3．1.3 导数的几何意义
学习目标 1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义． 2．会求导函数． 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
课前自主学案 3.1.3 课堂互动讲练 知能优化训练
1．物体在某一时刻的速度称为__________． 课前自主学案 温故夯基 1．物体在某一时刻的速度称为__________． 2．导数f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的____．反映了函数f(x)在______处的变化情况． 瞬时速度 导数 x＝x0
知新益能 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的_____．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是_______．相应地，切线方程为______________________． 斜率 f′(x0) y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
确定 导数
问题探究 导数与切线的关系是什么？ 提示：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线f(x)在x＝x0处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．
利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)； 课堂互动讲练 考点突破 在点P处的切线 利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
求曲线y＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程． 【思路点拨】 先按照定义求f′(x)，根据导数的几何意义可知f′(1)就是切线的斜率，再由点斜式求出曲线在点P处的切线方程． 例1
过点P的切线 求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．
例2
解决此类问题，关键是利用导数的几何意义求出过切点的切线的斜率，结合题意列方程，求出切点的坐标．求解过程应认真领会数学的转化思想及待定系数法． 求切点坐标 解决此类问题，关键是利用导数的几何意义求出过切点的切线的斜率，结合题意列方程，求出切点的坐标．求解过程应认真领会数学的转化思想及待定系数法． 已知抛物线y＝2x2＋1，求： (1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0? 例3
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴斜率为4. 即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)． 【名师点评】 解此类问题的步骤为： (1)先设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．
互动探究 本例条件不变，则抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8y－3＝0? ∴斜率为8. 即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．
方法感悟
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
知能优化训练
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