微积分 (I)期末小结 2019/4/25

一.函数 1.基本初等函数 2.初等函数 3.非初等函数 *分段函数 *隐函数方程 *参数方程表示的函数 *变限定积分 4.函数的初等性质 2019/4/25

二.极限 2019/4/25

三.连续函数 1.连续的基本概念 2.闭区间上连续函数的性质 2019/4/25

四.导数与微分 2019/4/25

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五.导数应用 (一)微分学基本定理 (二)函数性态的研究 (三)不等式的证明 2019/4/25

(四)罗必达法则 (五)泰勒公式 1.皮亚诺型余项的泰勒公式 2019/4/25

2.拉格朗日型余项的泰勒公式 2019/4/25

3.常用的麦克劳林公式 2019/4/25

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要求 1.掌握函数在一点的泰勒公式 2.会用直接展开或间接展开的方法求 函数的泰勒公式 3.能利用泰勒公式求某些函数的极限 4.利用泰勒公式证明不等式 5.利用泰勒公式作近似计算 6.利用泰勒公式进行级数判敛 2019/4/25

六.不定积分 (一)基本概念 1.原函数 2.不定积分 2019/4/25

(二)基本性质 2019/4/25

(三)基本公式 2019/4/25

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(四)计算方法 2019/4/25

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七.定积分 (一)基本概念 1.定义 2019/4/25

2.定积分的几何意义 2019/4/25

(二)函数的可积性 2019/4/25

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(三)定积分的性质 2019/4/25

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(四)变上限定积分 2019/4/25

(五)牛顿-莱布尼兹公式 (六)定积分计算 2019/4/25

3.特殊函数的积分性质 2019/4/25

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(七）定积分应用 2019/4/25

应用问题 2019/4/25

(八)广义积分 1.无穷区间上的广义积分 (1)定义 2019/4/25

(2)判敛法则 2.无界函数的广义积分 2019/4/25

(2)判敛法则 3.两个重要的例 2019/4/25

要求 1.掌握定积分的概念及性质 2.了解定积分存在的条件与可积函数类 3.能利用定积分性质对问题进行分析 与证明 4.掌握变上限积分求导 5.掌握牛顿莱布尼兹公式 2019/4/25

6.掌握定积分的变量置换法与分部积 分法 7.掌握弧长的微分与曲率的计算 8.会用定积分解决几何与物理的简单 问题 9.掌握广义积分的概念及判敛法则 2019/4/25

一、主要内容 （一）向量代数 （二）空间解析几何

（一）向量代数 向量概念 向量的 线性运算 向量的 表示法 向量的积 数量积 混合积 向量积

1、向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量. 重要概念: 向量的模、 单位向量、 零向量、 自由向量、 相等向量、 负向量、 平行向量、 向径.

2、向量的线性运算 (1) 加法： (2) 减法： (3) 向量与数的乘法：

3、向量的表示法 向量的分解式： 在三个坐标轴上的分向量： 向量的坐标表示式： 向量的坐标：

向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式

向量模长的坐标表示式 向量方向余弦的坐标表示式

4、数量积 (点积、内积) 数量积的坐标表达式 两向量夹角余弦的坐标表示式

5、向量积 (叉积、外积) 向量积的坐标表达式

// 6、混合积

（二）空间解析几何 空间直角坐标系 曲线 曲面 直 线 平 面 一般方程 旋转曲面 参数方程 柱 面 一般方程 二次曲面 参数方程 柱 面 直 线 平 面 一般方程 二次曲面 参数方程 对称式方程 点法式方程 一般方程

1、空间直角坐标系 竖轴 空间的点 定点 纵轴 有序数组 横轴

空间直角坐标系 共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.

两点间距离公式: 它们距离为

2、曲面 曲面方程的定义：

[1] 旋转曲面 研究空间曲面的两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状. 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之. 这条定直线叫旋转曲面的轴.

方程特点:

（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面

[2] 柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之. 这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.

(2) 圆柱面 (3) 抛物柱面 (4) 椭圆柱面

从柱面方程看柱面的特征： (1) 平面

[3] 二次曲面 定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. （1）椭球面 （2）椭圆抛物面

（3）马鞍面 （4）单叶双曲面 （5）圆锥面

3、空间曲线 [1] 空间曲线的一般方程 [2] 空间曲线的参数方程

如图空间曲线 一般方程为 参数方程为

[3] 空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程： 消去变量z后得： 曲线在 面上的投影曲线为 面上的投影曲线 面上的投影曲线

如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线 投影柱面 投影曲线

[4] 空间立体或曲面在坐标面上的投影 空间立体 曲面

4、平面 [1] 平面的点法式方程 [2] 平面的一般方程 [3] 平面的截距式方程

[4] 平面的夹角 [5] 两平面位置特征： //

5、空间直线 [1] 空间直线的一般方程

[2] 空间直线的对称式方程 [3] 空间直线的参数方程

[4] 两直线的夹角 直线 直线 ^ 两直线的夹角公式

[5] 两直线的位置关系： // [6] 直线与平面的夹角

直线与平面的夹角公式 [7] 直线与平面的位置关系 //

二、典型例题 例1 解 由题设条件得 解得

例2 解 过已知直线的平面束方程为

由题设知 由此解得 代回平面束方程为

例3 解 将两已知直线方程化为参数方程为

即有

例4 解

所求投影直线方程为

例5 解 由于高度不变,

故所求旋转曲面方程为

测 验 题

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测验题答案