第六章 杆件基本变形下的强度与刚度设计 第一节 设计原则与设计过程 第二节 拉压杆强度设计与拉压杆伸缩量计算 第三节 连接件的强度设计 第一节 设计原则与设计过程 第二节 拉压杆强度设计与拉压杆伸缩量计算 第三节 连接件的强度设计 第四节 梁的强度设计 第五节 轴的强度设计 第六节 轴和梁的刚度设计 第七节 讨论与说明

第一节 设计原则与设计过程 一、强度设计 （一）、强度设计原则与设计过程 1、确定可能最先发生强度失效的截面——危险截面； 第一节 设计原则与设计过程 一、强度设计 （一）、强度设计原则与设计过程 1、确定可能最先发生强度失效的截面——危险截面； 2、确定危险截面上哪些点可能最先发生强度失效——危险点； 3、确定危险点的应力状态，即确定表征危险点的微元各对面上正应力与剪应力（大小和方向）； 4、根据材料性能，判断可能失效形式，从而选择相应的设计准则。 （二）、工程实际计算 1、强度校核; 2、截面设计; 3、确定许可载荷; 4、选择材料。

二、刚度设计 根据工程实际要求，对构件进行设计，以保证在确定的外载荷作用下，构件的弹性位移（最大位移或指定位置处的位移）不超过规定的数值。于是： 1、对于拉压杆，刚度设计准则为 ε为轴向线应变；[ε]为许用轴向线应变。 2、对于梁，刚度设计准则为 y和θ分别为梁的挠度和转角；[y]和[θ]分别为梁的许用挠度和许用转角。 3、对于受扭圆轴，刚度设计准则为 φ和θ分别为圆轴指定两截面的相对扭转角和单位长度相对扭转角；[φ]和[φ/l]分别为相应的许用值。

第二节 拉压杆强度设计与拉压杆伸缩量计算 一、拉压杆的强度设计 1、拉压杆横截面上的应力 内力系在横截面上均匀分布，横截面上正应力为： 第二节 拉压杆强度设计与拉压杆伸缩量计算 一、拉压杆的强度设计 1、拉压杆横截面上的应力 内力系在横截面上均匀分布，横截面上正应力为： 当杆件压缩时，上式同样适用。 σ的正负规定与轴力相同。拉应力为正，压应力为负。 2、拉压杆强度设计准则

二、拉压杆伸缩量计算 拉压杆绝对变形为： 拉压相对变形（线应变）为： R.Hooker（虎克）定律： 常数E称为材料的弹性模量，单位为GPa。EA称为拉压杆的抗拉压刚度。 公式变换 得R.Hooker（虎克）定律的另一种表示形式： 或

例6-1 结构尺寸及受力如下图所示。设AB、CD均为刚体，BC、EF为圆形截面杆钢杆。钢杆直径为d =25mm，两杆材料均为Q235钢，其许用应力[σ]=160MPa。若已知载荷 P=39kN，试校核此结构的强度。 解： 1、分析危险状态 可得 EF 杆受力最大，为危险杆。 2、计算应力、校核强度 强度足够

例6-2 上例中若杆BC、EF 的直径未知，其它条件不变。试设计两杆的直径。 解： 两杆材料相同，受力不同，故直径不同。有设计准则 得BC、EF杆的直径分别为

例6-3 在例6-1中杆BC、EF 的直径均为d=30mm，[σ]=160MPa，其它条件不变。试确定此时结构所能承受的许可载荷？ 应用设计准则 有

第三节 连接件的强度设计 一、剪切实用计算 二、挤压使用计算 当作为连接件的铆钉、、销钉、键等零件承受一对等值、反向、作用线距离很近的平行力作用时，其主要失效形式之一为沿剪切面发生剪切破坏。发生相对错动的截面称为剪切面。由于剪切面上剪应力分布比较复杂，可假定认为剪应力在剪切面上均匀分布——剪切实用计算。 其设计准则为 其中 Q 为剪切面上的剪力，由平衡条件求解；A 为剪切面面积；[τ]为材料的许用剪应力，单位 MPa。 二、挤压使用计算 在承载的情形下，连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压，因而在二者接触面的局部区域产生较大的接触应力，称为挤压应力，用符号σjy表示，单位MPa。挤压应力是垂直与接触面的正应力。其可导致接触的局部区域产生过量的塑性变形，而导致二者失效。 积压力为作用在接触面上的总的压力，用符号 Pjy 表示。 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影，用符号 Ajy 表示。 其强度设计准则

三、焊缝使用计算 四、胶粘实用计算 对于主要承受剪切的焊缝，假定沿焊缝的最小断面（即剪切面）发生破坏。假定剪应力在剪切面上均匀分布，于是有 Q为作用于单条焊缝最小断面上的剪力；δ为钢板的厚度；l 为焊缝的长度。 四、胶粘实用计算 胶粘连接，由于连接后的构件受力、接缝方向以及胶层均匀分布程度和胶层质量等各种因素的影响，胶粘连接的失效形式不可能是一种形式。 在某些情况可能发生剪切破坏，如右(a)图；在有些情况可能拉断，如右(b)图；还有些情况，既有可能拉断也有可能剪断，如右(c)图。因而也都采用假定计算。 强度设计时需同时满足

连接件的强度设计——综合实例 托架受力如下图 1、已知控制杆AB由钢制成，其强度极限σb=600MPa，安全系数nb=3.3 。求杆的直径。 2、C处的销钉由钢制成，其剪切强度极限τb=350MPa，安全系数nb=3.3 。求销钉的直径。 3、已知托架支承C处材料的挤压许用应力[σjy]=300MPa，确定支承板厚度δ 。 解： 根据平衡方程可求得 1、确定控制杆直径 根据拉压杆的强度准则

销钉受力如图（c），承受剪力，有两个剪切面。于是有 2、计算销钉直径 销钉受力如图（c），承受剪力，有两个剪切面。于是有 3、确定支承C的厚度 支承承受挤压，每个挤压面上的积压力及积压面面积分别为： ；

第四节 梁的强度设计 一、平面弯曲时梁横截面上的应力 基本概念 1、平面弯曲： 梁发生弯曲变形后，其轴线位移与外载荷共面。 2、斜弯曲： 横向力不作用于主惯性面时，梁发生的弯曲变形。 3、纯弯曲： 某段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，此段梁的变形称为纯弯曲。 4、横力弯曲： 梁的横截面上既有弯矩也有剪力的弯曲变形。 一、平面弯曲时梁横截面上的应力 （一）纯弯曲时梁横截面上的应力 梁纯弯曲变形时，纵向纤维既有伸长部分也有缩短部分，其中既没有伸长也没缩短（即伸长部分和缩短部分的分界面）称为中性层。 中性层与横截面的交线，称为中性轴。 梁的变形可以看做横截面绕中性轴发生了转动。 所以梁纯弯曲变形时，横截面上只有正应力而没有剪应力。其中正应力既有拉应力也有压应力。

横截面上弯曲正应力沿高度呈线性分部，中性轴处正应力为零，距离中性轴越远正应力越大。沿宽度上正应力大小相等。 横截面上弯曲正应力计算公式 M 为横截面上的弯矩； Iz 为横截面对中性轴的轴惯性矩 单位 mm3 或 m3   ；                     y 为所研究点到中性轴的距离。 （二）弯曲剪应力 距形截面梁弯曲剪应力 设横截面上各点处的切应力均平行于剪力或截面侧边，并沿横截面宽度均匀分布。距中性轴为y处的弯曲切应力公式 式中Q为横截面上的剪力；Iz为整个横截面对中性轴z的惯性矩；Sz为距中性轴y处横线一侧的部分截面（图y阴影部分面积）对中性轴z的静矩；b为y处横线截面的宽度。

切应力沿截面高度呈抛物线分布。最大切应力在中性轴处，其值为 常见截面形状梁的最大剪应力近似计算公式表 截面形状

二、弯曲强度计算 I 为截面对中性轴惯性矩，单位mm4 或m4 1、纯弯曲——正应力强度准则 对于塑性材料，由于其抗拉压能力相同，故只校核危险截面上应力绝对值最大即可。 I 为截面对中性轴惯性矩，单位mm4 或m4 其中 为抗弯截面模量，单位 mm3 或m 3 对于距形截面 对于圆形截面 对于圆环形截面 其中

对于脆性材料，由于许用拉应力和许用压应力不等，所以需要分别校核拉伸边和压缩边的强度。 2、横力弯曲——弯曲剪应力强度准则 当梁的跨度短，截面高（l/h)<5或壁薄时，除了正应力强度校核外，还需进行剪切强度校核。剪切强度准则为 即

三、复杂受力时梁的强度计算 1、斜弯曲 可将梁在力P的作用下分解成在 Py、Pz 作用下的两个平面弯曲的叠加。 2、拉伸（压缩）与弯曲组合变形 作用在构件对称平面内的外力与构件轴线平行而不重合，或相交而不垂直。 其强度准则为

综 合 实 例 例、发动机活塞的空心销受力如图。 综 合 实 例 例、发动机活塞的空心销受力如图。 已知：Pmax=7000N。销子各段可近视为收均布载荷。销子由钢材制成，内直径 13mm，外直径 20mm，许用应力[σ]=240MPa。 求：校核最大正应力与最大剪应力的强度。 解： 1、作销子的受力简图与剪力、弯矩图，判断危险截面； 从弯矩图可判断出最大弯矩发生在销子中间，其值为 2、计算销子的抗弯截面模量；

3、校核最大正应力强度； 最大正应力发生在最大弯矩作用截面的上、下两点，其值为 可知，销子最大弯曲正应力强度足够，安全。 4、校核最大剪应力强度。 通过剪力图可看出梁B、C截面处剪力最大，其值为 最大弯曲剪应力为 根据最大剪应力失效准则，可知 所以销子上最大弯曲剪应力强度足够，安全。

第五节 轴的强度设计 一、圆截面轴扭转时横截面上的剪应力 二、圆截面轴强度准则 圆轴扭转变形时，各横截面就像刚性圆盘一样，绕轴线旋转了一个角度。各横截面无沿轴线相对移动。 可得出圆截面轴扭转变形时，横截面上只有剪应力，无正应力。而且，剪应力一定垂直于半径，并且沿半径方向呈线性变化，形心处为零，边缘最大。 圆截面轴扭转时横截面某一点剪应力计算公式 其中 T 为横截面上的扭矩；ρ为截面上点到形心的距离；Ip为截面对形心的极惯性矩，单位 二、圆截面轴强度准则 综合考查危险截面为横截面作用剪应力最大的截面，要保证圆轴正常工作，要保证危险截面上最大剪应力不能超过材料的许用应力。即

其中 为截面对形心的极惯性矩，单位 mm4 或m4 ； 为圆轴的抗扭截面模量，单位 mm3 或m3 。 对于实心圆 对于空心圆

三、受弯曲与扭转时圆截面轴的强度准则 （一）外力分析 在力 P 的作用下使圆轴发生弯曲与扭转组合变形。 （二）内力分析 A截面为危险截面，其中弯矩和扭矩分别为 （三）应力分析 （四）强度准则 A截面上a、b点为危险点，其应力状态为简单的二向应力状态。 根据第三强度理论有 对于塑性圆截面轴，其弯曲与扭转组合变形的强度准则为

实 例 汽车传动轴AB，由45号无缝钢管制成，外径D=90mm，内径d=85mm，许用应力[τ]=60MPa，传递的最大力偶矩m=1.5kNm。 要求：（1）校核其强度；（2）若改用材料相同，扭转强度相等的实心轴，确定其直径；（3）求空心轴与实心轴的重量比值 解： （1）校核扭转强度 （2）计算实心轴直径 d1 扭转强度相同的实心轴与空心轴，当材料相同时，它们的抗扭截面模量应相等。即

由此，得实心轴的直径为 （3）两轴重量之比 当两轴的材料、长度相同时，它们的重量之比，将等于横截面面积之比。

第六节 轴和梁的刚度设计 一、圆截面轴的扭转变形刚度设计 （一）描述扭转变形刚度的基本参数 设两截面的距离为 dx 时，其扭转角为 单位长度扭转角为 两截面长度为 l 时，其扭转角为 单位：rad （二）圆截面轴扭转变形的刚度准则 最大的单位长度扭转角不得超过材料的许用单位长度扭转角[θ]，即 GIp——称为轴的抗扭刚度。

二、梁弯曲变形的刚度设计 （一）描述扭转变形刚度的基本参数 挠曲线：梁发生弯曲变形，梁的轴线由直线变为连续而光滑的平面曲线称为挠曲线。 挠度：梁横截面形心沿y轴移动的距离。 挠曲线方程：挠度随截面位置变化的函数。 转角：横截面相对原来位置转过的角度。 （二）挠曲线近似微分方程 挠曲线方程的二阶导数与弯矩、抗弯刚度的关系，即 （三）梁弯曲变形的刚度准则

第七节 讨论与说明 一、工程实例中的问题综合 二、提高构件强度的途径 关于构件的力学模型，对构件进行静力分析与设计，重要的是如何正确建立构件的力学模型。 1、分析所研究的构件在实际中所处的位置及其所起的作用；分析与之相邻的构件之间的相互作用，确定力的传递过程。 2、将作用在构件及其附件上的力向构件横截面形心或弯曲中心简化，并以构件的轴线表示构件，得到构件的受力简图或计算简图。 3、必要时，需要作某种假定简化，例如曲率不大的杆，可近似采用直杆的分析结果；斜度不大的变截面杆，可近似应用等截面杆的理论公式。 二、提高构件强度的途径 提高构件的强度是指在不增加材料的前提下，使构件承受更大的载荷而不发生强度失效。 对于强度问题，只要降低危险截面处的弯矩或剪力，或采用各种方法使危险截面得以加固，就可以达到提高强度的目的。 例如，对于梁或承受纯扭转的圆轴，强度设计主要依据为

三、提高构件刚度的途径 所以可以有两种途径提高构件的强度： 1、通过改变支承与加力点的位置，或通过辅助构件，使弯矩或扭矩的峰值尽量减小。如下图 将两端支座向中间移动，可使中间截面上的弯矩逐渐减少，但支承处截面上的弯矩却逐渐增大，但二者数值相近时，这时的支承位置比较合理。 采用次梁加载，作用在主梁上的最大弯矩可比不用次梁加载降低得很多。 2、根据截面上的应力分布特点，选择经济、合理的截面形状。 例如根据梁横截面上正应力分布，在中性轴附近的材料没有充分利用，故在不改变很截面面积的情况下，将中性轴附近的材料移至距中性轴较远处，例可将截面设计成工字型、圆管形或其它空心截面，就能达到不增加材料而使强度提高的目的。 三、提高构件刚度的途径 提高构件刚度主要是指减小梁的弹性位移。除了采用合理的截面形状以增加惯性矩外，主要是减小梁的长度，当梁的长度无法减小时，则需增加中间支座。