自动控制原理 第十章 非线性控制系统

本章主要内容 非线性控制系统概述 相平面法 非线性系统的相平面分析 描述函数法 非线性系统的描述函数分析 了解 熟悉 掌握

10.1 非线性控制系统概述 1. 非线性系统的基本概念 不能用线性方程描述或不满足叠加原理的系统都是非线性系统； 10.1 非线性控制系统概述 1. 非线性系统的基本概念 不能用线性方程描述或不满足叠加原理的系统都是非线性系统； 非线性是宇宙间的普遍现象，实际系统都是非线性系统，线性系统只是在特定条件下的近似描述； 系统的非线性程度比较严重，无法近似为线性系统时，只能用非线性系统的方法进行分析和设计； 非线性系统的运动形式多样，种类繁多； 有两种常见情况: ①系统中存在非线性元件；②为了某种控制目的，人为引进的非线性。

非线性系统的简单例子（见第二章） 液位系统中，H为液位高度，Qi 为液体输入流量，Qo为液体输出流量，C为储液罐的截面积。 根据水力学原理知 k 是取决于液体粘度的系数 系统的输入输出动态方程为 属于非线性微分方程。 该系统可以近似为线性系统

2. 非线性系统的一般数学模型 一个单输入单输出非线性特性的数学描述为 其中 和 为非线性函数。

3. 常见的典型非线性特性 非线性特性中，死区特性、饱和特性、间隙特性、继电特性等是最常见的，也是最简单的，而且常常难以线性化。

(1) 死区特性（不灵敏区特性） 测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区。 特征：当输入信号较小时，系统没有输出; (1) 死区特性（不灵敏区特性） x z 测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区。 特征：当输入信号较小时，系统没有输出; 当输入信号大于某一数值时才有输出。 对系统性能的主要影响：①使稳态误差增大；②产生时间滞后；③优点是能滤去小幅值的干扰信号，提高系统的抗干扰能力。

利用死区特性的应用例 ——液位控制系统 对液位误差设置死区，可防止执行机构频繁动作，减少对执行机构的磨损，还可消除小幅度检测噪声的影响。 输入流量 液位 误差 控制器 调节阀 液位系统 检测

(2) 饱和特性 放大器及执行机构受电源电压、功率或结构上的限制导致饱和现象。 (2) 饱和特性 x z 放大器及执行机构受电源电压、功率或结构上的限制导致饱和现象。 特点：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化，而是保持恒定。 主要影响：在大信号作用下，放大倍数减小稳态精度↓，快速性↓ ，但相对稳定性↑。（分析例见p58）

饱和特性导致稳态误差的例子 ——水箱水位控制系统 当出水流量大于阀门最大开度所对应的进水流量时（输入饱和），水位就会下降，出水流量也随之减小，达到平衡时水位会低于设定值。 + - PID 控制器 y 出水 阀门开度u 误差 e 进水 水箱

饱和特性导致稳态误差的例子 ——电机调速系统 电机系统在重载情况下，输入电压饱和，转速会低于设定值（转速↓使电流↑、转矩↑）。 输入电压 误差 转速 PID转速 调节器 功率 放大器 电机 系统 转速检测

(3)间隙（或滞环、回环）特性 如齿轮传动系统中的齿隙、铁磁元件中的磁滞等。 影响：通常会使系统的输出在相位上产生滞后，导致稳定裕量减小、动态性能恶化，甚至产生自持振荡（振幅和频率固定的周期运动）。

(4) 继电器特性 y x y(t) x(t) y x 具有死区的继电器 理想继电器 例：开关型控制的电冰箱、电熨斗等

x y y x 具有滞环的继电器 具有死区和滞环的继电器

典型非线性环节的正弦响应 y(t) ωt y(t) ωt ωt y(t) y(t) ωt

不适用叠加原理（与线性系统的本质区别），没有一种通用方法来处理各种非线 性问题 4. 非线性系统的特点 不适用叠加原理（与线性系统的本质区别），没有一种通用方法来处理各种非线 性问题 稳定性等性能分析复杂而困难 稳定性等不仅与系统的结构和参数有关，也与初始条件、输入信号的类型和幅值有关。 线性系统：只有一个平衡状态 非线性系统：可能有多个平衡状态

无论初始状态为何值，都有 ， 系统稳定，只有一个平衡状态 。 例：线性系统 的稳定性和平衡点 t x(t) 无论初始状态为何值，都有 ， 系统稳定，只有一个平衡状态 。

例：非线性一阶系统 ① ② 令 ，可知该系统存在两个平衡状态 设系统的初始状态为 x0 ，则解为 x(t) 如 ①、 ②，有突变

平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。

可能存在自持振荡（极限环）现象 频率响应发生畸变 自持振荡：指没有外界周期变化信号作用时，系统内部产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。 线性系统在临界稳定的情况下也可能产生周期运动，但其振幅并不固定，取决于初始状态，所以不是自持振荡（参见p32）。 频率响应发生畸变 在正弦输入下，线性系统的稳态输出是同频率的正弦信号；而非线性系统的输出则是周期和输入相同、含有高次谐波的非正弦信号。

5. 非线性系统的分析与设计方法 非线性系统分析的重点： 某一平衡点是否稳定，如果不稳定或性能不好应如何校正； 系统中是否会产生自持振荡，如何确定其周期和振幅； 如何利用、减弱或消除自持振荡以获得所需要的响应性能。

非线性系统的基本研究方法： 小范围线性近似法 逐段线性近似法 相平面法（精确时域法，重点） 图解法，只适用于阶数最高为二阶的系统。 描述函数法（近似频域法：只保留基波，近似为线性） 适用于具有低通滤波特性的各种阶次的非线性系统。 李雅普诺夫法（构造正定能量函数，使其导数负定） 计算机仿真法

10.2 相平面法 相平面法的基本概念 相轨迹的绘制 由相轨迹图求时间及时间响应 奇点与极限环的类型 非线性控制系统的相平面分析

一、相平面法的基本概念 针对二阶时不变非线性微分方程描述的系统（也可用于线性）: 相平面：由系统某一变量及其导数构成的用以描述系统运动状态的平面。 相轨迹：系统变量及其导数从初始时刻所对应的状态点（ ）出发，随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹。 相轨迹图：相平面 + 相轨迹簇

例: 单位反馈系统 属于绘制相轨迹图的解析法之一

根据相轨迹分析系统性能 是否收敛？ 收敛的平稳性和快速性? 超调量？ tr、tp、ts？ 稳态误差？

任一普通点有且只有一条相轨迹通过。 （∵其斜率唯一确定） 相轨迹的基本特征 考虑非线性系统方程： (1)相轨迹的斜率 斜率表示相轨迹通过该点的运动方向 (2)相轨迹的普通点 任一普通点有且只有一条相轨迹通过。 （∵其斜率唯一确定）

(3)相轨迹的奇点(平衡点) 满足 奇点一定在 x 轴上 相轨迹上斜率不确定的点 通过奇点的相轨迹可能不止一条，甚至可能有无穷 多条； 线性定常系统通常只有一个奇点（原点或 x 轴上 的其他点），而非线性系统则可能有多个奇点； 当奇点连续时就构成奇线。

有奇线的系统举例 对应奇点 奇点以外

(4) 相轨迹的运动方向 上半平面:  向右移动 下半平面:  向左移动 大致按顺时针运动 (5) 相轨迹通过横轴的方向 横轴上的普通点 相轨迹以 90°穿越 x 轴

(6) 相轨迹的对称性 注意：对称性并不一定指同一条相轨迹

二、相轨迹的绘制 1. 解析法（精确绘图法） 1.解析法 2.等倾线法 3.圆弧法 4.计算机绘制法 若该式可以分解为 两端积分 1.解析法 2.等倾线法 3.圆弧法 4.计算机绘制法 1. 解析法（精确绘图法） 若该式可以分解为 两端积分 可解出 和 的关系式，（ ， ）为初始点。

例: 考虑二阶系统 （线性系统，极点为 ） (1) 导出相轨迹方程 (2) 两边积分得 振幅不固定，不是自持振荡 对称性?

2. 等倾线法（近似绘图的通用方法） 先确定相轨迹的等倾线（等斜率线），进而绘出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场绘制相轨迹。 绘制步骤： 相轨迹的切线斜率 （1）导出等倾线方程 表示相平面上的一条曲线（等倾线），相轨迹经过该曲线上任一点时，其切线的斜率都相等。 。

说明 线性系统的等倾线通常是直线 非线性系统的等倾线则一般是曲线 简单非线性系统常可按区域划分为多个线性系统，对应区域的等倾线也是直线。 对称于纵轴，整个x轴为奇线 等倾线为直线，较特殊的情况 简单非线性系统常可按区域划分为多个线性系统，对应区域的等倾线也是直线。

（2）α取不同值时，画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示斜率为α的小线段，构成相轨迹的切线方向场 （3）从相轨迹的初始状态点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹 。 等倾线为直线的示意图 等倾线分布越密，则所作的相轨迹越准确，但绘图工作量增加。绘图过程中会产生的累积误差。

例：绘制下列二阶系统的相轨迹 （线性系统，极点为 ） 对称性? 解：等倾线方程为 奇点为（0，0）

可以证明，每一条相轨迹都是向心螺旋线，说明系统衰减振荡 所有的相轨迹都最终收敛到奇点，系统渐近稳定

例：绘制下列二阶系统的相轨迹 （线性系统，极点为-1，-2） 解： （1）导出等倾线方程 对称性? 容易求出奇点为（0，0）。

列出等倾线斜率与相轨迹切线斜率α的关系： α -1 -5 -3 ∞ 1 -2 β -0.67 -0.5 两条特殊的等倾线： 两条特殊的等倾线斜率对应系统的两个极点， 其中一条是相轨迹的渐近线（说明见后）。

说明1：两条特殊等倾线斜率对应系统的两个极点 注：复数极点时不存在这样的等倾线（ ∵ α为实数）

说明2：一条特殊等倾线为相轨迹的渐近线 思路：分析β=－1、－2周围等倾线上相轨迹斜率α的变化情况，见下页图。

特殊等倾线为相轨迹渐近线的示意图 （1） （2） （3） 斜率为-1的等倾线，其周围的相轨迹都趋向它，所以是渐进线；而斜率为-2的等倾线，其周围的相轨迹都离开它，所以不是渐进线。

所有的相轨迹都最终收敛到奇点,说明系统渐近稳定；相轨迹都趋向于特殊的等倾线，说明系统响应为非振荡衰减形式。

三、由相轨迹图求时间及时间响应 （1）积分法 因为 ，设点 的对应时间为 ，点 的对应时间为 ，则 因为 ，设点 的对应时间为 ，点 的对应时间为 ，则 将两点间的相轨迹取倒数，计算阴影区面积，即可得t 。 连续计算多个点就可得到系统的时间响应曲线 或 。

特点：基于准确的时间算式，但难以精确计算面积。

连续计算多个点就可得到系统的时间响应曲线 或 。 （2） 增量法 相轨迹A-B段的平均速度： 近似式 相轨迹A-B段所用的时间： 连续计算多个点就可得到系统的时间响应曲线 或 。 特点：基于近似的时间算式，但计算容易。

四、奇点与极限环的类型 1. 线性系统的奇点类型 例: 单位反馈系统 奇点为（0, 0），根据特征根在s平面上的分布，相轨迹有不同的形态。

极点分布与奇点的类型 极点分布 奇点 相轨迹图 极点分布 奇点 相迹图 中心点 鞍点 稳定 焦点 不稳定 焦点 稳定 节点 不稳定 节点

2. 非线性系统的奇点类型 分析思路与方法：将非线性系统在奇点处线性化，根据线性化系统特征根的分布，可确定奇点的类型，进而确定奇点附近相轨迹的运动形式。 非线性系统 在奇点 处的线性化： 忽略高次项 （按泰勒级数展开）

例：已知非线性系统的微分方程为 试求系统的奇点，并绘制系统的相平面图。 解：系统相轨迹微分方程为 令 则求得系统的两个奇点

在奇点（0，0）处 ∴线性化方程为 特征根为 ，故奇点(0, 0) 为稳定焦点。 在奇点（-2，0） 处 ∴线性化方程为 －

非线性系统的运动及其稳定性与初始条件有关。 特征根为 故奇点（-2，0）为鞍点。 运用等倾线等方法可概略绘制相轨迹图。 非线性系统的运动及其稳定性与初始条件有关。

3. 极限环及其分类 非线性系统的运动除了发散和收敛外，还有一种运动模式—自持振荡，自持振荡在相平面上表现为一个孤立的封闭轨迹线—极限环。 注：线性系统不会产生极限环，参见p32例。 以范德波尔（van der pol）方程为例，说明极限环的稳定性：

a) 稳定的极限环 b) 不稳定的极限环 极限环的3种类型 c)半稳定极限环 d)半稳定极限环

五、非线性控制系统的相平面分析 具有饱和特性的非线性反馈系统 滞环继电型非线性反馈系统

如何利用线性系统的相轨迹 绘制简单非线性系统的相轨迹？ 步骤： 将典型非线性特性用分段的线性特性来表示。 在相平面上选择合适的坐标，常用误差及其导数。 根据分段的线性特性将相平面分成若干区域，在每个区域内都呈线性特性。 确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。 在各个区域内分别画出各自的相轨迹。 最后将各分区的相轨迹进行衔接就得到整个非线性系统的相轨迹。

1. 具有饱和特性的非线性系统 （t≥0+）

相轨迹最终趋于坐标原点，系统稳定，且没有稳态误差。 Ⅰ e Ⅲ Ⅱ o b -b Ⅰ区 D A(R,0) Ⅱ区 Ⅲ区 C B 在Ⅰ区，奇点为原点，是稳定节点或焦点，相轨迹都渐进收敛或按螺旋线收敛到奇点（见前面例）。 在Ⅱ、Ⅲ区， 都没有奇点，且等倾线为一簇平行的水平线。 注1 注2 相轨迹最终趋于坐标原点，系统稳定，且没有稳态误差。 

注1：关于渐近线的说明 在Ⅲ区， 说明渐近线上下的相轨迹都趋向渐进线。Ⅱ区亦如此。 Ⅰ e Ⅲ Ⅱ o b -b 返回

初值不为零的例：Y(s)/U(s)=K/(Ts+1)，K(as+1)/(Ts+1)2 时 注2：关于 ė(0)=0 的说明 初值不为零的例：Y(s)/U(s)=K/(Ts+1)，K(as+1)/(Ts+1)2 时 规律? 返回

不同幅值参考输入时的相轨迹 超调与峰值时间? 上升时间? 幅值较大时 调节时间? 稳态误差? 幅值较小时 C A(R,0) B D Ⅰ e Ⅲ Ⅱ o b -b 上升时间? A(R,0) B Ⅰ e Ⅲ Ⅱ o b -b 幅值较小时 幅值较大时 调节时间? 稳态误差?

容易证明：设Ⅰ区渐近线斜率为-a（a>0）， 则一定有 KM < ab（见后页） Ⅰ区奇点为稳定节点的相轨迹 Ⅰ e Ⅲ Ⅱ o b -b 渐近线 A(R,0) 容易证明：设Ⅰ区渐近线斜率为-a（a>0）， 则一定有 KM < ab（见后页）

证明：一定有 KM < ab

Simulink仿真结构图

情况①的相轨迹 R=5 R=1 R=2 渐近线

情况①的时间响应曲线 R=5时的y 快速性、平稳性都与R有关 R=2时的y R=1时的y R=2时的u R=1时的u R=5时的u

情况②的相轨迹 R=0.5 R=0.7 R=1 斜率为-0.5的 渐近线 渐近线

情况②的仿真结果 R=1时的y R=0.7时的y R=0.5时的y R=1时的u R=0.7时的u R=0.5时的u

2. 具有继电特性的非线性系统 Ⅰ Ⅱ o b -b 切换线或开关线

相轨迹最终趋向极限环，而从极限环内出发的相轨迹也将趋向极限环，所以是稳定的极限环，系统产生自持振荡。 Ⅰ Ⅱ e o b -b Ⅰ区 Ⅱ区 自持振荡的直观解释？ 都没有奇点，且等倾线为一簇平行的水平线。 相轨迹最终趋向极限环，而从极限环内出发的相轨迹也将趋向极限环，所以是稳定的极限环，系统产生自持振荡。

K=T=M=b=1 时的等倾线及相轨迹图

Simulink仿真结构图

R=0 时的仿真结果 y u

R=0时的相轨迹 开关线

R=1 时的仿真结果 y u

R=1时的相轨迹 开关线

R=2 时的仿真结果 y u

R=2 时的相轨迹 开关线

三组相轨迹的比较（R=0, 1, 2） R=0 R=1 R=2 都趋向极限环

三组仿真结果的误差比较（R=0, 1, 2） e3 e2 e1 稳态时，振荡周期及振幅都相同

稳态时，振荡周期及振幅都相同（转折点对应切换点） 三组仿真结果的误差变化率比较（R=0, 1, 2） 稳态时，振荡周期及振幅都相同（转折点对应切换点）

思考：若将具有滞环的继电器改为理想继电器，相轨迹及响应性能会有什么变化？ - 思考：若将具有滞环的继电器改为理想继电器，相轨迹及响应性能会有什么变化？

实验2：非线性系统（2学时） 联系：李亚力老师 电气信息学院专业实验楼403 85466288→8216， 13330961802

练习 B10.19 (1)， (2)； B10.25 注：选取 为相平面，并设参考输入r=0 或r=1(t)。