第一章 轴向拉伸与压缩

本章主要内容 轴向拉压举例 截面法与轴力 拉压杆横截面上的应力 拉压杆斜截面上的应力 轴向拉压的变形分析 拉伸和压缩时材料的力学性能 轴向拉压的强度计算

1-1 轴向拉压杆举例 曲柄连杆机构 ω 连杆 一、外力特点： P 二、变形特点： 杆的变形为沿轴向伸长或缩短。 1-1 轴向拉压杆举例 连杆 ω P 曲柄连杆机构 一、外力特点： 外力大小相等,方向相反，作用线与杆轴线重合。 二、变形特点： 杆的变形为沿轴向伸长或缩短。

1-2 截面法与轴力 1、截面法 为了分析拉压杆的强度和变形，首先需要了解杆的内力情况 材料力学中，采用截面法研究杆的内力 1-2 截面法与轴力 为了分析拉压杆的强度和变形，首先需要了解杆的内力情况 材料力学中，采用截面法研究杆的内力 1、截面法 用一假想的横截面在所求内力处将杆件切开，去掉一部分，保留另一部分，同时在该截面上用内力表示去掉部分对保留部分的作用，建立保留部分的静力平衡方程以求出内力。

截面法的步骤： I II P P I N SX=0：+N-P=0 N=P P II SX=0：-N'+P=0 N'=P N'

2、轴向拉（压）杆的内力及内力图 （1）、内力的形式与方向规定 A、内力的形式 B、内力的方向规定 （2）、内力的计算 轴向拉（压）杆的内力作用线沿杆件的轴线，故称为轴力，用 N 表示。 B、内力的方向规定 当轴力的方向与横截面的外法线方向相同时，其轴力为正，反之为负。 （2）、内力的计算 受力段的概念 相邻的两个外力作用点之间所含的受力构件区段。

A、单一受力段杆件的内力计算 结论：对单一受力段而言，在不同的横截面上，内力的大小和方向均相同。 B、多受力段杆件的内力计算 结论：在同一受力段内的不同截面上，其内力的大小和方向均相同，在不同受力段内的不同截面上，其内力的大小和方向各不相同。

求内力举例：求杆AB段和BC段的内力 B A 1 P 2 C 2P P 1 2 2P N1 P N2 2P

（3）、轴向拉（压）杆的内力图 轴力沿横截面的分布图称为轴力图 作内力图的步骤： ①取水平坐标轴与杆的轴线平行且等长； ②在水平坐标轴上标出受力段的分界点； ③根据内力的大小和方向分段画内力图（内力为正时画在坐标轴的上方，内力为负时画在坐标轴的下方）； ④画纵向线，标正负号。

+ - II N |N|max=100kN 150kN 100kN 50kN NII= -100kN II NII NI=50kN I NI

●内力图的简易画法 画法依据： 在外力作用点处，当外力对其下一段产生拉伸效果时，在该处内力向上突变；当外力对其下一段产生压缩效果时，在该处内力向下突变。在没有外力作用的截面上，内力图为水平线。

3F 2F 4F 6F F - + -

2-3 拉压杆横截面上的应力 1、应力的概念 为了描写内力的分布规律，我们将单位面积的内力称为应力。 在某个截面上， 2-3 拉压杆横截面上的应力 1、应力的概念 为了描写内力的分布规律，我们将单位面积的内力称为应力。 在某个截面上， 与该截面垂直的应力称为正应力。 与该截面平行的应力称为剪应力。 应力的单位：Pa 工程上经常采用兆帕（MPa）作单位

2、拉（压）杆横截面上的应力 （1）几何关系 P 轴向拉伸时，其纵向线伸长，横向线缩短。其横截面在变形前为平面，变形后仍为平面。-------平面假设

（2）物理关系 轴向拉（压）杆横截面上的内力呈均匀分布. （3）静力学关系 ∫AσdA=N P N 如果杆的横截面积为：A

做轴力图并求各个截面应力 + - f20 f10 f30 1 3 2 2kN 4kN 6kN 3kN 5kN 2kN N 1kN |N|max=5kN 1kN

f20 f10 f30 2kN 4kN 6kN 3kN

例2-1 图示矩形截面（b  h）杆，已知b = 2cm ，h=4cm ， P1 = 20 KN， P2 = 40 KN， P3 = 60 KN，求AB段和BC 段的应力 A B C P1 P3 P2 N1 P1 压应力 P3 N2 压应力

例2-2 图示为一悬臂吊车， BC为 实心圆管，横截面积A1 = 100mm2， AB为矩形截面，横截面积 A2 = 200mm2，假设起吊物重为 Q = 10KN，求各杆的应力。 C B A 首先计算各杆的内力： Q F1 F2 需要分析B点的受力

C 由作用力和反作用力可知： B BC杆的受力为拉力，大小等于 F1 A AB杆的受力为压力，大小等于 F2 F1 F2 最后可以计算的应力： BC杆： Q AB杆：

2-4 拉压杆斜截面上的应力 α P pα P n m A m 2-4 拉压杆斜截面上的应力 n m α P pα P A m 为了考察斜截面上的应力，我们仍然利用截面法，即假想地用截面 m-m 将杆分成两部分。并将右半部分去掉。 该截面的外法线用 n 表示， 法线与轴线的夹角为：α 根据变形规律，杆内各纵向纤维变形相同，因此，斜截面上各点受力也相同。 设杆的横截面面积为A， 则斜截面面积为： 由杆左段的平衡方程 这是斜截面上与轴线平行的应力

下面我们将该斜截面上的应力分解为正应力和剪应力 n pα P τα t 下面我们将该斜截面上的应力分解为正应力和剪应力 斜截面的外法线仍然为 n， 斜截面的切线设为 t 。 根据定义，沿法线方向的应力为正应力 沿切线方向的应力为剪应力 利用投影关系， 为横截面正应力

2-5 轴向拉压的变形分析 细长杆受拉会变长变细， 受压会变短变粗 长短的变化，即沿轴线方向的变形，称为纵向变形 2-5 轴向拉压的变形分析 d L P d-Dd L+DL 细长杆受拉会变长变细， 受压会变短变粗 长短的变化，即沿轴线方向的变形，称为纵向变形 粗细的变化，与轴线垂直，称为横向变形

1、纵向变形 P （1）绝对变形 P （2）胡克定律 P P 变形和拉力成正比 引入比例系数E，又拉压杆的轴力等于拉力

E --为材料的弹性模量，单位与应力相同。 称为胡克（虎克）定律 E --为材料的弹性模量，单位与应力相同。 其物理意义为：反映材料抵抗拉（压）变形的能力。 显然，纵向变形与E 成反比，也与横截面积A 成反比 EA 称为抗拉刚度 （3）相对变形 称为纵向应变，显然，伸长为正号，缩短为负号 物理意义：杆件沿轴向线方向单位长度的绝对变形。

也称为胡克定律 θ

2、横向变形 P P （1）绝对变形 P P （2）相对变形 为横向线应变 3、纵向应变与横向应变间的关系---泊松公式

称为泊松比，是一个材料常数 负号表示纵向与横向变形的方向相反 与材料有关的材料弹性常数

2-6 拉伸压缩时材料的力学性能 一、低碳钢和铸铁拉伸\压缩时的力学性能 2-6 拉伸压缩时材料的力学性能 由前面的讨论可知，杆件的应力与外力和构件的几何形状有关，而杆件的变形却与材料的性质有关。 一、低碳钢和铸铁拉伸\压缩时的力学性能 在工程上使用最广泛，力学性能最典型

（1）材料类型： 低碳钢： 灰铸铁： 塑性材料的典型代表； 脆性材料的典型代表； （2）标准试件： 尺寸符合国标的试件； 标距： 1、 试件 （1）材料类型： 低碳钢： 灰铸铁： 标点 标距 d0 塑性材料的典型代表； 脆性材料的典型代表； （2）标准试件： L0 尺寸符合国标的试件； 标距： 用于测试的等截面部分长度； 2．标准试件： 圆截面试件标距：L0=10d0或5d0

弹性极限和比例极限 屈服极限： 强度极限： 断面 收缩率： 延伸率： 2、低碳钢拉伸实验 PP, Pe P Pb Pe Ps Pp D L O P D L Ps Pb 线弹性阶段 屈服阶段 强化阶段 颈缩阶段 冷作硬化 屈服极限： 强度极限： 材料的塑性指标 断面 收缩率： 延伸率：

3、低碳钢压缩实验 O1 O2 f1(f) a E=tga D(ss下) (se) B C(ss上) A(sp) E(sb) g s (MPa) 200 400 e 0.1 0.2 O Ey= tga 低碳钢拉伸 应力应变曲线 低碳钢压缩 a

4、灰铸铁的拉伸于压缩实验 s e O s bL 灰铸铁的 拉伸曲线 压缩曲线 a a = 45o~55o 剪应力引起断裂 s by

5、其它塑性材料拉伸应力应变曲线 2 4 1 3 10 20 30 e(%) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 s(MPa) 0.2% S A O s e s0.2

塑性材料和脆性材料力学性能比较 脆性材料 塑性材料 材料的塑性和脆性会因为制造方法工艺条件的改变而改变 延伸率 δ > 5% 延伸率 δ > 5% 延伸率 δ < 5% 断裂前有很大塑性变形 断裂前变形很小 抗压能力与抗拉能力相近 抗压能力远大于抗拉能力 可承受冲击载荷，适合于锻压和冷加工 适合于做基础构件或外壳 材料的塑性和脆性会因为制造方法工艺条件的改变而改变

2-7 轴向拉伸压缩时的强度计算 1、材料的极限应力 塑性材料为屈服极限 脆性材料为强度极限 2-7 轴向拉伸压缩时的强度计算 1、材料的极限应力 材料的极限应力是指保证正常工作条件下，该材料所能承受的最大应力值。 塑性材料为屈服极限 脆性材料为强度极限

？ 2、工作应力 不允许！ 构件正常工作时，其截面上实际具有的应力——工作应力。 工程实际中是否允许 ？ 不允许！ 构件正常工作时，其截面上实际具有的应力——工作应力。 工作应力仅取决于外力和构件的几何尺寸。只要外力和构件几何尺寸相同，不同材料做成的构件的工作应力是相同的。 工作应力为一变量，当构件的几何尺寸一定时，工作应力随外力的变化而变化。

3、许用应力 构件正常工作时，允许使用的应力。 4、危险截面：杆件在外力作用下，其内力取得最大值的截面。 n----安全系数 4、危险截面：杆件在外力作用下，其内力取得最大值的截面。 5、危险点：在危险截面上，其应力取得最大值的点。

σmax≤〔σ〕 σmax= Nmax/ A ≤〔σ〕 -----------等截面杆件 σMAX= ﹙ N/ A ﹚MAX≤〔σ〕 6、强度条件 σmax≤〔σ〕 σmax= Nmax/ A ≤〔σ〕 -----------等截面杆件 σMAX= ﹙ N/ A ﹚MAX≤〔σ〕 -----------变截面杆件

σmax= Nmax/ A ≤〔σ〕 7、强度条件的工程应用 三个方面的应用 # 已知 N 和 A，可以校核强度，即考察是否 （NP）

举例 例1 上料小车，每根钢丝绳的拉力Q=105kN，拉杆的横截面面积A=60100mm2 材 料为Q235钢，安全系数n=4。试校核拉杆的强度。 由于钢丝绳的作用，拉杆轴向受拉，每根拉杆的轴力 横截面积 N N

查表，Q235号钢的屈服极限为 许用应力 根据强度条件，有 拉杆符合强度要求

这是一个设计拉杆截面的问题，根据 首先需要计算拉杆的轴力

对结构作受力分析，利用静力平衡条件求出最大轴力 最大轴力出现在点葫芦位于B NBC NBA G + Q

求圆钢杆BC 的直径 可以选取

先求出侧臂所能承受的最大内力，再通过静力平衡条件确定吊环的载荷 例3 一起重用吊环，侧臂AC和AB有两个横截面为矩形的锻钢杆构成。h=120mm, b=36mm,许用应力为80MPa。求吊环的最大起重量。 问题是确定载荷 先求出侧臂所能承受的最大内力，再通过静力平衡条件确定吊环的载荷

静力平衡条件 N N

2-8 应力集中的概念 由于结构的需要，构件的截面尺寸往往会突然变化，例如开孔、沟槽、肩台和螺纹等，局部的应力不再均匀分布而急剧增大 2-8 应力集中的概念 在构件截面尺寸发生突然变化的地方，出现的应力突然增大的现象称为应力集中 由于结构的需要，构件的截面尺寸往往会突然变化，例如开孔、沟槽、肩台和螺纹等，局部的应力不再均匀分布而急剧增大

应力集中系数 平均应力

课堂练习

1、拉伸试验机原理如图所示，假设试验机的CD杆与试件AB 的材料同为低碳钢，且 ， 试验机最大拉力为 100 kN， 的材料同为低碳钢，且 ， 试验机最大拉力为 100 kN， （1）利用该试验机做拉断试验时， 试件直径最大可达多少？ （2）若试验机的安全系数为 n = 2， 则CD杆的横截面积为多大？ （3）若试件直径为 d =10 mm，现 测量其弹性模量E，则所加载荷最大 值为多少？ C D A B

1、拉断：采用强度极限 C D A 2、CD杆不变形：采用屈服极限 B

3、在线弹性范围：采用比例极限 C D A B 载荷不能超过 15.7 kN

保持水平的含义是两根拉杆的变形量、即伸长量相同 4、设横梁CF为刚性，BC为铜杆，DF为钢杆，两杆长度分别为l1、 l2 ，横截面积为A1、 A2 ，弹性模量为E1、 E2 ，如果要求CF始终保持水平，试确定x。 保持水平的含义是两根拉杆的变形量、即伸长量相同 D B P C F

D 对横梁做受力分析 B 两根拉杆均为二力杆 P C F P O

做轴力图并求各个截面应力 + - f20 f10 f30 1 3 2 2kN 4kN 6kN 3kN 5kN 2kN N 1kN |N|max=5kN 1kN

1-9 注意载荷和应变实际上是 C 1-15 先要对横梁做受力分析 B D A 45° 查型钢表P365

1-19 已知各杆 A 和 [σ] 3 B 各杆所许可的载荷（轴力） 5 4 利用各杆内力与系统载荷P的关系（对B做静力学分析） 系统载荷P

1、已知实心圆截面阶梯轴受力P1 = 20KN， P2 = 50KN，AB段直径d1 = 20mm，BC段直径d2 = 30mm，求两段杆横截面的正应力。 2、已知某活塞杆直径为 D = 60mm，退刀槽直径为 d = 40mm，拉力 P 等于 300KN，求杆内横截面最大正应力。 退刀槽 P P D