STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS 第二章 压力容器应力分析 CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS 第三节 厚壁圆筒应力分析

若内外壁间的温差大，应考虑器壁中的热应力。 应力特征： 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 厚壁容器： 应考虑径向应力，是三向应力状态； 应力沿壁厚不均匀分布； 若内外壁间的温差大，应考虑器壁中的热应力。 应力特征： 静不定问题，需平衡、几何、物理等方程 联立求解 分析方法： 与薄壁容器比较，有何异同？

主要内容 2.3.1 弹性应力 2.3.2 弹塑性应力 2.3.3 屈服压力和爆破压力 2.3.4 提高屈服承载能力的措施 过程设备设计 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 主要内容 2.3.1 弹性应力 2.3.2 弹塑性应力 2.3.3 屈服压力和爆破压力 2.3.4 提高屈服承载能力的措施

教学重点： （1）厚壁圆筒中三向应力的公式表达 和应力分布图； （2）厚壁圆筒中的弹塑性区的应力分布； （3）提高屈服承载能力的措施。 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3 厚壁圆筒应力分析 教学重点： （1）厚壁圆筒中三向应力的公式表达 和应力分布图； （2）厚壁圆筒中的弹塑性区的应力分布； （3）提高屈服承载能力的措施。 教学难点： 厚壁圆筒中三向应力公式推导。

2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力 p0 Di Do θ 图2-15 厚壁圆筒中的应力

对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以，假设轴向应力 沿壁厚方向均匀分布，得： 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） 一、压力载荷引起的弹性应力 1. 轴向（经向）应力 对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以，假设轴向应力 沿壁厚方向均匀分布，得： （2-25） ＝ A

应 力 2.3.1 弹性应力（续） 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 2.3 厚壁圆筒应力分析 2.3.1 弹性应力（续） 过程设备设计 2. 周向应力与径向应力 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 a. 微元体 b. 平衡方程 c. 几何方程 ：微元体位移与应变之间的关系。（用位移法求解） d. 物理方程：弹性范围内，微元体的应变与应力的关系 e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 （求解微分方程，积分，边界条件定常数） 应 力

2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） a. 微元体 如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组成，微元在轴线方向的长度为1单位。 b. 平衡方程 （2-26） 图2-15 微元体平衡方程 薄壁微元平衡方程。 拉普拉斯方程

2.3 厚壁圆筒应力分析 2.3.1 弹性应力（续） 过程设备设计 c. 几何方程 (应力－应变） 图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移

2.3.1 弹性应力（续） c. 几何方程（续） 径向应变 （2-27） 周向应变 变形协调方程 （2-28） 过程设备设计 2.3 厚壁圆筒应力分析 2.3.1 弹性应力（续） 过程设备设计 c. 几何方程（续） 径向应变 （2-27） 周向应变 变形协调方程 （2-28）

2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） d. 物理方程 （2-29）

e. 平衡、几何和物理方程综合 求解应力的微分方程 2.3 厚壁圆筒应力分析 2.3.1 弹性应力（续） 过程设备设计 e. 平衡、几何和物理方程综合 求解应力的微分方程 将式（2-28）中的应变换成应力 并整理得到： 解该微分方程，可得 的通解。将 再代入式（2-26）得 。 （2-33）

2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） 边界条件为：当 时， ； 当 时， 。 由此得积分常数A和B为：

2.3 厚壁圆筒应力分析 2.3.1 弹性应力（续） 过程设备设计 周向应力 径向应力 轴向应力 称Lamè（拉美）公式 （2-34）

当仅有内压或外压作用时，拉美公式可以简化，此时，厚壁圆筒应力值和应力分布分别如表2－1和图2－17 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） 当仅有内压或外压作用时，拉美公式可以简化，此时，厚壁圆筒应力值和应力分布分别如表2－1和图2－17 表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值

2.3.1 弹性应力（续） 图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布 2.3 厚壁圆筒应力分析 2.3.1 弹性应力（续） 过程设备设计 =- - (a)仅受内压 (b)仅受外压 图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布

①周向应力 及轴向应力 均为拉应力（正值）， 径向应力 为压应力（负值）。 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） 从图2-17中可见， 仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律： ①周向应力 及轴向应力 均为拉应力（正值）， 径向应力 为压应力（负值）。

径向应力内壁处为 ，随着 增加， 径向应力绝对值 逐渐减小，在外壁处 =0； 轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力 2.3 厚壁圆筒应力分析 2.3.1 弹性应力（续） 过程设备设计 ②在数值上有如下规律： 内壁周向应力 有最大值，其值为： 外壁处减至最小，其值为： 内外壁 之差为 ； 径向应力内壁处为 ，随着 增加， 径向应力绝对值 逐渐减小，在外壁处 =0； 轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力 和的一半，即

③除 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。 以 为例，外壁与内壁处的 周向应力 之比为： K值愈大不均匀程度愈严重， 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） ③除 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。 以 为例，外壁与内壁处的 周向应力 之比为： K值愈大不均匀程度愈严重， 当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服， 因此筒体材料强度不能得到充分的利用。

2.3.1 弹性应力（续） 二、温度变化引起的弹性热应力 1. 热应力 2. 厚壁圆筒的热应力 3. 内压与温差同时作用引起的弹性应力 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） 二、温度变化引起的弹性热应力 1. 热应力 2. 厚壁圆筒的热应力 3. 内压与温差同时作用引起的弹性应力 4. 热应力的特点

2.3.1 弹性应力（续） 1. 热应力 （a）自由膨胀 图2-18热应变 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） 1. 热应力 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内所引起的应力，称为热应力。 （a）自由膨胀 图2-18热应变

2.3.1 弹性应力（续） （2－35） （b）单向约束 图2-18热应变 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） 1. 热应力 单向约束： （2－35） （b）单向约束 图2-18热应变

2.3.1 弹性应力（续） （2－36） （c）双向约束 图2-18热应变 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） 1. 热应力 双向约束： （2－36） （c）双向约束 图2-18热应变

在一维、二维、三维约束时，根据式（2－35）—式（2-37），图2-19给出了碳素钢在不同初始温度下，温度增加1 时的热应力值 ： 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） 1. 热应力 同理，可求得三向约束时的热应力： 三向约束： （2－37） 在一维、二维、三维约束时，根据式（2－35）—式（2-37），图2-19给出了碳素钢在不同初始温度下，温度增加1 时的热应力值 ： 刚性约束下，热应力比值（μ＝0.3） ： 三维 / 二维 / 一维= 2.50 / 1.43 / 1.00

2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） 1. 热应力 图2-19 碳素钢的热应力值

求厚壁圆筒中的热应力，首先确定筒壁的温度分布，再由平衡方程、几何方程和物理方程，结合边界条件求解。 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） 2. 厚壁圆筒的热应力 求厚壁圆筒中的热应力，首先确定筒壁的温度分布，再由平衡方程、几何方程和物理方程，结合边界条件求解。 当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时，稳态传热状态下，三向热应力的表达式为： （详细推导见文献[11]附录）

2.3 厚壁圆筒应力分析 2.3.1 弹性应力（续） 过程设备设计 2. 厚壁圆筒的热应力（续） (2-38)

2.3.1 弹性应力（续） K 筒体的外半径与内半径之比， Kr 筒体的外半径与任意半径之比， 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） 2. 厚壁圆筒的热应力（续） 筒体内外壁的温差， K 筒体的外半径与内半径之比， Kr 筒体的外半径与任意半径之比， 上式中： ——内壁面温度 ——外壁面温度 厚壁圆筒各处的热应力见表2-2， 表中 厚壁圆筒中热应力分布如图2-20所示。

2.3 厚壁圆筒应力分析 2.3.1 弹性应力（续） 过程设备设计 表2-2 厚壁圆筒中的热应力

2.3.1 弹性应力（续） 图2-20 厚壁圆筒中的热应力分布 2.3 厚壁圆筒应力分析 2.3.1 弹性应力（续） 过程设备设计 （a）内部加热； （ b ）外部加热 图2-20 厚壁圆筒中的热应力分布

2.3.1 弹性应力（续） 2. 厚壁圆筒的热应力（续） 厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为： ① 热应力大小与内外壁温差成正比 值也愈大。 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） 2. 厚壁圆筒的热应力（续） 厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为： ① 热应力大小与内外壁温差成正比 取决于壁厚，径比K值愈大 值也愈大，表2-2中的 值也愈大。 ②热应力沿壁厚方向是变化的

2.3.1 弹性应力（续） 3. 内压与温差同时作用引起的弹性应力 （2-39） 具体计算公式见表2-3，分布情况见图2-21。 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） 3. 内压与温差同时作用引起的弹性应力 （2-39） 具体计算公式见表2-3，分布情况见图2-21。

å å å 总应力 筒体内壁处 筒体外壁处 ( ) ( ) ( ) ( ) R r = R r = p - s 2.3.1 弹性应力（续） 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） 表2-3 厚壁圆筒在内压与温差作用下的总应力 总应力 筒体内壁处 i R r = 筒体外壁处 o R r = å r s p - å q s ( ) K P p t ln 1 2 - + ( ) K P p t ln 1 2 + - ( ) K P p t ln 2 1 - + å z s ( ) K P p t ln 1 2 + -

2.3.1 弹性应力（续） 内加热 内压 内壁应 力改善 外加热 外壁应 图2-21 厚壁筒内的综合应力 2.3 厚壁圆筒应力分析 2.3.1 弹性应力（续） 过程设备设计 内加热 内压 内壁应 力改善 外加热 外壁应 （a）内加热情况； （ b ）外加热情况 图2-21 厚壁筒内的综合应力

（Self- balancing stress） 2.3 厚壁圆筒应力分析 过程设备设计 2.3.1 弹性应力（续） 4. 热应力的特点 a. 热应力随约束程度的增大而增大 b. 热应力与零外载相平衡，是自平衡应力 （Self- balancing stress） c. 热应力具有自限性，屈服流动或高温蠕变 可使热应力降低 d. 热应力在构件内是变化的

过程设备设计 主要内容 2.3.1 弹性应力 2.3.2 弹塑性应力 2.3.3 屈服压力和爆破压力 2.3.4 提高屈服承载能力的措施

2.3.2 弹塑性应力 过程设备设计 2.3.2 弹塑性应力 一、弹塑性应力 图2-22 处于弹塑性状态的厚壁圆筒 内压 塑性区 弹性区

假设材料是的理想弹塑性，其应力－应变关系如图2－23所示 2.3.2 弹塑性应力 过程设备设计 2.3.2 弹塑性应力（续） 描述弹塑性厚壁圆筒的 几何与载荷参数： 本小节的目的：求弹性区和塑性区里的应力 假设材料是的理想弹塑性，其应力－应变关系如图2－23所示 图2-23 理想弹-塑性材料的 应力-应变关系

2.3.2 弹塑性应力（续） 1. 塑性区应力 平衡方程： Mises屈服 失效判据： 联立 积分 内壁边界条件， 求出A后带回上式 2.3.2 弹塑性应力 过程设备设计 2.3.2 弹塑性应力（续） 1. 塑性区应力 平衡方程： 联立 （2-26） （2-41） Mises屈服 失效判据： 积分 （2-40） 内壁边界条件， 求出A后带回上式 带入 （2-42） （2-40） （2-43） （2-44） （2-45）

导出弹性区与塑性区交界面的pi与Rc的关系 2.3.2 弹塑性应力 2.3.2 弹塑性应力（续） 过程设备设计 2. 弹性区应力 弹性区内壁处于屈服状态: 表2-1拉美公式 （2-46） Kc=Ro/Rc 导出弹性区与塑性区交界面的pi与Rc的关系 与2-45联立 （2-47） （2-34）

2.3.2 弹塑性应力（续） 2. 弹性区应力 表2-4 厚壁圆筒塑弹性区的应力（p0=0时） 应 力 Mises Tresca 2.3.2 弹塑性应力 2.3.2 弹塑性应力（续） 过程设备设计 2. 弹性区应力 表2-4 厚壁圆筒塑弹性区的应力（p0=0时） Mises Tresca 应 力 屈服失效判据

当厚壁圆筒进入弹塑性状态后，卸除内压力pi 残余应力 思考：残余应力是如何产生的？ 卸载时应力改变量 和应变的改变量 之间存在着弹性关系 。 2.3.2 弹塑性应力 过程设备设计 2.3.2 弹塑性应力（续） 二、残余应力 当厚壁圆筒进入弹塑性状态后，卸除内压力pi 残余应力 思考：残余应力是如何产生的？ 卸载时应力改变量 和应变的改变量 之间存在着弹性关系 。 卸载定理  o     ε’ ε 思考： 残余应力该如何计算？ 图2-24 卸载过程的应力和应变

将表2-4中基于Mises屈服失效判据的塑性区中的应力减去内压引起的弹性应力，得塑性区（Ri≤r≤Rc）中残余应力为 2.3.2 弹塑性应力 过程设备设计 2.3.2 弹塑性应力（续） 将表2-4中基于Mises屈服失效判据的塑性区中的应力减去内压引起的弹性应力，得塑性区（Ri≤r≤Rc）中残余应力为 （2-49）

将表2-4中基于Mises屈服失效判据的弹性区中的应力减去内压引起的弹性应力，得弹性区（ Rc ≤r≤Ro）中残余应力为 2.3.2 弹塑性应力 过程设备设计 2.3.2 弹塑性应力（续） 将表2-4中基于Mises屈服失效判据的弹性区中的应力减去内压引起的弹性应力，得弹性区（ Rc ≤r≤Ro）中残余应力为

2.3.2 弹塑性应力 2.3.2 弹塑性应力（续） 过程设备设计 图2-25 弹-塑性区的应力分布

从图2－25中可以看出，在内压作用下，弹塑性区的应力 和卸除内压后所产生的残余应力在分布上有明显的不同。 不难发现，残余应力与以下因素有关： 2.3.2 弹塑性应力 2.3.2 弹塑性应力（续） 过程设备设计 从图2－25中可以看出，在内压作用下，弹塑性区的应力 和卸除内压后所产生的残余应力在分布上有明显的不同。 不难发现，残余应力与以下因素有关： a.应力应变关系简化模型 b.屈服失效判据 c.弹塑性交界面的半径

2.3.3 屈服压力和爆破压力 （1）爆破过程 OA：弹性变形阶段 AC：弹塑性变形阶段（壁厚减薄+材料强化） 过程设备设计 2.3.3 屈服压力和爆破压力 （1）爆破过程 OA：弹性变形阶段 AC：弹塑性变形阶段（壁厚减薄+材料强化） C: 塑性垮塌压力（Plastic Collapse Pressure）——容器所能承 受的最大压力 图2-26 厚壁圆筒中压力 与容积变化量的关系 D: 爆破压力（Bursting Pressure）

令 ，得基于mises屈服失效判据的圆筒初始屈服压力 。 2.3.3 屈服压力和爆破压力 2.3.3 屈服压力和爆破压力（续） 过程设备设计 （2）屈服压力 a.初始屈服压力 令 ，得基于mises屈服失效判据的圆筒初始屈服压力 。 （2-51） b.全屈服压力 当筒壁达到整体屈服状态时所承受的压力，称为圆筒全屈服压力或极限压力（Limit pressure），用 表示。 （2-52） 令Rc=Ro，得 ●不要把全屈服压力和塑性垮塌压力等同起来。前者假设材料为理想弹塑性，后者利用材料的实际应力应变关系。

厚壁圆筒爆破压力的计算公式较多，但真正在工程设计中应用的并不多，最有代表性的是福贝尔（Faupel）公式。 2.3.3 屈服压力和爆破压力 2.3.3 屈服压力和爆破压力（续） 过程设备设计 （3）爆破压力 厚壁圆筒爆破压力的计算公式较多，但真正在工程设计中应用的并不多，最有代表性的是福贝尔（Faupel）公式。 爆破压力的上限值为 下限值为 且爆破压力随材料的屈强比 呈线性变化规律。 于是，福贝尔将爆破压力pb归纳为 （2-53） 即：

2.3.4 提高屈服承载能力的措施 增加壁厚： 径比大到一定程度后效果不明显 对圆筒施加外压： 效果难以保证 过程设备设计 2.3.4 提高屈服承载能力的措施 增加壁厚： 径比大到一定程度后效果不明显 对圆筒施加外压： 效果难以保证 通过超工作压力处理，由筒壁自身外层材料的弹性收缩引起残余应力。工程上常用。 自增强：