实际问题与二次函数

同学们，今天就让我们一起去体会生活中的数学给我们带来的乐趣吧！ 篮球在空中经过的路径 何时获得最大利润？ 何时橙子总产量最大？ 水柱形成形状 跳运时人在空中经过的路径 养鸡场面积何时最大？ 跳水运动员在空中经过的路径 同学们，今天就让我们一起去体会生活中的数学给我们带来的乐趣吧！

题型一：最大利润问题

来到商场 （1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？ 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 请大家带着以下几个问题读题 （1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？

来到商场 分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况 先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 件，实际卖出 件,销额为 元，买进商品需付 　　元因此，所得利润为　　　　　　　　　　　　　　　元 10x (300-10x) (60+x)(300-10x) 40(300-10x) y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) 即 (0≤X≤30)

(0≤X≤30) 所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元 可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标.

由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗? 在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案。 做一做 解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润 (0≤x≤20) 答：定价为 元时，利润最大，最大利润为6050元 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； 解这类题目的一般步骤 （1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

1.在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据： 销售价 x（元/千克） … 25 24 23 22 销售量 y（千克） 2000 2500 3000 3500 （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函 数关系式； （2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x (元/千克)之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？

解：（1）正确描点、连线．由图象可知，y是x的一次函数．设 y＝kx＋b ， ∵点（25，2000），（24，2500）在图象上， 解之得： ∴ y ＝－500x＋14500 （2）P＝（x－13）·y＝（x－13）·（－500 x＋14500） ＝－500 x 2＋21000 x－188500＝－500（x－21）2＋32000． ∴P与x的函数关系式为P＝－500 x 2＋21000 x－188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润．

(03河北） 2：某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产。已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x元，年销售量为y万件，年获利（年获利＝年销售额－生产成本－投资）z万元。 （1）试写出y与x之间的函数关系式；（不必写出的取值范围） （2）试写出z与x之间的函数关系式；（不必写出的取值范围） （3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？ （4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于1130万元。请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？   

解：（1）依题意知，当销售单价定为x元时，年销售量减少 (x-100)万件. ∴y=20- (x-100) = - x+30. 即y与x之间的函数关系式是: y = - x+30. （2）由题意，得：z = (30- )(x-40)-500-1500 = - x2+34x-3200. 即z与x之间的函数关系式是: z = - x2+34x-3200. (3) ∵当x取160时，z= - ×1602+34×160-3200 = - 320. ∴ - 320 = - x2+34x-3200. 整理，得x2-340+28800=0. 由根与系数的关系，得 160+x=340. ∴x=180. 即同样的年获利，销售单价还可以定为180元. 当x=160时，y= - ×160+30=14; 当x=180时，y= - ×180+30=12. 即相应的年销售量分别为14万件和12万件. 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10

也就是说：当销售单价定为170元时，年获利最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资. （4）∵z = - x2+34x-3200= - (x-170)2-310. ∴当x=170时，z取最大值，最大值为-310. 也就是说：当销售单价定为170元时，年获利最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资. 第二年的销售单价定为x元时，则年获利为： z = (30- x)(x-40)-310 = - x2+34x-1510. 当z =1130时，即1130 = - x2+34x -1510. 整理，得 x2-340x+26400=0. 解得 x1=120, x2=220. 函数z = - x2+34x-1510的图象大致如图所示：由图象可以看出：当120≤x≤220时，z≥1130. 所以第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内. O 120 170 220 x(元) z(万元) 1380 1130 1 10 1 10 1 10 1 10

例：某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套。经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出。在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元。设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益＝租金收入－支出费用）为y（元）。 （1）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费 （2）求y与x之间的二次函数关系式； （3）当月租金分别为300元和350元式，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由； （4）请把（2）中所求出的二次函数配方成 的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？

解：（1）未租出的设备为 套，所有未出租设备支出的费用为（2x－540）元； （2） （3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备32套。因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场占有率，应该选择37套； （4） ∴ 当x＝325时，y有最大值11102.5。 但是当月租金为325元时，出租设备的套数为34. 5套，而34.5不是整数，故出租设备应为34（套）或35（套）。即当月租金为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元。

例：（07河北）某超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱的售价在40元~70元之间．市场调查发现：若每箱50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱． （1）写出平均每天的销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系式（注明自变量x的取值范围）； （2）求出超市平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数关系式（每箱的利润=售价－进价）； （3）请把（2）中所求出的二次函数配方成 的形式，并指出当x=40、70时，W的值． （4）在坐标系中画出（2）中二次函数的图象，请你观察图象说明：当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？

解：（1）y=240－3x；（2）W=－3x2+360x－9600（40≤x≤70）；（3）W=－3（x－60）2+ 1200．当x =40时，W=0；当x =70时，W=900．（4）图象略．由图象可知：当售价为60元时，最大销售利润为1 200元．

来到操场 题型二：运动问题

（4，4） ∴此球不能投中 (0≤x≤8) 如图，建立平面 直角坐标系，点（4，4）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为： ∵篮圈中心距离地面3米 ∴此球不能投中 (0≤x≤8)

若假设出手的角度和力度都不变, 则如何才能使此球命中? 探究 （1）跳得高一点 （2）向前平移一点

在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈? y x （4，4） （8，3） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？ y X （4，4） （5，4） (７，３）● （8，3） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

例：某跳水运动员进行10米跳台训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是一条抛物线如图所示（图中标出的数据为已知条件），在跳某个 规范动作时，通常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 m,入水处距池边的距离为4 m，运动员在距水面高度为5 m以前，必须完成规范的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 2 3 3m 10m 1m 跳台支柱 水面 池边 B y A x （1）求这条抛物线对应 的二次函数解析式 （2)在某次试跳时，测得运动员 在空中的运动路线是（1）中的抛物线且 运动员在空中调整好入水姿势时，距池边 的水平距离为3 m，问此次跳水会不会失误， 通过计算说明理由。 2 5

解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点位B，抛物线的关系式为：y=ax2+bx+c 由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0），（2，-10）且顶点的纵坐标为 2 3 25 6 c=0 a=- ∴ 解得： 4a 4ac-b2 2 3 10 3 = b= 4a+2b+c=-10 c=0 3 2 a=- ∵抛物线对称轴在 y轴右侧，∴- ＞0 或 b 2a b=-2 又∵抛物线开口向下，∴a＜0,b＞0 c=0

25 6 10 3 ∴a=- b= c=0 25 6 10 3 ∴抛物线关系式为y=- x2+ x 5 3 5 3 (2)当运动员在空中距池边的水平距离为3 m,即3 -2= 时，y=(- ) ×( )2+ × =- 8 5 25 6 8 5 3 16 10 3 8 5 14 3 3 16 ∴此时运动员距水面的高为10- = 因此此次跳水会出现失误

题型三：市场营销问题

例： （05河北）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个。考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角。 设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）。 ⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数； ⑵求y与x之间的函数关系式； ⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？

解：⑴每个面包的利润为(x－5)角，卖出的面包个数为（300－20x）（或[160－（x－7）×20]） （2） 即： （3） ∴当x=10时，y的最大值为500。 ∴当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大，最大利润为500角

例： （06河北）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）． （1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； （2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ （4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．

解：（1） =60（吨）． （2） 化简得：   （3） 利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨21元． （4）我认为，小静说的不对． 理由：方法一：当月利润最大时，x为210元， 而对于月销售额 来说，当x为160元时，月销售额W最大．∴当x为210元时，月销售额W不是最大． ∴小静说的不对． 方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000，∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．

题型四：二次函数建模问题

例：图14－1是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据： （1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图14－2所示的坐标系中画出y关于x的函数图象； （2）① 填写下表： 　　　② 根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y的二次函数表达式： ． （3）当水面宽度为36 m时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8 m的货船能否在这个河段安全通过？为什么？ 60 x /m 图14—2 y/ m 20 4 6 10 12 14 30 40 O 50 2 8

此时该河段的最大水深为1.62m 因为货船吃水深为1.8m，而1.62<1.8, 所以当水面宽度为36m时，该货船不能通过这个河段. 解：（1）图象如下图所示. O 10 20 30 40 50 60 x/m 2 14 12 8 6 4 y/m （2） x 5 10 20 30 40 50 200 （3）当水面宽度为36m时，相应的x=18，则 此时该河段的最大水深为1.62m 因为货船吃水深为1.8m，而1.62<1.8, 所以当水面宽度为36m时，该货船不能通过这个河段.

题型五：方案优化问题

例（08河北）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式 ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价P甲、P乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用） （1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时， ，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润 （万元）与x之间的函数关系式； （2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时， （n为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n的值； （3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？ 参考公式：抛物线 的顶点坐标是．

解：（1）甲地当年的年销售额为 万元； （2）在乙地区生产并销售时， 年利润． 由 ，解得 或． 经检验， 不合题意，舍去， ． （3）在乙地区生产并销售时，年利润 ， 将 代入上式，得 （万元）；将 代入 ， 得 （万元）． ，应选乙地．

用抛物线的知识解决运动场上或者生活中的一些实际问题的一般步骤： 建立直角坐标系 及 时 总 结 二次函数 问题求解 找出实际问题的答案

寄语 生活是数学的源泉，探索是数学的生命线. 作业 P28:2、3、4 www.czsx.com.cn