应用概率统计 主讲:刘剑平

离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求: 2.3. 随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的概率分布: X x1 x2 ... xn ... g(X) g(x1) g(x2) … g(xn) … P p1 p2 ... pn ... 注意 离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求: (1)由y=g(x)计算出随机变量Y的所有取值y1,y2,...,yn,...; (2)P(Y=yn)为yn 对应的随机变量X的取值的概率和.

连续型随机变量函数的概率密度函数 定理1 设X~fX(x),y=g(x)是x的单调可导函数,其导数不为0,值域为(a,b),-∞<a<b<+∞,记x=h(y)为y=g(x)的反函数,则Y=g(X)的概率密度函数为:

随机向量及其概率分布 随机向量的联合分布函数 随机变量函数的分布 第3章 随机向量 随机向量及其概率分布 随机向量的联合分布函数 随机变量函数的分布

第3.1节 随机向量及其概率分布 例如射击一次.问击中否?击中几环?击中点的坐标?击中点到靶心的距离? 1. n 维随机向量 第3.1节 随机向量及其概率分布 例如射击一次.问击中否?击中几环?击中点的坐标?击中点到靶心的距离? 1. n 维随机向量 以 n 个随机变量 X1，X2，…，Xn 为分量的向量 X=(X1,X2,…,Xn)称为n维随机向量。 以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。 2. 二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布 定义 如果二维随机向量（X,Y）的全部取值数对为有限个或至多可列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。 易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量X与Y分别都是一维离散型的。

联合概率分布 称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,…,)为(X,Y)的联合概率分布.其中E={(xi,yj),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下: X x1 x2 … x i y1 y2 … y j … p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … … … … pi1 pi2 … p i j … … … … … … Y 因“五.一”放假,超级链接用于复习基本知识点,以方便后继课 联合概率分布性质 ① pij≥0 ;i,j=1,2,… ②∑∑pij = 1; 计算P{(X,Y)∈D }=

边缘概率分布 (1) 定义 随机向量X=（X1,X2,…,Xn）中每一个Xi的分布，称为X关于Xi的边缘分布。 (2) 边缘分布列 对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为边缘分布列。 若(X,Y)的联合概率分布为pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则 (i=1,2,...) 同理 (j=1,2,...) 一般地,记: P(X=xi) Pi . P(Y=yj) P. j 概率分布表如下:

Y X .

独立性 若(X,Y)的联合概率分布满足 P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj ) 称X与Y独立。 例1 某盒子中有形状相同的2个白球， 3个黑球。从中一个个取球，令

P{X=xi,Y=yj) ≠P(X=xi)P(Y=yj ) 不放回 放回 Y2 1 Y1 0 1 3/10 3/10 3/10 1/10 Y2 1 Y1 0 1 9/25 6/25 6/25 4/25 Y1 0 1 P 3/5 2/5 Y1 0 1 P 3/5 2/5 Y2 0 1 P 3/5 2/5 Y2 0 1 P 3/5 2/5 P{X=xi,Y=yj) ≠P(X=xi)P(Y=yj ) P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj ) 不独立 独立

例2 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为: -1 1 Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 a 0.2 0.05 求:(1)常数a的取值; (2)P(X≥0,Y≤1); (3) P(X≤1,Y≤1) 解 (1)由∑pij=1得: a=0.1 (2)由P{(X,Y)∈D}= 得 P(X≥0,Y≤1)= P(X=0,Y=0)+ P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.1+0.2+0.1+0.2 =0.6 (3)P(X≤1,Y≤1) =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0) +P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75

二维随机向量区域概率图: Y 2 1 P(X≤1,Y≤1} P{X≥0,Y≤1} X -1 1

求:(1)X,Y的边缘分布; (2)X+Y的概率分布. -1 1 Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.05 解 (1)由分析得: X -1 0 1 P 0.25 0.4 0.35 Y 0 1 2 P 0.25 0.5 0.25 (2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3, P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05 P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2 P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4 同理,P(X+Y=2)=0.3, P(X+Y=3)=0.05 X+Y -1 0 1 2 3 P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05 所以

例4 设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整. Y y1 y2 y3 1/8 1/6 1 1/24 1/4 1/12 1/4 3/8 3/4 1/2 1/3

第3.2节 随机向量的联合分布函数 定义 二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y )=P{X≤x,Y≤y} (x,y)∈R2

二维联合分布函数区域演示图: Y y (x,y) { , } X≤x Y≤y X x

联合分布函数性质 (4)如果(X,Y)为离散型随机向量,其联合概率分布为 则 F(x,y)=P{X≤x，Y≤y}=

Y y2 (x1,y2) (x2,y2) y1 (x1,y1) (x2,y1) X x1 x2

3. 连续型随机向量的联合概率密度 性质 (1) f(x,y)≥0 ，(x,y)∈R2 其中D为任意可度量区域. 特别 在f(x,y)的连续点有

例5设(X,Y)～ 试求:(1)常数 A ;(2)P{ X<2, Y<1}; (3)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6. (4) P（X≤x,Y≤y）. 解 (1) =A/6 =1 所以, A=6

X Y 所以,P{ X<2,Y<1}= 1 {X<2, Y<1} 2

(3)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6. X Y 2 2x+3y=6 3

X Y (4) y x 所以, 当x≥0,y≥0时, 即:

解 (1)x<0,或y<0时,F(x,y)=0 (2)x≥1,y≥1时,F(x,y)=1 (3)0≤x≤1,0≤y≤1时, 本张幻灯片以后为习题课内容 (4)0≤x≤1,y>1时,F(x,y)= 综合即得: (5)x>1,0≤y≤1时,F(x,y)=

联合分布函数与边缘分布函数的关系 定义 设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为 F(x,y),则称 分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.

边缘密度函数 对于连续型随机向量(X,Y)～f(x,y),分量X,Y的密度函数称为边缘密度函数。 已知联合密度函数，容易求出边缘密度函数。 事实上, (1)f1(x)≥0, (2) 若a<b,则 P{a<X<b}= P{a<X<b,-∞<Y<+∞}= 所以,f1(x)是X的概率密度,同理可证f2(y).

随机变量的相互独立性 定理1 定理2 若X与Y相互独立，则它们的连续函数g(X )与h(Y)也相互独立。 特别有 aX+b与cY+d相互独立.

常见的二维连续型随机向量 (1) 均匀分布 若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为 其中:D为可度量的平面区域,SD为区域D的面积. 则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布. 对于D中任意可度量子区域G有 其中:SG为区域G的面积.

例8 设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布, 其中 D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y). 解 (1)由题意得: X Y 当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0 -1 1 当|x|≤1时, 均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布 所以, 同理, 不独立

(2) 二维正态分布 定义 如果(X,Y)的联合密度函数为 其中 则称(X,Y)服从参数为 的二维正态分布,简记为

可以证明 若 则X,Y的边缘概率密度分别为 X~N(μ1,σ12), Y~ N(μ2,σ22); 即 二维正态分布(X,Y)的边缘概率密度是一维正态分布. 由此可知随机向量的联合概率密度完全决定了它的边缘概率密度,反之不一定成立.

例9 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为 求(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度. 解 即 同理可得 X,Y的边缘概率密度为一维正态分布. 所以,边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不一定是二维正态分布.

课堂练习 1. 设随机变量X，Y是相互独立的，且X,Y等可能地取0，1为值，求随机变量Z=max(X,Y)的分布列。 解 X 0 1 P 1/2 1/2 Y 0 1 P 1/2 1/2 (X,Y)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), Z=max(X,Y)的取值为:0,1 P(Z=0)=P(X=0,Y=0)= P(X=0)P(Y=0) =1/4 P(Z=1)= P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =3/4 所以,Z的分布列为 Z 0 1 P 1/4 3/4

2. 已知随机向量(X,Y)的联合密度为 (1)问X与Y是否独立？(2)求概率P{X<Y}. 解 (1) 所以,X,Y独立. (2)P(X<Y)=

3. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 ⑴ 求随机变量X的密度函数； ⑵ 求概率P{X+Y≤1}. 解 (1)x≤0时,f1(x)=0; x>0时,f1(x)= y=x x+y=1 所以, 1/2 ⑵ P{X+Y≤1}=

小结: 联合概率分布 X x1 x2 … x i y1 y2 … y j … p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … … … … pi1 pi2 … p i j … … … … … … Y 因“五.一”放假,超级链接用于复习基本知识点,以方便后继课 联合概率分布性质 ① pij≥0 ;i,j=1,2,… ②∑∑pij = 1; 计算P{(X,Y)∈D }=

边缘概率分布 (1) 定义 随机向量X=（X1,X2,…,Xn）中每一个Xi的分布，称为X关于Xi的边缘分布。 (2) 边缘分布列 对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为边缘分布列。

Y X .

随机向量的联合分布函数 定义 二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y )=P{X≤x,Y≤y} (x,y)∈R2

联合分布函数性质 (4)如果(X,Y)为离散型随机向量,其联合概率分布为 则 F(x,y)=P{X≤x，Y≤y}=

连续型随机向量的联合概率密度 性质 (1) f(x,y)≥0 ，(x,y)∈R2 其中D为任意可度量区域. 特别 在f(x,y)的连续点有

联合分布函数与边缘分布函数的关系 定义 设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为 F(x,y),则称 分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.

边缘密度函数 对于连续型随机向量(X,Y)～f(x,y),分量X,Y的密度函数 称为边缘密度函数。 已知联合密度函数，容易求出边缘密度函数。

随机变量的相互独立性 定理1 定理2 若X与Y相互独立，则它们的连续函数g(X )与h(Y)也相互独立。 特别有 aX+b与cY+d相互独立.

常见的二维连续型随机向量 (1) 均匀分布 若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为

(2) 二维正态分布 定义 如果(X,Y)的联合密度函数为 其中 则称(X,Y)服从参数为 的二维正态分布,简记为

可以证明 若 则X,Y的边缘概率密度分别为 X~N(μ1,σ12), Y~ N(μ2,σ22); 即 二维正态分布(X,Y)的边缘概率密度是一维正态分布. 由此可知随机向量的联合概率密度完全决定了它的边缘概率密度,反之不一定成立.

应用概率统计 主讲:刘剑平

3.3 随机向量函数的分布 离散型随机向量函数的分布 例10设随机变量X1与X2相互独立，分别服从二项 分布和 ，求Y=X1+X2的概率分布. 解 依题知X+Y的可能取值为0,1,2,...,n1+n2,因此对于k (k= 0,1,2,...,n1+n2)，由独立性有 由 得 所以Y=X1+X2服从二项分布

即: 若X与Y相互独立，X～B(n1,p)，Ｙ～B(n２,p)， 则　X+Y～B(n1+n2,p) 二项分布的可加性 类似可得: 若X,Y相互独立,X~P(λ1),Y~P(λ2), 则 X+Y~P(λ1+λ2) Possion分布的可加性

离散型随机向量函数Z=g(X,Y)的概率分布: (X,Y) ( x1,y1 ) (x1,y2) ... (xn,ym) ... g(X,Y) g(x1,y1) g(x1,y2) … g(xn,ym) … P p11 p12 ... pnm ... 注:g(x1,y1) , … g(xn,ym) …从小到大排,相同的并在一起

例11 设(X,Y)的联合概率分布为: 求:(1)X+Y,XY,X2+Y2的概率分布. -1 Y 0 1 2 0.4 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 求:(1)X+Y,XY,X2+Y2的概率分布. (X,Y) (-1,0) (-1,1) (-1,2) (0,0) (0,1) (0,2) X+Y -1 0 1 0 1 2 XY 0 -1 -2 0 0 0 X2+Y2 1 2 5 0 1 4 P 0.4 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1

X+Y -1 0 1 2 P 0.4 0.2 0.3 0.1 XY -2 -1 0 P 0.1 0.1 0.8 X2+Y2 0 1 2 4 5 P 0.1 0.6 0.1 0.1 0.1

随机变量函数的概率密度函数求法----分布函数法 设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),记Z=g(X,Y). (1) 求Z的分布函数 (2) 对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z).

例12 设随机变量X与Y独立，概率密度函数为 解 (X,Y)的联合密度函数为 所以,

连续型随机变量和的概率密度函数 例13 设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和f2(y),求Z= X+Y的概率密度函数. 解 同理

例14 设随机向量(X,Y)的概率密度为.

例15 设随机变量X和Y相互独立,且均服从标准正态分布N~(0,1),求Z= X+Y的概率密度函数. 解 由题意得 X和Y相互独立,故

结论 两个独立正态分布随机变量的和仍服从正态分布. 即:若X1~N(μ1,σ12), X2~N(μ2,σ22), X,Y独立,则 X+Y~N(μ1+ μ2,σ12+ σ22) 正态分布的可加性

推论 有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布. 即:若Xi~N(μi,σi2), (i=1,2,...n), X1,X2, ...Xn相互独立, 实数 不全为零,则 特别, 若X1,X2, ...Xn独立同服从正态分布N(μ,σ2) ,记: 则

例16 设随机变量X与Y独立，概率密度函数为

另解:

例17 设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和f2(y),求Z= X-Y的概率密度函数. 解 独立 同理 独立

例18 设随机向量(X,Y)的概率密度为.

另解

例19 设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和f2(y),求Z= X／Y的概率密度函数. 解 独立

例20 设随机变量X与Y独立，同服从N(0,1),求Z=X/Y的 概率密度.

例21 设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和f2(y),求Z= XY的概率密度函数. 解 独立 同理 独立

例22 设随机变量X与Y独立，同服从 U(0,1),求Z=XY的 概率密度.

极值分布 设随机变量X和Y相互独立, 分布函数分别为 FX(x)和FY(y),求Z=max(X,Y), Z=min(X,Y) 的分布函数. 解 独立 同理 独立

例23 系统如图,每个元件寿命服从 , 求系统 寿命的概率密度. L23 L21 L22 L11 L13 L12 解

L23 L21 L22 L11 L13 L12

1. 设随机变量X，Y是相互独立的，且X,Y等可能地取0，1为值，求随机变量Z=max(X,Y)的概率分布。 解 X 0 1 P 1/2 1/2 Y 0 1 P 1/2 1/2 (X,Y)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), Z=max(X,Y)的取值为:0,1 P(Z=0)=P(X=0,Y=0)= P(X=0)P(Y=0) =1/4 P(Z=1)= P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =3/4 所以,Z的分布列为 Z 0 1 P 1/4 3/4

课堂练习 2 1:已知二维随机变量 的概率分布为 1 2 1/2 1/4 求：1. , 的边缘概率分布。 2. 是否相互独立？为什么？ 1 1:已知二维随机变量 的概率分布为 1 2 1/2 1/4 求：1. , 的边缘概率分布。 2.  是否相互独立？为什么？ 1 2 3/4 1/4 1 2 3/4 1/4

离散型随机向量函数Z=g(X,Y)的概率分布: 小结: 离散型随机向量函数Z=g(X,Y)的概率分布: (X,Y) ( x1,y1 ) (x1,y2) ... (xn,ym) ... g(X,Y) g(x1,y1) g(x1,y2) … g(xn,ym) … P p11 p12 ... pnm ... 注:g(x1,y1) , … g(xn,ym) …从小到大排,相同的并在一起

若X与Y相互独立，X～B(n1,p)，Ｙ～B(n２,p)， 则　X+Y～B(n1+n2,p) 二项分布的可加性 若X,Y相互独立,X~P(λ1),Y~P(λ2), 则 X+Y~P(λ1+λ2) Possion分布的可加性 结论 两个独立正态分布随机变量的和仍服从正态分布. 即:若X1~N(μ1,σ12), X2~N(μ2,σ22), X,Y独立,则 正态分布的可加性 X+Y~N(μ1+ μ2,σ12+ σ22)

随机变量函数的概率密度函数求法----分布函数法 设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),记Z=g(X,Y). (1) 求Z的分布函数 (2) 对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z).

连续型随机变量和的概率密度函数 设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和f2(y),求Z= X+Y的概率密度函数. 解 同理

设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和f2(y),求Z= X-Y的概率密度函数. 解 独立 同理 独立

设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和f2(y),求Z= X／Y的概率密度函数. 解 独立

设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为f1(x)和f2(y),求Z= XY的概率密度函数. 解 独立 同理 独立

极值分布 设随机变量X和Y相互独立, 分布函数分别为 FX(x)和FY(y),求Z=max(X,Y), Z=min(X,Y) 的分布函数. 解 独立 同理 独立