第7章 非线性系统 7.1 非线性系统概述 7.2 描述函数法 7.3 相平面分析法

7.1.1 非线性现象的普遍性 非线性现象的普遍性 非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样，种类繁多 7.1.1 非线性现象的普遍性 非线性现象的普遍性 非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样，种类繁多 线性系统只是在特定条件下的近似描述 非本质非线性 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。

常见的非线性元件及特性 输入 输出 饱和特性 当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。

当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。 当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。 死区特性 （不灵敏区特性） 输入 输出 当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。 当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。

继电器特性 具有饱和死区的单值继电器 理想继电器 输出 输出 输出 输入 输入 输入 输出 输入 具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特性 具有滞环的继电器

间隙特性 齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙 输出 输入 齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙 间隙特性的特点是当输入量的变化方向改变时，输出两发生不变，一直到输入量的变化超过一定数值（间隙）后，输出量才跟着变化。机械传动一般都有间隙存在，齿轮传动中的齿隙是一个明显的例子。

7.1.2 非线性系统的特点 1.稳定性 对于线性系统：系统的稳定性只与系统的结构形式和参数有关，而与外作用及初始条件无关。 对于非线性系统：系统的稳定性除了与系统的结构形式和参数有关，还与外作用及初始条件有关。且其平衡点可能不止一个，某些平衡点可能是稳定的，另外一些可能是不稳定的。

2.时间响应 对于线性系统：响应的形式与输入的幅值、系统的初始状态无关。 对于非线性系统：系统 的响应形式与输入信号的 大小和初始条件有关。

3.自振 对于线性系统：可能产生自由周期运动。但其振幅和相位取决于初始状态。一旦受到扰动，振幅和相位都会改变，这种周期运动是不稳定的。 对于非线性系统：即使没有外作用，系统也可能发生一定频率和振幅的周期运动。并且，当受到扰动作用后，运动仍可能保持原来的频率和振幅。即：这种周期运动是稳定的。

4.对正弦输入信号的响应 对于线性系统：当输入是正弦信号时，系统的输出是同频率的正弦信号，仅幅值和相位不同。 对于非线性系统：当输入是正弦信号时，系统的输出是包含同频率的正弦信号，还有与输入频率成整数倍的高次谐波分量。

7.1.3 非线性控制系统的分析方法 常用的分析非线性系统的方法有两种： 描述函数法 是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的推广。方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故得到了广泛应用。

相平面法 适用于一、二阶非线性系统的分析，方法的重点是将二阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量的两个一阶微分方程。然后依据这一对方程，设法求出其在上述两变量构成的相平面中的轨线，并由此对系统的时间响应进行判别。所得结果比较精确和全面。但是对于高于二阶的系统，需要讨论变量空间中的曲面结构，从而大大增加了工程使用的困难。

7.2 描述函数法 系统开环部分可分离为： 非线性环节N(A) 、线性部分G(s) 非线性系统的频率特性法 假定： ①非线性环节和线性环节相串联； ②非线性环节的输入输出特性是中心对称的； ③系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。 正弦信号输入时，输出不含直流分量。 非线性环节用正弦函数作为输入信号，忽略输出所有高 于一次的谐波分量。 描述函数=非线性环节输出的一次谐波分量/输入的正弦函数 非线性系统的频率特性法

描述函数法 描述函数基本概念 (1) 周期函数 y(t) 的付氏级数展开

一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，因而为进行近似处理提供了可靠的物理基础。 这意味着一个非线性元件在正弦输入下，其输出也是一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的相似性，故称上述近似处理为谐波线性化。 一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，因而为进行近似处理提供了可靠的物理基础。

(2) 描述函数定义 输入： 输出基波： 描述函数N(A)的定义： 理想继电特性的描述函数：

理想继电器特性的描述函数 傅氏展开 中心对称、奇函数A0=An=0

饱和特性 死区特性 死区饱和特性

非线性增益I 非线性增益II

理想继电器特性 死区继电器特性 滞环继电器特性

间隙、滞环特性

非线性特性的描述函数的共同点 设y1、y2、y分别有N1(A)、N2(A)、N(A） 1）单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描述函数是复数： 2）如果一非线性可以看作是两个非线性的叠加、即 设y1、y2、y分别有N1(A)、N2(A)、N(A）

～ 1.非线性系统的稳定性 线性系统 (-1,j0) (尼奎斯特判据) 若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(j) 轨迹不包围G平面的(-1,j0)。 负倒描述函数（描述函数负倒特性) ～ (-1,j0)

设:系统开环的线性部分G(j)稳定 ③ G(j) 与负倒描述函数相交 闭环系统出现自持振荡(极限环振荡) ？稳定 ？不稳定 ？稳定 ？不稳定 ?!振幅（A） ?! 频率() ① G(j)不包围负倒描述函数 闭环系统稳定 ② G(j)包围负倒描述函数 闭环系统不稳定

自振分析 (定性) 穿入 不是自振点 穿出 的点 是自振点 相切于 对应半稳定 的周期运动

分析法 当微小扰动使振幅A增大到c点时， c点“(-1,j0)” 被G(j)轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A继续增大； 不返回到a。 当微小扰动使振幅A减小到d点， d点“(-1,j0)”未被G(j )轨迹包围， 系统稳定； 振幅A继续减小； a点为不稳定自振交点。

当微小扰动使振幅A增大到e点时， e点“(-1,j0)”未被G(j )轨迹包围， 系统稳定； 振幅A减小； 返回到b。 当微小扰动使振幅A减小到f点， f点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A增大； b点为稳定自振交点。

课程小结 1.描述函数的概念、定义 2.描述函数分析方法 (1)基本假设 (2)稳定性分析 (3)自振分析 ① 结构上：N(A), G(j) 串联 ② N(A)奇对称,y1(t)幅值占优 ③ G(j)低通滤波特性好 (1)基本假设 不包围 包围 相交于 则系统 稳定 不稳定 可能自振 (2)稳定性分析 穿入 穿出 相切于 不是自振点 的点 对应半稳定 的周期运动 是自振点 (3)自振分析

(4) 自振分析 (定量) 自振必要条件： 例1 分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。 解 作图分析， 系统一定自振。 由自振条件： 解 作图分析， 系统一定自振。 由自振条件： 得： 比较实/虚部：

具有饱和特性的非线性系统 负倒描述函数轨迹=实轴上（-1/k, -∞)。 A＝a时 A ∞ 时 G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡 G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交 b点:稳定自振交点 b Ab

具有死区特性的非线性系统 负倒描述函数轨迹=实轴上（-∞,-1/k)。 A＝a时 A ∞ 时 G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡 G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交 b点:不稳定自振交点

具有间隙特性的非线性系统 负倒描述函数为G平面上一条曲线。 A ∞ 时 G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡 b点:稳定自振交点 b Ab

具有理想继电器特性的非线性系统 负倒描述函数轨迹为整个负实轴 1）如只有一个交点 必为稳定的自振交点 2）如有数个交点 必有稳定的自振交点

具有滞环继电器特性的非线性系统 负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线。 1）如只有一个交点 必为稳定的自振交点 2）如有数个交点 必有稳定的自振交点 3）单边滞环宽度 h增加 负倒描述函数轨迹向下移动 自持振荡频率将低，振幅增大 h2>h1

①当K＝10时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出自持振荡的振幅和频率； ②当K为何值时，系统处于稳定边界状态。 例1：试求： ①当K＝10时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出自持振荡的振幅和频率； ②当K为何值时，系统处于稳定边界状态。 非线性饱和特性参数 a=1 、k=2

A＝a时 A ∞ 时 负倒描述函数轨迹为实轴上（-0.5，-∞)。 相交于稳定自振交点m

a/A=0.24 A=4.38 稳定自振交点m: A=4.38

临界状态下，轨迹在负实轴上的交点n K=3

例2： ①试分析系统稳定性； ②如果系统出现自持振荡，如何消除之？ K K＝20，死区继电器特性M＝3，a＝l。

G(j)轨迹与负倒描述函数有两个交点： b——稳定自振交点 A＝a=1 A ∞ G(j)轨迹与负实轴交点频率值 a——不稳定自振交点 G(j)轨迹与负倒描述函数有两个交点： b——稳定自振交点

A1＝1.11 a——不稳定自振交点 A2＝2.3 b——稳定自振交点 如要求稳定

K 1）改变G(j )——调整K

2）改变N(A):调整死区继电器特性的死区a或输出幅值M

7.3 相平面法 相平面法是一种通过图解法求解一、二阶非线性系统的方法。 一．基本概念

二.相轨迹的绘制

b.直接积分法 上式可分解为 则由 可找出 的关系

（2）图解法 介绍常用的等倾线法 等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线

三．非线性系统的相平面分析 1．线性系统的相轨迹

2．奇点和奇线 奇点：相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇点。 实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内 虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外 极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。极限环内部（或外部）的相轨迹，总是不可能穿过极限环而进入它的外部（或内部）。 （1）稳定极限环 在极限环附近，起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛于该极限环。这时，系统表现为等幅持续振荡。

（2）不稳定极限环 在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去。在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至无穷远。 （3）半稳定极限环 如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环;或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。

3.由相轨迹求时间响应

4.非线性系统相平面法分析 用相平面法分析非线性系统的一般步骤： （1）将非线性特性用分段的直线特性来表示，写出相应线段的数学表达式。 （2）首先在相平面上选择合适的坐标，一般常用误差及其导数分别为横纵坐标。然后将相平面根据非线性特性分成若干区域，使非线性特性在每个区域内都呈线性特性。 （3）确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。 （4）在各个区域内分别画出各自的相轨迹。 （5）将相邻区域的相轨迹，根据在相邻两区分界线上的点对于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来，便得到整个非线性系统的相轨迹。 （6）基于该相轨迹，全面分析二阶非线性系统的动态及稳态特性例 非线性系统方框图如图所示，