第5章 框架、剪力墙、框架—剪力墙结构的近似计算方法与设计概念 第5章 框架、剪力墙、框架—剪力墙结构的近似计算方法与设计概念 教 学 提 示 高层结构近似计算方法的基本假定； 框架结构在竖向荷载和水平荷载作用下的近似计算方法—— 分层法和D值法； 剪力墙结构（整体墙、小开口墙、联肢墙、独立墙肢以及壁式框架）在水平荷载作用下的内力与侧移计算方法； 框架－剪力墙结构的协同工作计算方法； 相应结构的内力分布特征与设计概念。

教学要求 掌握框架结构的内力与侧移计算方法； 掌握一片剪力墙在侧向荷载作用下的内力与侧移计算、掌握墙身开洞要求及洞口对墙肢的受力与变形的影响； 理解框架与剪力墙的协同工作原理、掌握协同工作计算方法以及刚度特征值对框－剪结构的受力与变形的影响。

5.1 计算基本假定 三大基本假定 平面结构假定 刚性楼板假定 水平荷载作用方向假定

平面结构假定：一片框架或剪力墙可以抵抗在本身平面内的侧向力，平面外刚度忽略不计—可以计算平面结构的内力和位移； 刚性假定楼板：楼板在自身平面内刚度无限大，平面外刚度忽略不计 —解决在水平荷载作用下各片平面结构之间的荷载分配问题； 水平荷载作用方向假定： 水平荷载作用在房屋结构 的主轴方向及斜交结构方向 当斜交方向角大于15°时）

5.2 框架结构的近似计算方法 计算假定 忽略杆件的轴向变形； 竖向荷载作用下框架无侧移； 杆件为等截面，其轴线为框架计算轴线。

5.2.1竖向荷载下内力计算—分层法 计算步骤 1 计算梁柱线刚度。 有现浇板的梁：一边有板 I=1.5Ir 两边有板 I=2.0Ir 柱: 除底层外,各柱线刚度乘以0.9 2 统计荷载后，计算梁的固端弯矩。

3 计算梁、柱弯矩分配系数，确定传递系数。除底层柱外，上层各柱的传递系数取1/3；底层柱取1/2。 4 将框架分层。 分层后的柱端假定为固端

7 将叠加后产生的节点不平衡弯矩再分配一次。 5 按力矩分配法计算每层梁、柱弯矩。 6 同层柱的柱端弯矩叠加。 7 将叠加后产生的节点不平衡弯矩再分配一次。

5.2.2 水平荷载作用下的计算—D值法 反弯点法 1.计算假定：梁柱线刚度之比为∞。相应地，有除底层柱外，各层柱的反弯点位置处于层高的中点；底层柱的反弯点位于2/3柱高处。 2 .柱的抗侧刚度 ：ijk=12ic/h2 框架在水平力 作用下的弯矩图

3 柱剪力： 层间剪力是按各柱的抗侧刚度的比值分配给各柱 4 柱端弯矩 ： 底层柱 ： 其余各层柱： 5 梁端弯矩： 6 其余内力：梁端剪力，柱轴力

D值法—改进的反弯点法 1 计算假定： (1) 柱AB端节点以及相邻杆件的杆端转角均为θ。 (2) 柱AB以及相邻上下柱的线刚度均为ic ；层间 位移为Δ，相应地，柱的弦转角ψ= Δ/hj。 (3) 与柱AB相交梁的线刚度为i1、i2、i3、i4。

2 .柱的D值：由节点A、B的平衡条件和结构力学的转角位移方程，可以推导出： 由此得柱AB的抗侧刚度——D值： 式中：

柱刚度修正系数的计算 楼 层 简 图 K α 一般层 底层

3 反弯点高度： 根据理论分析，D值法中反弯点高度比采用下式确定： 式中： y0—标准反弯点高度比，根据水平荷载作用形式，总层数m、该层位置n以及梁柱线刚度比的K值，查表求得 ; y1—上下层梁刚度不同时，柱的反弯点高度比的修正值。 当 ＜ 时，令 根据I和梁、柱的线刚度之比K，查表得 y1, y2—上层层高与本层高度h不同时反弯点高度比的修正值。 y3—下层层高与本层高度h不同时反弯点高度比的修正值。

(1) 根据表5-1，计算出各柱的梁柱刚度比K，及其相应的抗侧刚度影响系数，则抗侧刚度，按式(5-5)，计算各框架柱的抗侧刚度D值。 (2) 每层各柱剪力按其刚度D分配，当j层的层剪力Vj，柱jk的剪力：

(3) 计算柱jk的反弯点高度比y，按下式计算。 =Vjkyh； =Vjk(1-y)h (5) 任一节点处左右横梁的端弯矩根据上下柱端弯矩的代数和按横梁线刚度进行分配。

5.2.3 框架侧移计算 框架的总变形应由两部分变形组成： 弯曲变形和剪切变形； 在近似计算中，只需 计算由杆件弯曲引起的 变形，即剪切型变形。

梁柱弯曲变形产生的剪切型侧移： 根据柱D值的定义，按下式进行计算层间侧移： 顶点侧移为： 柱轴向变形产生的侧移： 楼层i处的侧移： 楼层i的层间位移：

5.3 剪力墙结构的近似计算方法 5.3.1 剪力墙结构的受力特点及计算方法 5.3 剪力墙结构的近似计算方法 抗侧力结构单元和承重单体均由剪力墙（R.C墙）组成的空间结构体系称为剪力墙结构。 5.3.1 剪力墙结构的受力特点及计算方法 结构组成： 竖向：纵、横墙 体系 （竖向分体系） 水平：楼盖 体系（水平分体系） 承受荷载： 竖向：恒载、使用活载、竖向地震 作用 水平：水平地震作用、风荷载

剪力墙的受力特点与类型 一般将其简化为平面结构，假定剪力墙在自身平面内受力，在侧向荷载作用下处于二维应力状态，应用平面有限元方法计算，但大都将其简化为杆系采用结构力学的方法作近似计算。 剪力墙是否开洞以及洞口的大小与分布情况对其受力与变形影响很大。 剪力墙根据开洞情况的不同分两大类： 1）不开洞或开洞但洞口分布规则； 2）不规则开洞剪力墙。

（2）联肢墙：开洞较大但规则整齐，洞口间的连梁对墙肢的约束能力较强； 1）不开洞或开洞但洞口分布规则，可近似计算： （1）整体墙：16％及洞口长边与洞口净距、洞边与墙边净距大于孔洞长边； （2）联肢墙：开洞较大但规则整齐，洞口间的连梁对墙肢的约束能力较强； （3）独立墙肢：连梁约束能力弱，墙肢刚度较大； （4）壁式框架：洞口大，连梁与墙肢刚度相差不大，受力与变形性能接近于框架（带刚域框架）。 2）不规则开洞剪力墙 当洞口较大又排列不规则，则不能简化为杆件体系，只能采用平面有限元方法。

小开口整体墙 整体墙

双肢及多肢剪力墙 壁式框架

基本假定 ① 刚性楼面结构假定：自身平面内刚度很大，可视为刚度无限大的刚性楼板，平面外刚度较小，可忽略不计。 楼板平面内没有相对变形，各墙在楼面连接下水平受荷时作刚体运动。 ② 平面结构假定 各墙在自身平面内刚度很大，平面外刚度小。 平面内大 水平荷载作用下各墙受力 ——单向抗侧力结构 平面外小 不考虑虑

连续化方法：将连梁看作分散在整个剪力墙高度上的连续连杆。 目的：能够进行微积分运算，进而求解结构构件的内力与变形。 基本假定： 5.3.3 联肢墙的连续化计算方法 连续化方法：将连梁看作分散在整个剪力墙高度上的连续连杆。 目的：能够进行微积分运算，进而求解结构构件的内力与变形。 基本假定： 1）忽略连梁的轴向变形； 2）两墙肢各截面的转角和曲率相等； 3）各墙肢截面、连梁截面、层高等几何尺寸沿全高相同。

联肢墙的结构尺寸 联肢墙的的计算简图

基本方法：力法 连续化方法的基本体系

δ1 (x)--由墙肢弯曲变形产生的相对位移。 基本方程 δ1 (x)+ δ2 (x) +δ3 (x) =0 δ1 (x)--由墙肢弯曲变形产生的相对位移。 δ1 (x)--由墙肢轴向变形产生的相对位移。 δ1 (x)--由连梁弯曲和剪切变形产生的相对位移 δ1 (x)=-2cqm(x) 墙肢的弯曲变形使连杆产生的相对位移：d1(x)

墙肢的轴向变形使连杆产生的相对位移：δ2 (x)

δ3 (x)--由连梁弯曲和剪切变形产生的相对位移。

位移协调方程： 基本微分方程（上式的二阶微分）： 将δ1 (x)、 δ2 (x) 、 δ3 (x)的表达式分别代入上述位移协调方程，并整理可得： 基本微分方程（上式的二阶微分）：

墙肢截面在x高度处的内力（弯、剪、轴）

以均布荷载为例，有： 令： （连梁刚度系数） （连梁墙肢刚度比）

整理后，得： 令： 基本方程式：

相对坐标： （无量纲化） 基本方程变为： 通解和特解组成方程的解：

边界条件1：当ξ=0，墙顶弯矩为0，可得 将上式代入变形协调方程 的一次求导，注意第2项在ξ=0 处为0，可得： 由一般解 解出：

边界条件2：当ξ=1，墙底转角为0，即 将上式代入变形协调方程 注意到在底截面处，轴向变形引起的相对位移为0，可得： 由一般解 解出

3种荷载下，φ(x)的表达式为： 均布荷载下 倒三角形荷载下 顶部集中荷载下

双肢墙内力计算 连杆的约束弯矩： i层连梁约束弯矩： i层连梁剪力： i层连梁端部弯矩： i层墙肢轴力： i层墙肢弯矩：

i层墙肢弯矩： i层墙肢剪力： 式中：I0i——考虑剪切变形后的墙肢折算惯性矩

双肢墙的位移计算 双肢墙的侧向位移应由墙肢的弯曲变形和剪切变形叠加，即：

将3种荷载下的m(ξ),Mp(ξ),Vp(ξ)代入，积分后可得： 以倒三角形荷载为例 将ξ=0，c1、c2代入，整理后得顶点侧移：

将ξ=0，c1、c2代入，整理后得顶点侧移： 式中，τ为墙肢轴向变形影响系数，γ2为剪切变形系数：

相对坐标：ξ=x/H 基本微分方程的解（连杆沿高度分布的剪应力）： 式中: m-连梁对墙肢的约束弯矩 V0-剪力墙的底部剪力 T-轴向变形影响系数

a-整体系数(连梁与墙肢刚度比） 双肢墙: 多肢墙:

连梁计算跨度 2al=2a+2hl/4 连梁折算惯性矩

Ii 、 yi--i墙肢的截面惯性矩和该墙肢截面形心 到剪力墙组合截面重心的距离； 联肢剪力墙肢内力: 连梁剪力: Vlj=(xj)h 连梁内力 连梁弯矩: Mlj= Vlj•a 弯矩 墙肢内力 轴力 剪力（后） 式中: Mp(x)--x处外荷载产生的倾覆力矩； 　　Mi(x) 、Ni(x)--i墙肢x处的弯矩和轴力； Ii 、 yi--i墙肢的截面惯性矩和该墙肢截面形心 到剪力墙组合截面重心的距离； 　　I—该片剪力墙组合截面（全截面）的惯性矩；

k-整体性能系数：为整体弯曲应力与整体弯曲应力和局部弯曲应力的和的比值。

墙肢剪力:

联肢墙的位移和等效刚度 1)剪力墙的侧移 由墙肢的弯曲变形和剪切变形叠加

2）剪力墙的顶点侧移 倒三角形分布荷载 均布荷载 顶点集中荷载

3)等效刚度 倒三角形分布荷载 均布荷载 顶点集中荷载

a-系数 -墙肢剪切变形影响系数

讨论 整体系数a的影响

洞口或连梁大小的影响 a≦1,独立墙肢 a≥10,小开口墙 a>>10, 框架 1 ≦a ≦10 ,连肢墙

5.3.4独立墙肢计算方法 思路： 将水平荷载按各墙肢刚度分配到各个墙肢上； 各墙肢按悬臂墙独立计算。 a≦1,各墙肢按单片剪力墙计算

——第i墙肢底层剪力 ——联肢墙基底总剪力 ① 按墙肢折算惯性矩分配基底剪力 ——第i墙肢底层剪力 ——联肢墙基底总剪力 Ii0为墙肢折算惯性矩，若不考虑剪切变形则取 ②将 按原来荷载分布形式作用于每个独立墙肢上 ③按悬壁墙计算各墙肢截面M，V及侧移

5.4 框架-剪力墙结构的近似计算 竖向荷载作用下，按各自的受荷面积计算内力。 水平荷载作用下，通过楼板协调变形，采用协同工作方法计算内力 5.4 框架-剪力墙结构的近似计算 竖向荷载作用下，按各自的受荷面积计算内力。 水平荷载作用下，通过楼板协调变形，采用协同工作方法计算内力 框-剪结构协同工作计算方法，适用于比较规则的结构，且只能计算平移时的剪力分配。

5.4.1 简化假定及计算简图 所有梁柱单元集成为总框架，按抗推（剪切）刚度； 所有墙肢集成为总剪力墙，按悬臂墙计算其抗侧刚度EIeq； 5.4.1 简化假定及计算简图 所有梁柱单元集成为总框架，按抗推（剪切）刚度； 所有墙肢集成为总剪力墙，按悬臂墙计算其抗侧刚度EIeq； 与墙肢相连的联系梁集成为总联系梁；

计算简图一：铰接体系 —剪力墙与框架通过楼板联系

计算简图二：刚接体系 —剪力墙与框架通过梁联系 计算目的：计算总剪力墙的剪力、弯矩，总框架的剪力，总联系梁的弯矩、剪力。

5.4.2协同工作的基本原理 连续化方法—将总联系梁沿全高连续分布,成为连续杆件

对铰接体系，按材料力学悬臂梁内力与弯曲变形的关系式,有下列关系

框架的抗推刚度—总框架在楼层处产生单位剪切 变形所需要的水平剪力。 由以上定义，得总框架的层间剪力为： 对上式微分，得：

将pf(x)代入，得： 令： 整理后，得（框－剪结构协同工作微分方程）：

倒三角形分布荷载作用下的计算公式为：

y(x)可依次确定剪力墙任意截面处的转角、弯矩和剪力。 由此，据求解的位移函数 y(x)可依次确定剪力墙任意截面处的转角、弯矩和剪力。 框架承担的剪力为：

计算图表：由 、 查出表中系数，按下列公式计算（以下依次为侧移、墙弯矩、墙剪力） 总框架剪力为

5.4.3 框-剪结构位移与内力分布规律 主要影响因素—刚度特征值 λ =0时为剪力墙结构 ； λ = 时为框架结构 位移曲线 剪力分配关系 λ =0时为剪力墙结构 ； λ = 时为框架结构 位移曲线 剪力分配关系 外荷载剪力 剪力墙剪力 框架剪力

荷载分配 剪 力 墙 承受的荷载 框 架 承受的荷载

1.联系梁 5.4.4 内力调幅 抗弯刚度折减，最低可达0.5EI 目的： 塑性铰出现在梁中； 便于施工。 2.框架剪力调整 5.4.4 内力调幅 1.联系梁 抗弯刚度折减，最低可达0.5EI 目的： 塑性铰出现在梁中； 便于施工。 2.框架剪力调整 目的：保证作为第二道防线的框架具有一定的抗侧力能力 方法：抗震设计时，框架-剪力墙结构对应于地震作用标准值的各层框架总剪力按下列方法调整：

1）剪力不调整 ：满足Vƒ≧0.2V0要求的楼层，其框架总剪力不必调整； 2）剪力须调整：不满足式Vƒ≧0.2V0要求的楼层，其框架总剪力应按0.2V0和1.5Vƒ,max二者的较小值采用即： 0.2V0 Vƒ=min 1.5Vƒ¸max V0—对框架柱数量从下至上基本不变的规则框架，应取对应于地震作用标准值的结构底部总剪力；对框架柱数量从下至上分段有规律变化的结构，应取每段最下一层结构对应于地震作用标准值的底部总剪力。

Vƒ—对应于地震作用标准值且未经调整的各 层框架承担的地震总剪力； Vƒ,max —对框架柱数量从下至上基本不变的规 则框架，应取对应于地震作用标准值且未经调整 的各层框架承担的地震总剪力中的最大值； Vƒ,max －对框架柱数量从下至上分段有规律变 化的结构，应取每段中对应于地震作用标准值且 未经调整的各层框架承担的地震总剪力中的最大 值。

5.5 扭转近似计算 5.5.1 概述 扭转对结构不利； 扭转不可避免； 扭转很难精确计算； 近似计算基于平面结构假设和楼板无限刚性假设； 5.5 扭转近似计算 5.5.1 概述 扭转对结构不利； 扭转不可避免； 扭转很难精确计算； 近似计算基于平面结构假设和楼板无限刚性假设； 着重建立关于扭转的设计概念。

5.5.2 质量中心、刚度中心、扭转偏心距 风荷载合力的作用线－按整体风荷载计算方法； 5.5.2 质量中心、刚度中心、扭转偏心距 近似计算须先确定结构各层水平力作用线与刚度中心，两者之间的距离为扭转偏心距。 风荷载合力的作用线－按整体风荷载计算方法； 水平地震作用的作用线—沿主轴（或斜交结构）方向通过质心。 质心：即结构平面的重心，质量的形心（质量分布均匀时为结构平面的形心）。

质心坐标： xm=∑ximi/∑mi=∑xiwi/∑xiwi ym=∑yimi/∑mi=∑yiwi/∑yiwi

刚度中心 抗侧刚度 刚心坐标 各抗侧力结构的抗侧刚度的中心 各抗侧力结构单元在单位层间位移下的层剪力值。 Dyi=Vyi/dy Dxk=Vxk/dx 刚心坐标 x0=∑Dyixi/∑Dyi y0=∑Dxkyk/∑Dxk

刚心坐标计算方法 1.框架结构：框架柱的D值即为其抗侧刚度 2.剪力墙结构： x0=∑Jeqyixi/∑Jeqyi y0=∑Jeqxkyk/∑Jeqxk 框架-剪力墙结构： 4.设计偏心距： ex=e0x ± 0.05Lx ey=e0y±0.05L e0x＝ xm－ x0， e0y= ym－ y0 Lx，Ly是与力Vx,Vy作用方向垂直的建筑总长

5.5.3 剪力修正 与y轴平行的第i片结构沿y方向层间位移 δ yi= δ +θxi 与x轴平行的第k片结构沿x方向层间位移 5.5.3 剪力修正 与y轴平行的第i片结构沿y方向层间位移 δ yi= δ +θxi 与x轴平行的第k片结构沿x方向层间位移 δ xk=- θ yk

当y方向作用有偏心剪力Vy时， 由抗侧移刚度的定义可求得: Vyi=Dyi δ yi=Dyi δ +Dyi θ xi 由力平衡条件 代入，整理后，得 Vxk=Dxk δ xk= -Dxk θ yk （起控制作用）

同理，当x方向作用有偏心剪力Vx 时，也可推得类似得公式 （起控制作用）

只取起控制作用的两个力，将其公式分别改写为： 故得修正系数：

5.5.4 讨论 ∑Dyixi2与 ∑Dxkyk2为结构的抗扭刚度； 各片抗侧力结构的扭转修正系数不同： 5.5.4 讨论 ∑Dyixi2与 ∑Dxkyk2为结构的抗扭刚度； 各片抗侧力结构的扭转修正系数不同： α>1时，抗侧力结构的剪力增大， α <1时，抗侧力结构的剪力减小； 距离刚心越远侧移及层间变形越大； 距离刚心越远的抗侧力结构对抗扭刚度贡献越大； 在上下布置相同的框架-剪力墙结构中，上下各层的刚心位置并不相同。

谢谢！