Electromagnetic Wave Propagation 第四章 电磁波的传播 Electromagnetic Wave Propagation

Maxwell’s equations的另一个重要成果，就是它揭示了在非稳恒情况下，电磁场变化具有波动性质。变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间中传播的电磁波。电磁波已在广播通讯、光学和其他科学技术中得到广泛应用。 本章只介绍关于电磁波传播的最基本的理论。也就是说，只研讨电磁场在电介质、导体以及在边界上的传播特性。

本章主要内容 平面电磁波 单色平面电磁波在介质界面上的反射和折射 有导体存在时电磁波的传播 电磁波在波导中的传播

Plane Electromagnetic Wave §4.1 平面电磁波 Plane Electromagnetic Wave

1、电磁场波动方程 一般情况下，电磁场的基本方程是Maxwell’s equations，即

在自由空间中（即 ），电场和磁场互相激发，电磁场的运动规律将由无源情况下的Maxwell’s equations导出。即此时有： 其中：

对（6）式两边取旋度，并将（8）式代入，即： a) 真空情形：即 对（6）式两边取旋度，并将（8）式代入，即： 说明：在上述系统中，能量超过去时1.02MeV的光子,在经过原子核附近时，可能转化了正、负电子对。显然，这时系统内正、负电荷各自增加了，反之，电子和正电子相遇变为两个光子，系统内正负电荷各自减少了，可见“电荷既不能创造，也不能消灭：来描述电荷守恒定律是不守善的。

即 同理，对（8）式两边取旋度，并将（6）式代入，即可得到： 令

则得到： 这就是众所周知的波动方程。由其解可知电磁场具有波动性，电磁场的能量可以从一点转移到另一点。即脱离电荷、电流而独立存在的自由电磁场总是以波动形式运动着。在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁波，如无线电波、

光波、X射线和 射线等）都以速度C传播，C就是最基本的物理常量之一，即光速。 b) 介质情形 当以一定角频率 作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的束缚电荷受场作用，亦以同样频率作正弦振荡，可知

对于不同频率的电磁波，介质的介电常数是不同的，即 ε和μ随频率ω而变化的现象，称为介质的色散。由于色散，对于一般非正弦变化的电场 ，关系式 不再成立，这是因为

因此在介质内不能导出 、 的一般波动方程，千万不要把（9）、（10）两式中的 ，即由真空情况就转在介质情形，这是不正确的。 2、时谐电磁波（单色电磁波） 在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以大致确定的频率作正弦振荡，因而辐射出的电磁波也以相同频率作正弦振荡。这种以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色电磁波）。 一般情况下，即使电磁波不是单色波，它也可以用Fourier频谱分析方法分解为不同频率的正弦波的叠加。

a) 时谐情形下的Maxwell’s equations 由于在一定频率条件下，有 下面，我们只讨论一定频率的电磁波。设角频率为ω，电磁场对时间的依赖总是cosωt ，其复数形式为 a) 时谐情形下的Maxwell’s equations 由于在一定频率条件下，有 把(11)式代入到一般情况下的Maxwell’s equations中去，则有：

由 得： 同理，由

同理得到： 故有： b) 亥姆霍兹（Helmholtz)方程 由时谐电磁波的Maxwell’s equations可看出：

即 (16)、(17)即为Helmholtz方程。应该看到：Helmholtz方程是一定频率下的电磁波的基本方程，

其解 代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式称为一种波模。 概括起来，在一定频率下，Maxwell’s equations可以化为以下方程：

或者 3、平面电磁波 主要求解亥姆霍兹方程。 我们知道，时谐情形下的Maxwell’s equations为所谓的Helmholtz方程，以电场为例：

以任意一个标量f 表示 中的任一分量，则有 在直角坐标系中，其解的形式为 另外，我们还知道，电荷和电流 是产生电磁场的源，如果 只在空间某一有限 区域内，在此区域外， ，因此在距离 存在的区域线度l ，即

这样，在 x>>l 的条件下， 不为零的区域对A点来说可视为一个“物理点”。即在A点附近，场的大小只与距离有关，与方向无关，BC段是很大球面上的一小部分，可视为平面，该平面上场强的大小相等，所以离电荷ρ，电流 很远处的场可视为平面场。 A C B x l

因此，波动方程的解形式 其中A代表振幅， 代表位相， 为等相面的法线矢量，且等相面是平面，其满足 这种波称为平面波。 一般情况下，考虑时间因子在内，则有

这里 故由此可得到电场和磁场的Helmholtz方程的解： 讨论： 单色平面电磁波的特性： a) 沿 方向的两个相距为 的等相面，其位相差为2π，所以波长为

即 由于 的方向为等相面的法线方向，其大小与波长相关，所以 称为波矢量，其大小称为2π距离内的波数。 b) 在单色情形下，麦克斯韦方程组中只有两个方程是独立的，即由此可看到

由此出发，可得

这表明，电磁场振动方向与传播方向互相垂直，由此可见电磁波是横波。 c) 由单色平面电磁波的解 出发，在微分过程中，注意到： 这样即可得到： 这表明，电磁场振动方向与传播方向互相垂直，由此可见电磁波是横波。

d) 这表明电场 和磁场 之间不独立,且电磁场 ，振动方向与传播方向三者互相垂直，并满足右手螺旋法则。

这表明电场 和磁场 位相相同，振幅之比为υ。 另外，还可看到： 此值 这表明电场 和磁场 位相相同，振幅之比为υ。

单色平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值如下图所示： 4、电磁波的能量和能流 a) 电磁波的能量密度 根据电磁场的能量密度 x

式子，对于单色平面电磁波，满足 则有： 又因为电磁波的振幅之比关系 ， 即得

从而得到 说明了电场能量和磁场能量相等。 b) 电磁波的能流密度 因为 ，则：

故有：

也可以看到 的关系： 注意： 由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把场强的复数表示直接代入，这是因为 这就要求计算 的瞬时值时，应把场强的实部代入，即为

实际上， 都是随时间迅速脉动的量，只需用到它们的时间平均值，即 因为

故得 同理可得： 从而得到

§4.2 单色平面电磁波在介质 界面上的反射和折射 §4.2 单色平面电磁波在介质 界面上的反射和折射 Reflection and Refraction of Monochromatic Plane Electromagnetic Wave at Interface of Medium

本节所要研讨的问题是：用Maxwell电磁理论来分析在介质的分界面上，电磁波将发生的反射和折射规律。

关于反射和折射的规律包括两个方面： （1）运动学规律: 入射角、反射角和折射角的关系； （2）动力学规律: 入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位。 运动学规律是直接从光在两种介质的分界面上的反射和折射现象的波动性质及其所满足的边界条件得出的，但不依赖于波的性质或边界条件。而动力学规律完全依赖于电磁场的特定性质以及边界条件。

1、反射和折射定律（即相位关系） Law of Reflection and Refraction ( i.e. Phase Relation) 任何波动在两个不同界面上的反射和折射现象属于边值问题，它是由波动的基本物理量在边界上的行为确定的。对电磁波而言，是由 的边值关系确定的。因此，研究电磁波反射和折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上的边值关系。

一般情况下，电磁场的边值关系为： 在介质的分界面上，通常没有自由电荷和传导电流，即

因此，介质的分界面上的Maxwell’s equations为： 但是，在一定频率的情况下，这组边界方程（边值关系）不是完全独立的。因此，在讨论定态（一定频率）电磁波时，介质界面上的边值关系只取下列两式：

也就是说， ，即切向连续性。 下面，证明边值关系式不是完全独立的这个问题。 a) 由法拉第（Faraday)电磁感应定律出发：因为

设在介质Ⅰ、Ⅱ的分界面两侧分别取两个和分界面平行且完全相同的闭合回路，如图所示： 对于单色平面电磁波，上式可改写为： 设在介质Ⅰ、Ⅱ的分界面两侧分别取两个和分界面平行且完全相同的闭合回路，如图所示： L2 L1 Ⅰ Ⅱ

对于两个回路，有 考虑到L1=L2=L，S1=S2=S，则

即 两式相减，得 如果 。故上式左边为零，则得到右边 ，即得B2n= B1n 。这就是说

与 只有一个是独立的。 b) 同理，由 出发，对于单色 平面电磁波，有 对于两个完全相同的回路，有

即 两式相减，有

如果 ，故上式左边为零。则得右边 ，即得D2n=D1n。 这也就是说： 与 只有一个是独立的。 证毕。 下面来讨论反射和折射定律。 假若所考虑的交界面为一平面，即设 x-y 平面，考虑一单色平面电磁波入射到交界面上，设在z = 0 平面的上、下方的介质不同，如图所示

，波矢量分别为 、 。由Fourier频谱分析可知，反射波和折射波与入射波一样，也 设入射波、反射波和折射波的电场强度为 ，波矢量分别为 、 。由Fourier频谱分析可知，反射波和折射波与入射波一样，也 介质2 介质1 z x

是平面波。这样就可以把入射波、反射波和折射波写为： 同时由 可得磁场矢量为

在 z=0 的平面上有一些边界条件，该平面上的一切点必须永远满足这些边界条件。这个事实意味着：在 z=0 处，所有场的空间和时间变化必须相同。因此，所有的相因子在 z=0 处必须相等，即在边界面上 E2t=E1t ，所以 要使该式成立，只有

因为x、y、t 都是独立变量，必然有 由此可见：

讨论： a) ，这说明反射波、折射波的频率与入射波的频率相同。 b) 根据 ，假若 ，则必有 。这说明反射波和折射波与入射波 在同一平面内，这个面就称为入射面（入射波矢 与分界面的法线 所组成的平面）。 c) 根据 由此得到： ，即反射角=入射角。（反射定律）

d) 根据 ，有 则 这就是折射定律，其中n21为介质2相对于介质1的 折射率，一般介质 （除铁磁质外），故 为两介质的相对折射率。

2、菲涅耳公式（即振幅关系） Fresnel’s Formula（i.e. Amplitude Relation ） 所谓菲涅耳公式就是在边值关系条件下求得的入射波、反射波和折射波的振幅关系。由于对每一个波矢 有两个独立的偏振波，所以我们只需要分别讨论电场 ⊥入射面和电场 ∥入射面两种情况就可以了。

a) 入射面 θ z x

这时电场只有y分量，并⊥入射面（纸面）指向外面，以⊙表示。因为介质1中有入射波和反射波，介质2中只有折射波，因此根据边界条件（边值关系）： ① 即 考虑到

故有 ② 联立①、②两式得

对于光波， 即有

b) ∥入射面 θ z x

这时磁场只有y分量，并⊥入射面（纸面）指向外面，以⊙表示。由边界条件，即在 z=0 的界面上有： 同理由 的关系, 把上式中的磁场换为

电场。 从而得到： 联合上述两式即得：

对于光波， 则有

综上所述，我们得到的振幅关系就是光学中的菲涅耳公式。因此，这也有力地证示了光是电磁波的理论学说，即光实际上是在一个特殊频段（波长由4000 到8000 ）的电磁波。 A A

下面，就菲涅耳公式进行讨论： 1）电磁波的偏振性 偏振系指电场矢量 在垂直于传播方向的平面内的振动状态。例如，时谐波按偏振状态可分为线偏振、圆偏振、椭圆偏振等。平面波为线偏振波，而圆偏振波和椭圆偏振波实际上是两个频率相同、振动方向互相垂直的平面波的叠加。 线偏振波的电场矢量可写为 式中 是与传播方向相垂直的振动平面内任一方向上的单位矢量。

圆偏振波的电场矢量可写为 式中 为振动平面内的一对互相正交的单位矢量。且 和 之间构成右手螺旋关系。若迎着电磁波观察，取“+”号时将观察到 矢量按逆时针旋转，称为左旋圆偏振波；取“-”号时将观察到 矢量按顺时针旋转，称为右旋圆偏振波； 椭圆偏振波中，两垂直振动的电场矢量的振幅不相同（ ）可写为

其中取“+”号与左旋波相应，取“-”号与右旋波相应。 以上都是以线矢量为基矢描述了各类偏振状态，这是常用的描述方法。但是有时也可以采用左旋单位圆矢量 及右旋单位圆矢量 为基矢（偏振基矢）来描述各类偏振状态。

2）对于水平偏振（水平极化）：即 当 时，由振幅关系式可以看到， 。这种情况只有两介质完全相同才能满足。即可由 当 时，由振幅关系式可以看到， 。这种情况只有两介质完全相同才能满足。即可由 说明两种介质完全相同。因此，除同种介质外，反射波总是存在的 3）对于垂直偏振：即 当 ，即反射波中没有电场平行入射面的部分，这时的反射波是完全的线偏振波，此时的

根据 ，令此时的 则有 故 这个角称为Brewster’s angle。 由此可见，一个任意偏振的波，总可以分为平行和垂直入射面的两个入射波。平面波以布儒斯特角入射时，反射波只有垂直入射面偏振的波，反射波和折射波传播方向互相垂直。 4）当平面波从光疏介质入射到光密介质时

（即n21>1）。根据折射定律，有 ，可知 ，光线向法线方向偏折。这时从菲涅耳公式可看出： 当 时： 实际的反射波，不管是垂直分量还是平行分量，都和入射波的相应分量反向。即反射波与入射波位相相差 ，好象差个半波长，这种现象称为半波损失。

当平面波从光密介质入射到光疏介质时， 反射波与入射波同位相，即没有半波损失。 5）由菲涅耳公式可以计算电磁波的反射系数和透射系数。 反射波平均能流与入射波平均能流在法线方向的分量之比称为反射系数，即以 R 表示之。 折射波平均能流与入射波平均能流在法线方向的分量之比称为透射系数，即以 T 表示之。

入射面：入射波的能流平均值： 反射波的能流平均值：

折射波的能流平均值： 从而得到：

同理可得： 根据能量守恒定律，容易证明：

3、全反射 （Total Reflection) 若 ， 即电磁波从 介质1入射时，折射角θ〃>入射角θ。 当 ，这时折射 波沿界面掠过，此时的入射角为 。即 此称为全反射临界角(Total Reflection Critical Angle)，即入射波以 入射时的反射为全反射，没有折射波出现。 如果再增大入射角，使得

假设在 情形下两介质中的电场形式仍然为 则根据边值关系确定的表示式 形式上仍然成立，即仍有

即由此可见，在 情形下有 因而 这表明 是一虚数，令

故折射波的传播因子为： 这里 即 从而可得折射波的电场能量为：

该式表明折射波将沿 z 方向衰减，沿 x 方向传播。因此，在全反射时，介质2中的电磁波并不为零，如果介质2的电磁波完全为零的话，那么就不满足边值关系。可见电场不仅沿着界面方向传播，而且被限制在表面附近的一个区域内，所以称全反射时的折射波为表面波。

通过对分界面内侧（即折射波）的坡印亭矢量的法向分量对时间平均值的计算，我们得到即使在介质2中有电场存在，显然也没有能量流过分界面。即： x z

其中 但是， 为一纯虚数， 故 。

能流曲线的大致走向如图所示： x z s

从而可见，在界面的法线方向上能流的频率2ω作振动，在第二种介质中 Sz 对时间平均为零，能流沿 x方向传播，即在半周内电磁能量进入第二种介质，在另半周内能量重新释放出来变成反射波能量。 在全反射情况下：

▲ 当 入射面时： 根据指数表达式

比较上式，可得 故有 该式表示在全反射时，入射波和反射波振幅相同，两者存在相位差。

▲ 当 入射面时：

比较指数表达式： 可见 故有：

▲比较 ，可见 ，并与入射角有关，如果 入射波是线编振波，但其振动方向与入射面成一定夹角，则反射波的两个分量将有一个位相差，因而是一个椭园偏振波，即一个线偏振波入射在介质界面上经过反射成了一个椭园偏振波。

Electromagnetic Wave Propagation in Conduction Medium §4.3 有导体存在时电磁波的传播 Electromagnetic Wave Propagation in Conduction Medium

本节所要研讨的问题是：导电介质中的电磁波的传播。由于导体内有自由电荷存在，在电磁波的电场作用下，自由电荷运动形成传导电流，而传导电流要产生焦耳热，使电磁波能量有损耗。由此可见，在导体内部的电磁场（波）是一种衰减波，在传播过程中，电磁能量转化为热量。

1、导体内的自由电荷的分布 设导体是均匀各向同性的，其性质由一组物质常数ε、μ、σ确定，根据焦耳定律的微分形式 和电荷守恒定律 以及电场的 Gauss 定理 ，得到：

即 解此微分方程，得 式中ρ0是t=0时的电荷密度。 由此可见，电荷密度ρ随时间指数衰减，衰 减的特征时间 为

因此，只要电磁波的频率满足 或者 （这就是良导体条件） 一般金属：τ~10-17秒，也就是说只要电磁波频率ω<<1017Hz时，金属导体可看成良导体，良导体内部没有自由电荷分布，电荷只能分布在

导体表面上。 从以上讨论我们还看到：导体中自由电荷衰减是相当快的，并且完全由导体自身性质确定，与在导体中进行何种电磁过程无关，所以在讨论电磁波在导体中的传播问题时，可以认为ρ= 0。 2、导体内的单色平面电磁波 导电介质与非导电介质的根本区别在于导电介质中有自由电荷存在。因而，只要有电磁波存在，总要引起传导电流 。因此，导体内部： 则Maxwell equ’s为：

对一定频率ω的电磁波，可令 则有

令 并称之为复介电常数。它的实部代表位移电流的贡献，不产生能量损耗，虚部代表传导电流的贡献，能产生（引起）能量损耗。则有

从形式上看，与均匀介质中的情况完全相同，且得

则有 这里也令 故有 同理可得：

即 亦即 如果令 称之为复波数。 且有 根据复数相等原则，且得

由此二式可以求得 ，但是，矢量 的方向不常一致。要想求 ，必须由边值关系来决定。 由此二式可以求得 ，但是，矢量 的方向不常一致。要想求 ，必须由边值关系来决定。 当电磁波从真空中入射到导体表面时，以 矢量表示真空中的波矢， 表示导体内的波矢,即： θ z x

根据边值关系： (a) : 真空中 为实数，其值为 而 因此

由此可得 还有 (b): 所以 即得

这样可见得 另一方面(c)： 又因为良导体条件下，可知 ，而

而 该式则为实部=0，即 即表明：

这样即有 我们知道： 故可以略去 ，从而得到

此时的折射角为 到此，我们可以确定 两矢量。 在任意入射角情况下， 垂直于分界面（只有z分量）， 亦接近法线方向（ ），也就是说，进入导体内的折射波基本上沿着垂直于

表面的法线方向传播，与入射波的方向无关。 此时的电磁场为：

3、趋肤效应和穿透深度 由于导体内电磁场具有衰减因子，因而电磁波只能透入导体表面薄层内，所以电磁波主要是在导体以外的空间或介质中传播。在导体表面上，电磁波与导体中的自由电荷相互作用，引起导体表层上的电流，这电流的存在使电磁波向空间反射，一部分电磁能量透入导体内，形成导体表面薄层内的电磁波，最后经过传导电流把这部分能量耗散为焦耳热。 如果只考虑⊥入射情况，即 ，故得到

得到 此时有

因为 代入上式即有： 该式两边加上 即有

故 根据 则此时的电磁场形式为：

式中 表示电磁波传播方向的单位单位矢量。

讨论： a) 从电磁场 形式中可看到，复数波矢量 ，实质上包含了两个部分：实部 （均匀介质中 的值），就是通常意义上的波矢量，而虚部 反映着电磁波在进入导体以后的衰减程度。造成这种衰减的原因是：一部分是由于传导电流所消耗的焦耳热，这一部分损耗将随着导体导电性能的提高而逐渐减小（因为σ越大，电阻 R 越小，Joule热损耗越小）；另一部分是由于导体中存在自由电子，引起了在导体表面上强烈的反射，这一部分则随着导体导电性能的提高

而逐渐增大, 直至理想导体情形, 电阻为零, Joule热损耗减小到零，而电磁波在导体表面上全部被反射。 b) 的物理意义 ① 当 ，这时则有 近似于均匀介质。这种情况下，说明在导电介质中，传导电流比位移电流小得多

. 即 表示导体中传导电流 与位移电流之比; ② 当 ，这时则有 这就是良导体条件。这种情况下，说明在导体中传导电流比位移电流大得多；

③ 表示导体中磁场能与电场能之比；表 示导体中损耗角的正切：（ ）。 c) 波振幅沿传播方向按指数衰减， 为衰减 常数。把波振幅降至原值的 时传播的距离称为 穿透深度，以δ表示，即

中传播速度由β决定， β称为相位常数，波长 对于铜而言 ，当 可见，对于高频电磁波，电磁场以及和它相互作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应。人们在轮船舱内或火车厢里用收音机不易收到电台的原因就在此。 d) 相速度 ，由此可见，在导体 中传播速度由β决定， β称为相位常数，波长 ，与导电率有关，所以在导体中波长 变短了。

e) 在良导体中， ，且电磁场的 关系为：

该式表明磁场相位比电场相位滞后 。将 H→I ， E→V 。 类比，说明是呈容性，可见金属内主要是储存磁能。 f ) 由于趋肤效应，理想导体中的传导电流集 中在导体表面薄层内，从而使得 。这就是我们在讨论磁场 的边界条件时出现理想导体面电流 存在的原因。 4、电磁波在导体表面上的反射和折射 既然导体对电磁波有趋肤效应，电磁波不能进入导体深处，那么电磁波必被导体表面大量反

若电磁波从真空斜射到金属表面，并设金属中的 ，则 反射。 若电磁波从真空斜射到金属表面，并设金属中的 ，则 θ z x

其中 由菲涅耳公式得到：

若电磁波从真空垂直入射到金属表面，即 故反射波和入射波的振幅之比为：

入射面： 对于良导体， ，从而由

其中 ，则有

这里

反射系数为：

由此可见： 考虑良导体条件

最后得到： 对于金属，例如铜 ，在 时， 。这表明：导体的反射系数R确实是很高的。所以用金属制造的飞机在空中飞行，难逃地面雷达的“眼睛”，道理也在这里。

5、导体内功率损耗问题 我们知道，导体内的电场为： 其中略去了 因子，可见导体内的电流密度为 导体内单位体积内的平均功耗为：

导体表面单位面积的功耗为：

定义表面电流密度：

因为 故得 由此可见：

所以 与平均功率 比较，可见 即

在高频情况下： δ x y z dS=dxdy

Electromagnetic Wave Propagation §4.4 电磁波在波导中的传播 Electromagnetic Wave Propagation in Wave Guide

前面讨论了电磁波在无界空间的传播规律。在无界空间中，电磁波最基本的存在形式为平面电磁波，其电场和磁场都作横向振荡，通常把这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM波。 本节主要讨论电磁波在有界空间—波导中的传播，在这里将要解决两个问题： 第一，波导中的电磁波怎样分布？是否存在TEM波？ 第二，频率多高或者波长多长的电磁波才能在波导中传播？

1、矩形波导中的电磁波 所谓波导(或者波导管wave guide)是利用良导体制成的中空管状传输线，是一种传播电磁能的工具（主要传输波长在厘米数量级的电磁波）。常见的有截面为矩形和圆形的，分别称为矩形波导和圆柱形波导。电磁波在波导中只能沿着管的轴线方向传播，这就使得波导中的电磁波与无界空间的电磁波在性质上有很大的差别，将会看到有界空间中传播的电磁波不是TEM波。 为了讨论问题的方便，在此只讨论矩形波导。 设矩形波导截面边长为a、b，z 轴沿波导管的轴线方向（如图所示）:

.而且在一定频率下，介电常数ε和磁导率μ既不随时间变化，也与坐标无关。因此 波导内电磁波应满足亥姆霍兹方程 a b x y z 由于波导中没有自由电荷和传导电流，即 .而且在一定频率下，介电常数ε和磁导率μ既不随时间变化，也与坐标无关。因此 波导内电磁波应满足亥姆霍兹方程

根据两种不同介质界面上的边值关系： 因为波导的内表面是我们所研究的场的边界，在这些边界上，电磁波满足界面条件。设想这些界面是理想导体，电磁波穿透深度为0，导体内电磁场

这两个条件满足后，另外两条件 自然满足。按照切向电场分量连续的关系, E1t=E2t (良导体 E1t=0，从而使得 E2t=0）。且在波导内表面处有：

即 至此，得到波导中电磁波应该满足的微分方程和边界条件：

下面具体计算波导中的电磁场分布情况： 因为波导中电磁波是沿管的轴向，即沿 z 轴方向 传播，因而电场强度为： 将此式代入亥姆霍兹方程，得到：

设u ( x , y )为电磁场的任一直角分量，它满足上式 用分离变量法解这个微分方程： 代入上述式子即有

两边同除以 X(x) Y(y) 得 要使上式成立，必须要求左边每一项等于常数，即 而且要求：

从而得到： 这就是大家熟知的振动方程，它们一般解为 这里的A、B、C、D、kx、ky都是待定常数。至此得到沿 z 轴方向传播的电磁波电场的三个分量为：

其中 要由边界条件和其它物理条件来确定。 a) 当 y = 0时，Ex= 0，即

只有D = 0，才能满足，故 这里 b) 当y=b时，Ex= 0 . 即 只有

即得到 从而得到 c) 当 x = 0时，Ey= 0，即 只要 ，才能满足， 故

这里 d) 当 x=a 时，Ey=0，即 只有 ，才能满足，故 从而得到：

e) 当 x=0时， ，即 只有 ，才能满足，即得 这里 f ) 当 y=0时， ，即

只有 ，才能满足，即得 另外，在 x=a, y=b面上，要求 ，亦可求得Ez的表达式。 至此，还有 5个常数未定。 g) 在波导中，因为无自由电荷，即 即

这样即有： 即 要使上式成立，充要条件是它们的系数分别为零（考虑分量的正交性），故有

这里，因为

从而得到： 波导中的磁场 ，也应该具有电场 的形式，即

根据 。且有

所以

故得 这就得到了矩形波导中电磁场的一般表达式。

经过以上推导发现电场Ex、Ey、Ez和磁场Hx、 Hy、Hz 中只有两个独立常数 。因为 2、横电波（TEW）和横磁波（TMW） 经过以上推导发现电场Ex、Ey、Ez和磁场Hx、 Hy、Hz 中只有两个独立常数 。因为 对于一定的（m , n) 如果 选一种波模具有Ez=0，则该波模的 就完全确定，因而另一种波模必须有 。由电场和磁场的表达式可以看出，对 的波模, .因此在波导中传播的有如下特点:电场和磁场不能同时为横波,通常选一种波模为Ez=0

（ ）的波称为横电波(TEW)。另一种波模为 的波（但 ），称为横磁波（TMW）。TEW和TMW又按（m,n)值的不同而分为TEmn波和TMmn波。一般情况下，在波导中可以存在这些波的叠加。 Hz= 0

对于TMW： 3、讨论 a) 根据 的各分量，我们看到：波导内电磁场沿传播方向不能同时为零。因为如果Ez和Hz同时为零，即Ez=0,Hz=0.使得 从而导致整个电磁场为零，所以说波导内不可能传播横电磁波。然而， 沿传播方向的分量

b) 在波导管的横截面上，场是谐变的。其分 不能同时为零，这一结论似乎与电磁波的横波性相矛盾。实际上，横波性是电磁波固有的性质。这种现象出现在波导中之所以不好理解，是因为波导的轴线方向并不是波的真正传播方向，波导中的电磁波是在管壁上多次反射中而曲折的前进，由于这种多次反射波的叠加，在垂直于波导轴线方向成为驻波，而使叠加波沿轴线方向前进。 b) 在波导管的横截面上，场是谐变的。其分 z

布情况直接取决于m和n这两个常数的值。不同的m和n的组合对应不同的场结构。我们称之为不同的波型或模式，一组（m,n）的值组成一个模式，TM波记为TMmn，TE波记为TEmn。在实际问题中，我们总是选定一个模式来传递电磁波的。 c) 由 ，可以看 到对于一定尺寸的矩形波导（即a,b选定），如果选定某一模式TEmn或TMmn（m,n也确定），则从kz式中得出：

若电磁场的振荡频率ω足够大，使得 而 是实数，根据场的表达式中因子 ，我们立即看到场沿着z方向传播，它是行波。 若电磁场的振荡频率ω足够小，以致于 则 是纯虚数，显然由因子 看到，这不再是行波，而是场随着z的增加而指数衰减，所以此时电磁场不能在该波导内以TEmn或TMmn波型传播。 我们把 ，即 称为临界状态(Critical state)，由 式子得到临界频率 称为截止频率(Cut-off frequency)为；

只有频率 的电磁波才能在波导中传播，故把 称为截止频率。 相应地，截止波长(Cut-off wavelength)为：

d) 从场的分布还可看到：对于TE波，m和n中可取一个为零，即有m=1,2,3,…；n=0,1,2,…。或m=0,1,2,…；n=1,2,3,…。对于TM波，m和n中任一个都不可为零，即m=1,2,3,…；n=1,2,3,…。因此具有最低频率的是TE10或TE01以及TM11。它们的截止频率为：

其中，对于TE10 波（又称为主波），通常对于矩形波导总是取a>b，于是 给出矩形波导中的最小截止频率。凡是频率比截止频率 小的电磁波不能在波导内传输。和 对应的波长为 这就是波导管中能够传播的最大波长。 e) 中有 ，这里的 是电磁波在自由空间中的传播速度，不是在波导中的传播速度。那么电磁波在波导中的传播速度有多大呢？ 按照相速u和群速ug的定义：

相速度反映的是位相变化状况的速度，群速度反映的是各单色波叠加后的合成振幅的最大值传播的速度。因此相速度

群速度 这根据 以上表明： u和ug由波导尺寸（a,b）、波型（m,n）、波 的频率ω及速度 决定。位相速度u≥

电磁波在自由空间传播速度υ，因而有可能大于光速C；能量传播速度ug≤υ，不能大于光速C。这符合相对论要求。

3、 谐振腔（Resonant cavity） 我们知道：波导管是用来传输电磁波。谐振腔与之不同，它是用来产生高频振荡。如图所示： z y x

根据电磁波在波导管内的传输理论方法，容易得到腔内电磁波的电场和磁场也满足亥姆霍兹方程： 以及界面上的边值关系：

与波导管理论不同的地方是腔内电磁波的电场和磁场任一直角分量是x，y，z的函数。 有关谐振腔的内容，这里不再做详细讨论。 设u ( x , y，z )为电磁场的任一直角分量，即 用分离变量法解即可求亥姆霍兹方程所满足边值关系的解。