第四章 有限长单位脉冲响应（ FIR ）滤波器的设计方法 本章主要内容 引言 4.1 线性相位FIR数字滤波器的特性 4.2 窗口设计法（时间窗口法） 4.3 频率采样法 4.4 IIR与FIR数字滤器的比较

引言 为何要设计FIR滤波器？ 一、 IIR滤波器的优缺点（回顾）

二、 FIR滤波器的优点 设FIR滤波器单位冲激响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)为： FIR数字滤波器的差分方程描述

例 差分方程y[n] = x[n] + 0.5x[n-1] - 0.4x[n-2] a. 单位脉冲响应有限 b. 单位脉冲响应无限 答案：a

系统函数说明 H(z)是z-1的N-1次多项式，它在z平面上原点z=0是N-1阶重极点。即除原点外在Z平面上没有极点，H(z)总是稳定的。稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优点，而且允许设计多通带（或多阻带）滤波器。其中线性相位和多通带滤波器设计都是IIR系统不易实现的 FIR滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性。

三、 FIR的缺点 1、由于FIR系统只有零点(只在原点有极点)，因此FIR系统不像IIR系统那样易取得比较好的通带与阻带衰减特性。要取得好的衰减特性，一般要H(z)的阶次要高，也即N大。 2、 无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计 公式，要借助计算机辅助设计程序完成。

四、FIR滤波器应用 （1）语音处理，图象处理以及数据传输要求线性相位，任意幅度。（即要求信道具有线性相位特性）而FIR数字滤波器具有严格的线性相位，而且同时可以具有任意的幅度特性。 （2)另外FIR数字滤波器的单位抽样响应是有限长的，因而滤波器一定是稳定的只要经过一定的延时，任何非因果有限长序列都变成因果的有限序列。 （3)FIR可以用FFT算法来实现过滤信号。

五、FIR DF设计思路 FIR滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法有很大不同。FIR DF设计的含义是： 根据设计指标，求解所选运算结构要求的h(n)或H(z)： 1）线性卷积和快速卷积型结构，求FIR DF的h(n). 2）级联和频率采样型结构，求FIR DF 的H(z).

4.1 线性相位FIR滤波器的特点 4.1.1 线性相位的条件 对于长度为N的h(n),传输函数为：

1、H(ejw)线性相位 线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数，即 式中为常数，此时通过这一系统的各频率分量的时延为一相同的常数，系统的群时延为

补充定义 1、时延：所谓时延是指信号通过传输通道所需要的传输时间。 2、群时延： 它是滤波器平均延迟的一个度量，定义为相频特性对角频率w的一阶导数的负值。即：

幅频特性和相频特性 输出信号与输入信号的幅值比是的非线性函数，称其为系统的幅频特性，记为A(ω)．它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，反映幅值比随频率而变化的规律，其幅值的衰减（A<1)或增大(A>1)特性． 输出信号与输入信号的相位差(或称相移)也是的非线性函数，称为系统的相频特性．它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，反映相位差随频率而变化的规律，其相位产生超前 [Φ（ ω )> 0]或滞后[Φ（ ω ) <0]的特性．对于物理系统，相位一般是滞后的，即一般是负值.

2、FIR滤波器具有线性相位的条件

式中 H(ω)是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等:

另外，证明方法 1）第一类线性相位线性相位条件证明

2、第二类线性相位条件证明 与前一种不同之处在于增加了 的相移

偶对称 奇对称 线性相位特性

注意 从第二类线性相位看出： 零频率w=0有2的截距，说明不仅有： 个抽样间隔的延时，而且还产生一个90的相移，这种使频率皆为90的网络，称为正交变换网络，它具有重要的理论和实际意义。 也就是：h(n)为奇对称时，FIR滤波器是一个具有准确的线性相位的理想正交变换网络。

4.1.2 幅度特性 由于h(n)的长度N取奇数还是偶数，对H(w)的特性有影响，因此，对于两类线性相位，下面我们分四种情况讨论其幅度特性的特点： （1）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)为偶对称,N=奇数 （2）h(n)=h(N-1-n),即h(n)为偶对称，N=偶数 （3）h(n)=-h(N-1-n)，即h(n)为奇对称,N=奇数 （4）h(n)=-h(N-1-n),即h(n)为奇对称，N=偶数

1、第一种情况： h(n)=h(N-1-n)偶对称，N=奇数

看出：cos(nw)对于w=0,,2皆为偶对称，所以幅度函数H(w)也对 w=0,,2皆为偶对称。且H(0)、H(/2), H(),H(2)都可不为零。(只要h ((N-1)/2)不为零。所以w从0 2范围内，无任何约束，可以设计成任何一种滤波器。低通、高通、带通、带阻）

N=7 n 对称中心 关于w=0及w= 偶对称 可以设计任何一种滤波器

2、第二种情况 h(n)=h(N-1-n)偶对称，N=偶数

N=6 n 对称中心 w= 奇对称，H()=0 (总是) 只能设计低通和带通滤波器。

3、第三种情况 h(n)=-h(N-1-n)奇对称，N=奇数

看出：sin(nw)对于w=0,,2处皆为0 即H(w)在w=0,,2处必为零。也即H(z)在z=1处都为零。 (2) sin(nw)对w=0,,2呈奇对称形式 不能用于 的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。

H(0)=0 、H()=0 (总是) 只能设计带通滤波器。 h(n)=-h(N-1-n)，N=7奇数 n 对称中心 关于w=0、w= 奇对称 H(0)=0 、H()=0 (总是) 只能设计带通滤波器。

4、第四种情况 h(n)=-h(N-1-n)，N=偶数

关于w=0奇对称、w=偶对称 H(0)=0 (总是) 只能设计带通、高通滤波器。 n 对称中心 h(n)=-h(N-1-n)，N=6偶数

总结 第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都可设计。 第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计 高通和带阻。 第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器 都不能设计。 第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻

四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。

例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函数H (ω)。 解 Ｎ为奇数并且h(n)满足偶对称关系 a (0) = h (2) = 2 a (1) = 2 h (3) = -1 a (2) = 2 h (4) = -1 H (ω) = 2 - cosω- cos2ω = 2- (cosω+cos2ω)

4.1.3 零点特性

所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，这种共轭对共有四种 1）既不在单位园上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两组共轭对，如图 zi z*i 1/zi 1/z*i

2）在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是 自己的共轭，所以有一对共轭零点， zi,z*i

3）不在单位圆上，但在实轴上，是实数,共轭就是自己，所以有一对互为倒数的零点, zi, 1/zi

4）又在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以只有一个零点，只有两种可能， zi=1或zi=-1

总结 1) h(n)偶对称，N为偶数H(π)=0 z=-1是H（z）的单根； 2）h(n)奇对称，N为奇数，因 H(0)=0,H(π)=0 所以z=1，z=-1都是H（z）的单根； 2) h(n)奇对称，N为偶数，H（0）=0， 所以z=1是H（z）的单根。 线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约束条件。

4.2 窗口设计法 4.2.1 设计思路 (1)先给定所要求设计的理想滤波器的频率响应Hd(ejw). (2)设计一个可实现的FIR滤波器频率响应H(ejw)。 (3)由于设计是在时域中进行，使所设计滤波器的h(n)去逼近理想单位取样响应hd(n)

如果希望得到的滤波器的理想频率响应为 ，那么 FIR滤波器的设计就在于寻找一个传递函数 去逼近 ，逼近方法有三种： 窗口设计法（时域逼近） 频率采样法（频域逼近） 最优化设计（等波纹逼近） 时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。我们知道hd(n)可以从理想频响通过付氏反变换获得

但一般来说，理想频响 是矩形频率特性，所以，这样得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往都是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限长的，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)。最简单的办法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。这种截取等效于在hd(n)上施加了一个长度为N的矩形窗，h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段，因此 ，h(n)也可表达为h(n)和一个“窗函数”的乘积，即 h(n)=w(n) hd(n) 这一方法通常称为窗口设计法。

设计步骤： 1）由定义 插值 3）卷积

练习 给FIR滤波器加窗的目的在于 a. 使得单位脉冲响应有限长 b. 获得理想滤波器特性 c. 产生一正弦变化 答案：a

4.2.2 矩形窗口法 以一个截止频率为 ωc的线性相位理想低通滤波器为例,讨论FIR的设计问题。 a. 对于给定的理想低通滤波器 ，计算

这是一个以N-1/2为中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段n=0～N-1的hd(n)作为h(n)，则为保证所得到的是线性相位FIR滤波器，延时 a 应为h(n)长度N的一半,即

对频响起作用的是它的幅度函数

理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式 Hd(ejω)=Hd(ω)e-jωα 其中幅度函数为 两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有

如果也以幅度函数 和相位函数来表示 H（ejω）, 则实际FIR滤波器的幅度函数H（ω）为 正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。  

矩形窗的卷积过程（P95的图4.5来说明）

4个特殊频率点看卷积结果： （1）ω=0时, H(0)等于 在[-ωc, ωc]内的积分面积， （2）ω=ωc时，一半重叠， H(ωc)=0.5 H(0); （3） ω=ωc –2π/N时，第一旁瓣（负数）在通带外，出现正肩峰； （4） ω=ωc +2π/N 时，第一旁瓣（负数）在通带内，出现负肩峰。

窗口函数对理想特性的影响： ①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，其宽度取决于窗函数的主瓣宽度， WR(ω)的主瓣宽度为 。 ②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于 WR(ω)的旁瓣，旁瓣所包围的面积越大，通带波动增加，阻带衰减减少。 ③N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。 因主瓣附近 其中x=Nω/2,所以N的改变只能改变窗谱的主瓣宽度，不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变WR（ω）的绝对值大小和起伏的密度，当N增加时，幅值变大，频率轴变密，而最大肩峰永远为8.95%，这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。

肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响 改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求： ①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； ②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。

例 用矩形窗设计一个FIR线性相位低通数字滤波器。已知 求出并h(n)的表达式。

0.25 0.5 0.75 1 -40 -30 -21 -10 N=15 N=31 用矩形窗设计的c=p/2 FIR滤波器的幅度响应

几种常用的窗函数： 1. 矩形窗，上面已讲过，不再细述 2. 汉宁窗（升余弦窗）

3. 汉明窗（改进的升余弦窗）   4. 布莱克曼窗（三阶升余弦窗）

窗函数 主瓣宽度 过渡带宽 旁瓣峰值衰减 (dB) 阻带最小衰减 矩形 N / 4 p 8 . 1 -13 -21 汉宁 2 6 -31 -44 汉明 -41 -53 布莱克曼 12 11 -57 -74

对窗函数的总的要求 希望它频谱的主瓣尽量地窄，旁瓣尽量地小，使频域的能量能主要集中在主瓣内。 采用窗函数法，设计简单，方便，也实用。但要求用计算机，且边界频率不易控制.长度N也不易一次确定，要反复几次才能求得满意结果。 FIR DF设计的窗函数法不但可以用来设计普通的LP，HP，BP及BS滤波器，也可以用来设计一些特殊的滤波器，例如差分滤波器，希尔伯特滤波器。

3. 矩形窗设计的FIR滤波器过渡带最窄。 错 对

§4.3 频率采样法 工程上，常给定频域上的技术指标，。因此，采用频率采样法更为直接，尤其对于Hd(ejw)公式较复杂，或Hd(ejw)不能用封闭公式表示而用一些离散值表示时，频率采样设计法更为方便，有效。 内插公式

窗函数法与频率采样法的区别 1、窗 函 数 法 是 从 时 域 出 发， 把 理 想 的 hd(n) 用 一 定 形 状 的 窗 函 数 截 取 成 有 限 长 的 h(n)， 以 此 h(n) 求 近 似 理 想 的hd(n) ， 这 样 得 到 的 频 率 响 应H(ejw) 逼 近 于 所 求 的 理 想 频 率 响 应Hd(ejw) 。

2、频 率 抽 样 法 则 从 频 域 出 发， 把 给 定 的 理 想 频 率 响 应Hd(ejw) 加 以 等 间 隔 抽 样 然 后 以 此 Hd(k) 作 为 实 际 FIR 滤 波 器 的 频 率 特 性 的 抽 样 值 H(k)，知 道 H(k) 后， 由 DFT 定 义， 可 用 频 域 的 这N 个 抽 样 值 H(k) 求 唯 一 确 定 的 有 限 长 序 列 h(n)， 利 用 这 N 个 频 域 抽 样 值 H(k) 同 样 可 得 FIR 滤 波 器 的 系 统 函 数 H(z) 及 频 率 响 应 。

4.3.1频率抽样法基本原理 频 率 抽 样 法 从 频 域 出 发， 把 给 定 的 理 想 频 率 响 应Hd(ejw) 加 以 等 间 隔 抽 样得到Hd(k) ，即

单位圆上的频响为：

这是一个内插公式。内插公式表明： 在每个采样点上， 逼近误差为零，频响 严格地与理想频响的采样值 H(k)相等； 在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近， 会产生肩峰和波纹。 N增大，则采样点变密，逼近误差减小。

抽样点上，频率响应严格相等 抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加 变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小

4.3.2. 用频率采样法设计线性相位滤波器的约束条件 为了设计线性相位的FIR滤波器，单位脉冲响应序列，要满足一定的约束条件。 另外，前已指出,具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)是因果，有限长，实序列，由此得到的幅频和相频特性，就是对H(k)的约束。

1、第一种情况 线性相位FIR滤波器

2、第二种情况 线性相位FIR滤波器

3、第三种情况 线性相位FIR滤波器

4、第四种情况 线性相位FIR滤波器

例：设计一个FIR数字 LP 滤波器，其理想特性为 采样点数 N=33，要求线性相位。 解：能设计低通线性相位数字滤波器的只有单位脉冲响应偶对称两种情况，因N为奇数，所以只能选择第一种情况。 即 h(n)=h(N-1-n)， 幅频特性关于π偶对称，也即 HK 偶对称。 利用 HK 的对称性,求频响采样值。

根据指标要求，共有33个取样点，所以第k点对 应频率为 而截止频率 0.5π位于 之间 ，所以，k=0～8时，取样值为1；根据对称性， 故 k=25～32时，取样值也为1，因 k=33 为下一周期，所以0～π区间有9个值为 1的采样点，π～2π区间有8个值为 1 的采样点，因此：

小结 频率采样设计法优点： ① 直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便； ② 适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。 ①   直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便； ② 适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。 典型应用：用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度； 缺点：截止频率难以控制。 因频率取样点都局限在2π/N的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。 充分加大N，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。

4.5 IIR和FIR滤波器的比较 前面讨论了IIR和FIR两种滤波器传输函数的设计方法。 这两种滤波器究竟各自有什么特点？在实际运用时应该怎样去选择它们呢？ 为此对这两种滤波器作一简单的比较。 1.从性能上比较 2.从结构上比较 3.从设计工具上比较

1、从性能上进行比较 从性能上来说，IIR滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济而效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。选择性越好，则相位非线性越严重。相反，FIR滤波器却可以得到严格的线性相位，然而由于FIR滤波器传输函数的极点固定在原点，所以只能用较高的阶数达到高的选择性；对于同样的滤波器设计指标，FIR滤波器所要求的阶数可以比IIR滤波器高5~10倍，结果，成本较高，信号延时也较大；如果按相同的选择性和相同的线性要求来说，则IIR滤波器就必须加全通网络进行相位较正，同样要大增加滤波器的节数和复杂性。

从结构上看 IIR滤波器必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。相反，FIR滤波器主要采用非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，运算误差也较小。此外，FIR滤波器可以采用快速付里叶变换算法，在相同阶数的条件下，运算速度可以快得多。

从设计工具看 IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果，因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算，计算工作量比较小，对计算工具的要求不高。FIR滤波器设计则一般没有封闭形式的设计公式。窗口法虽然仅仅对窗口函数可以给出计算公式，但计算通带阻带衰减等仍无显式表达式。一般，FIR滤波器的设计只有计算程序可循，因此对计算工具要求较高。

另外 IIR滤波器虽然设计简单，但主要是用于设计具有片段常数特性的滤波器，如低通、高通、带通及带阻等，往往脱离不了模拟滤波器的格局。而FIR滤波器则要灵活得多，尤其它能易于适应某些特殊的应用，如构成微分器或积分器，或用于Butterworth、Chebyshev等逼近不可能达到预定指标的情况，例如，由于某些原因要求三角形振幅响应或一些更复杂的幅频响应，因而有更大的适应性和更广阔的天地。

总结 从上面的简单比较我们可以看到IIR与FIR滤波器各有所长，所以在实际应用时应该从多方面考虑来加以选择。例如，从使用要求上来看，在对相位要求不敏感的场合，如语言通讯等，选用IIR较为合适，这样可以充分发挥其经济高效的特点，而对于图像信号处理，数据传输等以波形携带信息的系统，则对线性相位要求较高，如果有条件，采用FIR滤波器较好，当然，在实际应用中应考虑经济上的要求以及计算工具的条件等多方面的因素。

重点习题 4.1，4.6，4.8