九年级数学(下)第24章圆 24.2 圆的对称性(2) -----垂径定理

1.圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 你是用什么方法解决这个问题的? 圆是轴对称图形. 想一想 ●O 1.圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 你是用什么方法解决这个问题的? 圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线. 用折叠的方法即可解决这个问题.

2.圆是中心对称图形吗？ 如果是,它的对称中心是什么? 你又是用什么方法解决这个问题的? 圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心. 想一想 2.圆是中心对称图形吗？ 如果是,它的对称中心是什么? 你又是用什么方法解决这个问题的? 圆也是中心对称图形. ●O 它的对称中心就是圆心. 用旋转的方法即可解决这个问题.

观察猜想. ⌒ 操作：CD是圆0的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD，将圆0沿CD对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？ 猜想： ┐ • 操作：CD是圆0的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD，将圆0沿CD对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？ • O 猜想： A B • • • • AE=BE, AD=BD,AC=BC ⌒

叠 合 法 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 连接OA,OB, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦， 且CD⊥AB于M， 求证：AM=BM， AC =BC, AD =BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明： 连接OA,OB, 则OA=OB. 叠 合 法 ∵CD⊥AB于M ●O A B C D M└ ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, ⌒ AC和BC重合, ⌒ AD和BD重合. ⌒ 　AD =BD. ⌒ ∴AC =BC,

指导论证，引申结论. 题设 结论 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 平分弦 直径（或过圆心的直线） 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 直径（或过圆心的直线） 垂直于弦 判断题： (1)过圆心的直线平分弦 (2)垂直于弦的直线平分弦 (3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，则AE=BE • o A B C D E (1) •o A B C D E (2) 错 O • A B E (3) 错 对

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理： C 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 O 几何语言表达： AE ＝ BE ⌒ AC＝BC AD＝BD A E B CD是直径 CD⊥AB D

垂径定理的推论 ⌒ ⌒ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 探究活动 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. C D ●O ● M A B 发现图中有: ┗ CD⊥AB, CD是直径 ⌒ AC=BC, 可推得 AM=BM ⌒ AD=BD.

注意 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论

火眼金睛 下列图形是否具备垂径定理的条件？ O E D C A B

如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗? 垂径定理的推论 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗? 提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: ●O A B C D 1.两条弦在圆心的同侧 ●O A B C D 2.两条弦在圆心的两侧 www.gzsxw.net 港中数学网 圆的两条平行弦所夹的弧相等.

例题解析 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 37.4 赵州石拱桥 7.2 R D www.gzsxw.net 港中数学网

赵州石拱桥 解：由题设得 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m. 7.2 37.4 7.2 R D 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.

例2、已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径 解：连结OA，作OE⊥AB于E，则OE=3cm,AE=BE ∵AB=8cm ∴AE=4cm 在Rt中有 OA= = =5cm ∴ ⊙O的半径为5cm • o A B E └ 解后指出：从例2看出圆的半径OA，圆心到弦的垂线段OE及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决这类问题就显得很容易了。

例3 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. ● O C D E F ┗

例4、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长. · A B C D E F G H M N 解：过O作OM⊥BC于M，交AD于N， ∵矩形ABCD ， ∴AD∥BC， ∴ OM⊥ AD ∴ EM=1/2EF=5，HN=1/2HG=3 ∴AN=AH+HN=4+3=7， ∴ BM=7 ∴BE= BM- EM =7-5=2

练一练 ⌒ 注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。 1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（ ） A B M└ C A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM ⌒ ●O C D 2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD= . 8 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 . 13 注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。

练一练 判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） ⑵平分弦的直径一定垂直于这条弦. （ ） ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） ⑵平分弦的直径一定垂直于这条弦. （ ） (3)弦的垂直平分线一定经过圆心. （ ）   √

练一练 已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD 证明：过O作OE⊥AB于E， 则 AE=BE,CE=DE ┐E ∴AE－CE=BE－DE 即AC=BD 解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。

练一练 (1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30 °,求弦 AB 的长. O 6 O M A B A E 30° B B A E C (2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,交点为 M , 求 弦 AB 的长.

. . . 小结: E A B O O M N C D A B O E A B C D 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。

垂径定理的应用 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. E D 600 ┌ 600

垂径定理的应用 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. B A O D ø 650 D C

课堂小结 1、本节课主要学习了(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及推论. 2、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非 常重要的辅助线.圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三 角形，便将问题转化为解直角三角形的问题. 3、垂径定理的证明，是通过“实验——观察——猜想——证明” 实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后 证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法. 知识结构

:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= ㎝ ， 求圆O的半径。 r 4 r-4

思考题                已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD 求证：EC＝DF . A O B E C D F

如图，已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G，AE⊥CD于E， BF⊥CD于F，且圆O的半径为 10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。

船能过拱桥吗 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？

船能过拱桥吗 ∴此货船能顺利通过这座拱桥. 解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高. 由题设得 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得 ∴此货船能顺利通过这座拱桥.