2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、直线与平面垂直的定义 如果一条直线 l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面α互相垂直，记作 l ⊥α。（如图）
注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表 示平面的平行四边形横边垂直。 α P l 注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表 示平面的平行四边形横边垂直。 返回
二、直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
三、线面垂直判定定理的证明 已知：m α，n α，m ∩ n = B，l ⊥ m， l ⊥ n。 求证： l ⊥α。
l α B n m
l l B n m α
l B n m α
l B n g m α
l B g n g m α
l A A’ AB=A’B B g n m α
l A AB=A’B B g n m α A’
l A AB=A’B B g n m α A’
l A B g n m α A’
l A B n m g C D E α A’
l A B n m g D C α E A’
l α m n g A B C D A’ E l ⊥m
l A l ⊥m B m C α A’
l ⊥m AC=A’C l A B m C α A’
l A AD=A’D B m n g D C α E A’
l A B m n g D C α E CD=CD A’
l A △ACD≌△A’CD B n m g D C α E A’
l A ∠ACE=∠A’CE B n m g D C α E A’
l AC=A’C CE=CE A B m n g D C α E A’
l A B m n g D C α E △ACE≌△A’CE A’
l A AE=A’E B m n g D C α E A’
l A AE=A’E AB=A’B B m n g D C α E A’
l A AE=A’E AB=A’B B g α E A’
l A AE=A’E AB=A’B l ⊥g B g E α A’
直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 注：m α n α m ∩ n = B l ⊥ m l ⊥ n l ⊥α
小结 这个定理还说明这样一个事实，的确存在着和一个平面内一切直线都垂直的直线，从而得证了直线和平面垂直的合理性。 这个定理不仅提供了判定直线和平面垂值得一种方法，而且还是证明直线和直线互相垂直的一种常用的方法，即要想证明a⊥b，只需证a与b所在平面内的两条相交直线垂直（或证b与a所在平面内的两条相交直线垂直）。
练习 1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？ 2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？ 3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
练习 4、如果三条直线共点、且两两垂直，其中任一条直线是否垂直于另两条直线确定的平面？为什么？ 5、如果一条直线垂直于一个三角形的两边，能否断定这条直线和三角形的第三条边垂直？为什么？
例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。（此定理可看作线面垂直的判定公理二） α a b m n 已知：a∥b，a ⊥α 求证：b⊥α
证明：在平面α内作两条相交直线m，n ∵ a⊥α ∴ a⊥m ,a⊥n ∵ b∥a ∴ b⊥m ，b⊥n ∴ b⊥α α a b m n
例2 已知：bα，c α,b∩c=E， β∩γ=a，c⊥β，d⊥γ。 求证：a⊥α。
证明： ∵ b⊥β， β∩γ=a， ∴ b⊥a ； ∵ c⊥γ，β∩γ=a， ∴ c⊥a ； ∵ b∩c=E， bα， cα,
例3 已知：正方体中，AC是面对角线，BD’是与AC 异面的体对角线。 ′
证明： 连接BD ∵正方体ABCD-A’B’C’D’ ∴DD’⊥正方体ABCD ∵AC、BD 为对角线 ∴AC⊥BD ∵DD’∩BD=D ∴AC⊥△D’DB ∴AC⊥BD’ A B D C A’ B’ C’ D’
l A B n m g D C α E A’