明存在极值，下面对ln取二级变分，判定它是极大值还是极小值． 　　由于al ０，显然2ln0，即玻尔兹曼分布是使ln为极大值的分布。

　　假设有一分布｛ al ＋ Δ al ｝（对应的微观状态数为 +Δ  ）与玻尔兹曼分布（对应的微观状态数为 ）有一微小偏离 al ／al １０－５ ，则

　　微小偏离 al ／al １０－５ ，则 对于 Ｎ１０２３ 的宏观系统，可得 可见，即使与最概然分布仅有极小偏差的分布，它的微观状态数与最概然分布的微观状态数相比已经微不足道，偏差越大，这个比值越小。因此，最概然分布完全可以代表系统真正的统计分布。最概然分布的微观状态数，非常接近于全部可能的微观状态数．根据等概率原理，处在平衡态下的孤立系统，每一个可能的微观状态出现的概率相等．如果我们忽略其他分布而认为在平衡状态下粒子实质上处在玻尔兹曼分布，所引起的误差是可以忽略的． 玻尔兹曼分布｛ al ｝是最概然分布。

　　在推导最概然分布时,应用了al>>1 ， ωl>>1, al -ωl >>1等条件,这些条件实际上是不满足的,这是推导过程的一个严重的缺点,我们将在后边的学习中用巨正则系统求平均分布的方法严格地导出这些分布. 　　在前面的推导中，假设系统只含有一种粒子，即系统是单元系． 　最可几分布的推导也可以推广到含有多个组元的情况。 经典统计中玻尔兹曼分布的表达式： 其中确定拉氏乘子为α和β的条件为：

§ 6.7 玻色分布和费米分布 上节课中已经求出了玻耳兹曼系统的最概然分布，本节将推导玻色系统和费米系统中粒子的最概然分布。 § 6.7 玻色分布和费米分布 上节课中已经求出了玻耳兹曼系统的最概然分布，本节将推导玻色系统和费米系统中粒子的最概然分布。 考虑处在平衡状态的孤立系统. 具有确定的粒子数N，体积V，能量E.  l（l=1,2,）表示粒子的能级. l表示能级 l的简并度。 分布{al}表示处在各能级上的粒子数。 分布{al}要满足约束条件： 与分布{al}相应的微观状态数： （1）费米系统： （2）玻色系统：

一 首先考虑费米系统的最概然分布。 对 取对数得： 1 2 N>>1，若假设αl>>1 ， ωl>>1,则ωl −αl >>1, 利用斯太林公式可得到：

　　我们令al 发生变化为 al，则ln将发生变化为 ln ． 3

　　分布不是完全独立的，必须满足粒子数守恒和能量守恒． 　　分布的变化量 al也不完全独立，也必须满足

4 用拉氏变换: 将拉氏乘子α和β乘以分布必须满足的条件，并从ln中减去，得 即 根据拉氏原理，每个 al　的系数都等于０. 根据上式可以求出费米系统的最概然分布----费米分布 5

其中确定拉氏乘子为α和β的条件为： 在许多实际问题中,也往往将β看作由实验确定的已知参量.可以由 l al =E确定系统的内能. 也将a和β都当作由实验确定的已知参量, 由  al =N,  l al =E确定系统的平均总粒子数和内能. ６ 　　能级的εl有ωl个量子态处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的,处在能量为εS　的量子态S上的平均粒子数: 总粒子数和能量可分别表示为:

二 考虑玻色系统的最概然分布。 对 取对数得： 1 2 N>>1，若假设αl>>1 ， ωl>>1,则ωl ＋αl −１ >>1, 利用斯太林公式可得到：

αl>>1 ， ωl>>1,则ωl ＋αl −１ >>1, 　　我们令al 发生变化为 al，则ln将发生变化为 ln ． 　　要想使ln为极大的分布，就必须使 ln＝０ 3

　　分布不是完全独立的，必须满足粒子数守恒和能量守恒． 　　分布的变化量 al也不完全独立，也必须满足 4 用拉氏变换: 将拉氏乘子α和β乘以分布必须满足的条件，并从ln中减去，得 即

根据拉氏原理，每个 al　的系数都等于０. 根据上式可以求出玻色系统的最概然分布----玻色分布 5 其中确定拉氏乘子为α和β的条件为： 在许多实际问题中,也往往将β看作由实验确定的已知参量.可以由 l al =E确定系统的内能. 也将a和β都当作由实验确定的已知参量, 由  al =N,  l al =E确定系统的平均总粒子数和内能.

６ 　　能级的εl有ωl个量子态处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的,处在能量为εS　的量子态S上的平均粒子数: 总粒子数和能量可分别表示为:

§ 6.8 三种分布的关系 一　三种分布 费　米　分布 b=1 玻耳兹曼 分布 b=0 玻　色　分布 b=-1 其中确定α和β的条件为：

注意 1 、由下式确定拉氏乘子α和β的值. 在许多实际问题中,也往往将β看作由实验确定的已知参 量而由 确定系统的内能.或将α和β都 当作由实验确定的已知参量,而由下式确定系统的平均总粒子 数和内能.

2 、能级的εl有ωl个量子态处在其中任何一个量子态上 的平均粒子数应该是相同的,因此处在能量为εS的量子态S 上的平均粒子数为: 定域系统 即: 费米系统 玻色系统

N = = E = = 总粒子数和能量可分别表示为: 定域系统 “+”费米系统 “-”玻色系统 定域系统 “+”费米系统 “-”玻色系统 (式中εs 为粒子的所有量子状态求和 )

3 、若α满足 则 有: 这时玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布,上式 可知: 这时任一量子态上的平均粒子数都远小于1,这个式子就是前边提到的所谓的非简并性条件.也就是经典极限条件． 当非简并条件满足时,费米分布和玻色分布都过渡到玻耳兹曼分布.

4 、在推导最概然分布时,应用了αl>>1 ， ωl>>1, αl -ωl >>1等条件,这些条件实际上是不满足的,这是推导过程的一个 严重的缺点,我们将在后边的学习中用巨正则系统求平均分布的方法严格地导出这些分布. 5 、定域系统和满足经典极限条件的玻色(费米)系统虽然遵从同样的分布,但它们的微观状态数是不同的.前者为ΩM.B.,后者为ΩM.B./N!因此对那些直接由分布函数导出的热力学量,两者具有相同的统计表达式.然而,对于例如熵和自由能等与微观状态有关的热力学量,两者的统计表达式有差异.