3.1 不等关系与不等式 第一课时

学习目标 1.知识与技能: 经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。 2.过程与方法: 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景 3.情感、态度和世界观：通过感受和学习不等式知识，认识到不等关系是刻画现实世界客观对象之间联系的一种绝对关系，由此培养学生的辩证唯物主义思想. 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。 难点：用不等式（组）正确表示不等关系。

同学们，你能不能再举出一些存在着不等关系的例子呢? 引例： 1、三角形三边之间的关系。 2、同班同学身高之间的关系。 3、公路上各种车辆的速度之间的关系。 同学们，你能不能再举出一些存在着不等关系的例子呢?

40 1、今天的天气预报说：明天白天的最高温度为13℃； 2、a是一个非负实数。 请同学们指出下列问题中哪两者之间存在着不等关系？ 白天的气温t与13℃之间存在不等关系 2、a是一个非负实数。 的取值与0之间存在不等关系 40 3、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h 。 汽车的速度v 与40km/h之间存在不等关系

现实生活中的这些不等关系我们常用 ＜， ＞， ≤， ≥， ≠ 这样的一些符号来表示。那么同学们，你能不能用这些符号把上述关系表示出来呢？

40 1、今天的天气预报说：明天白天的最高温度为13℃； t≤13℃ 2、a是一个非负实数。 a≥0 v≤40 的取值与0之间存在不等关系 a≥0 40 3、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h 。 汽车的速度v 与40km/h之间存在不等关系 v≤40

不等式的定义： 像这样用不等号表示不等关系的式子就叫不等式。 其中“<”或“>”连结的不等式叫严格不等式。用“≤”或“≥”连结的不等式叫非严格不等式。 小常识：“不等号”是英国数学家哈里奥特（T.Harriot）于1631年开始使用的，但当时并没有被数学界所接受，直到100多年后，才逐渐成为标准的应用符号。

感悟体验1 ： 2008年9月25日9时，我国“神舟七号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，实现了中华民族千年的又一飞天梦想，这是自1970年4月4日成功发射“东方红一号”人造卫星以来，我国航天史上又一新的里程碑，我国已成为继俄、美之后，世界上第三个掌握载人航天技术、成功发射载人飞船的国家。

近地点 远地点 a与b进行比较 8000 90 347 200 “神舟七号”（b） 173 114 2384 439 “东方红一号”（a） “东方红一号”与“神舟七号”部分参数的对比见下表，请把表格补充完整。 “东方红一号”与“神舟七号”部分参数对比表 近地点 远地点 a与b进行比较 8000 90 347 200 “神舟七号”（b） 173 114 2384 439 “东方红一号”（a） 质量m/kg 绕地球一周t/min /km

这些不等式关系，从而说明“神舟七号”飞船比“东方红一号”卫星在很多方面都有了较大的发展。 分析：观察参数对比可以发现 ， ， 这些不等式关系，从而说明“神舟七号”飞船比“东方红一号”卫星在很多方面都有了较大的发展。

设点A与平面的距离为 ，B为平面上的任意一点，你能用不等式表示 与d之间的不等关系吗？ 感悟体验2 设点A与平面的距离为 ，B为平面上的任意一点，你能用不等式表示 与d之间的不等关系吗？ 分析：

感悟体验3 生活小实验：b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再添上m克糖（m＞0），未达到饱和的情况下，糖水变甜了。你能根据这一事实提炼一个不等式吗？ 分析：

典型例题： 例1、某运输公司接受了向抗震救灾地区每天至少送180吨支援物资的任务。已知该公司有8辆载重6吨的A型卡车和4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次。列出调配车辆的数学关系式。

我们还可以借助表格使问题明朗化，表格如下: 分析：设需A型卡车x辆，B型卡车y辆，依据题意应有如下不等关系： （1）出车辆数不得超过10辆； （2）运输物资不得少于180吨； （3）每种类型的车辆数受实际条件限制。 我们还可以借助表格使问题明朗化，表格如下: A型 B型 限制 车辆数 x y 10 运输物资 24x 30y 180

答案：

说明： 1、分析好各不等关系的内在联系，是用不等式（组）表示不等关系的前提。 2、在不等关系不容易提炼的情况下，可以借助表格使问题明朗化。

感悟体验4 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？ 分析：设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根 500mm 600mm 限制条件 根数 x y y不能超过x的3倍 长度 500x 600y 4000

感悟体验5、某厂使用两种零件A、B，装配两种产品甲、乙，该厂的生产能力是月产量甲最多2500件，月产量乙最多1200件，而组装一件甲需要4个A，2个B；组装一件乙需要6个A，8个B。某个月，该厂能用的A最多有14000个，B最多有12000个。用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来。 分析：设甲、乙两种产品产量分别为x，y件，则 甲x 乙y 限制 需要A 4x 6y 14000 需要B 2x 8y 12000 2500 1200

由表格可知 即

例2、如图， 反映了某公司产品的销售收入 万元与销售量 吨的函数关系， 反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系， 试问：（1）当销售量为多少时，该公司赢利（收入大于成本）； （2）当销售量为多少时，该公司亏损（收入小于成本）？

分析：公司的赢亏问题实质是销售收入与销售成本的问题。找出销售量为多少时，该公司的销售收入与销售成本相等，依据图象容易得到。 答案： 1、当销售量大于a 吨时，即 时，公司盈利，即 2、当销售量小于a 吨时，即 时，公司亏损，即 。

说明：函数图象容易得到，特别是函数图象已经给出的时候，利用数形结合的思想可以简化解题步骤。

反映了某种杂志的销售总收入与市场价格 的函数关系，试问当市场价格为多少时，该杂志的销售总收入不低于20万元。 感悟体验6： 反映了某种杂志的销售总收入与市场价格 的函数关系，试问当市场价格为多少时，该杂志的销售总收入不低于20万元。 O a b 20 x/元 y/万元

分析：找出市场价格是多少时，该杂志的销售总收入为20万元，依据图象容易得到。 答案：当 时，该杂志的销售总收入不低于20万元。

说明：在数学意义上，不等关系主要体现在如下四个方面； 1、像“神舟七号”的质量大于“东方红一号”的质量是常量与常量之间的不等关系； 2、像汽车的速度v不超过40km/h是变量与常量之间的不等关系； 3、像产品销量 时 ， 销售收 入 大于销售成本 是变量与变量之间的不等关系； 4、像截得两种钢管的总长度不能超过4000mm是一组变量之间的不等关系。

课堂小结： 1．不等关系是普遍存在的 学习研究不等式的意义在于客观现实中存在大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。不等式中的量可以是常量也可以是变量。 2．用不等式（组）来表示不等关系 注意分析各不等关系之间的内在联系，必要时可以借助表格。

自测答案 1、 2、 3、A 4、C 分析：由已知图形知， 由此得 所以:

5、 6、 7、设桌子、椅子数分别为 ，则 8、解答本题要注意两点：一是函数的定义域；二是图象的交点。由图象知 的定义域为 ， 的定义域为 ， 当 或 时； 当 时

课后作业 ： 建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好。试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由。

3.1 不等关系与不等式 第二课时

1. 实数大小的比较 如果 a-b 是正数，则 a >b；如果 a >b，则a-b为正数；

例1．比较x2－x与x－2的大小. 解：(x2－x)－(x－2) = x2－2x +2 = (x－1)2 +1， 因为 (x－1)2≥0， … … … …作差 = (x－1)2 +1， … … … …变形 因为 (x－1)2≥0， 所以 (x－1)2+1>0， 即 (x2－x)－(x－2)>0， … … … …判断符号 因此 x2－x > x－2. … … … …确定大小 练习1：比较(a+3) (a-5) 与 (a+2) (a-4)的大小. (a+3) (a-5) < (a+2) (a-4)

2.不等式的性质： （对称性） 性质1 证明：

（传递性） 性质2 证明： 练习2： 求证：

性质3 (可加性) 证明： 练习3： 求证：

性质4 (可乘性) 证明：

性质5：如果 且 ， 那么 （相加法则） 证：

< 性质6：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd. 证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc， 又因为c>d，b>0，所以bc>bd， 根据不等式的传递性得 ac>bd。 练习4： <

性质7：如果a>b>0，则an>bn，(n∈N+，n>1). 证明：因为 个， 根据性质6，得an>bn.

性质8：如果a>b>0，则， (n∈N+，n>1). 证明：用反证法，假定 ，即 或 ， 根据性质4的推论2和根式性质，得a<b或a=b， 这都与a>b矛盾，因此

例2

思考？ 例2.已知 a > b >0, c <0, 求证 . >0. 证明：因为a > b >0, ＞ 例2.已知 a > b >0, c <0, 求证 . >0. 证明：因为a > b >0, 所以 ab >0, 于是 思考？ 即 由 c < 0 , 得 , 能否用作差法证明 ？ 即

小 结 1. 现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. 2. 用不等式或不等式组表示不等关系. 小 结 1. 现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. 2. 用不等式或不等式组表示不等关系. 3. 对比等式性质得到不等式的性质，并给予证明.