第三章 连续信号频域分析 3-1 信号的正交函数表示 3-2 周期信号傅立叶级数展开 3-3 周期信号频谱 3-4 非周期信号频域分析 第三章 连续信号频域分析 3-1 信号的正交函数表示 3-2 周期信号傅立叶级数展开 3-3 周期信号频谱 3-4 非周期信号频域分析 3-5 傅立叶变换的基本性质 3-6 周期信号的傅立叶变换 3-7 功率信号与能量信号的频谱

3-1 信号的正交函数表示 一、矢量正交概念 1、平面空间：若矢量 则称这两个矢量正交。 2、三维空间： 若矢量

3、n维空间： 若矢量 二、正交函数： 1、实变函数： 若实函数f1(t) 和f2(t)在( t1 ，t2)上满足: 则称f1(t) 和f2(t)为正交函数。

2、复变函数： n个复变函数fi(t) （i=1，…，n）在区间( t1，t2)上满足: 3、完备正交函数集： 若{f1(t) ，…， fn(t) }在区间( t1，t2)上为正交函数集，不再存在任意函数(t)与其正交。则{f1(t) ，…， fn(t) }称为完备正交函数集。

三. 用完备正交函数集表示任意信号 定理1. 若{f1(t) ，…， fn(t) }在区间( t1，t2)上 为完备正交函数集，则在 ( t1，t2)上任意函数 f(t) 可表示为: (广义傅立叶级数) 其中

定理2. 若f(t)可用完备正交函数集{ f1(t) ，…， fn(t) } 表示，则: （Parserval定理） 物理意义： 一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在 完备正交函数集中各分量能量（功率)之和。

四. 常用完备正交函数集 1、三角交函数集: ( t0，t0 +T ) 2、指数函数集: ( t0，t0 +T ) 3、抽样函数集: ( - ，  ) 4、Walsh函数集: ( 0，1 )

3-2 周期信号傅立叶级数展开 一. 三角形式傅立叶级数: 周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件时，可展成： 其中： 直流分量 余弦分量幅度 正弦分量幅度

三角函数形式 余弦形式 两种形式系数间的关系： 周期信号可分解为直流，基波和各次谐波 （基波角频率的整数倍）的线性组合。

求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。 例题： 求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。 - 解： 傅里叶级数展开式为： 直流 基波 谐波

周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件时，可展成： 二.指数形式傅立叶级数 周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件时，可展成： 其中： 系数与三角形式傅立叶级数的关系： (n>0) (n<0)

三．周期信号对称性与傅里叶级数的关系 对称于坐标原点 （1） f(t)为奇函数 奇函数展开成傅立叶级数后，直流分量和余 弦项为零，正弦项不为零。

（2） f(t)为偶函数 对称于坐标纵轴 偶函数展开成傅立叶级数后，正弦项为零， 直流分量和余弦项不为零。

（3）f(t)为奇谐函数 波形移动T/2后，与原波形横轴对称。 f(t)的傅氏级数偶次谐波为零 奇次谐波： (n为奇数)

（4）f(t)为偶谐函数 波形移动T/2后，与原波形重合。 f(t)的傅氏级数奇次谐波为零 偶次谐波： （n为偶数）

四．傅里叶级数的性质（p95) 1） 2） 3） 4） 5）

3-3 周期信号频谱 一、周期信号的频谱图 振幅频谱：描述傅氏级数振幅随频率变化的图形。 相位频谱：描述傅氏级数相位随频率变化的图形。 3-3 周期信号频谱 一、周期信号的频谱图 周期信号展开为傅氏级数时在不同频率点的振幅、相位随频率变化的图形。 振幅频谱：描述傅氏级数振幅随频率变化的图形。 相位频谱：描述傅氏级数相位随频率变化的图形。 1） 余弦形式： 单边频谱 2） 指数形式： 双边频谱

例1： 请画出信号f（t）的幅度谱和相位谱。 【解】 化成余弦形式： （单边频谱）

（双边频谱） 化成指数形式：

求图示周期信号的傅里叶级数展开式。 例2:： 【解】

例3：求图示冲激序列的付里叶级数展开式。 【解】 周期信号频谱特点： 1）离散性 :频谱由频率离散而不连续的谱线组成； 2）谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率的整数倍； 3）收敛性：谱线幅度随谐波频率的增大而衰减。

二. 周期矩形脉冲的频谱 本节以周期矩形脉冲信号为例，讨论频谱的特点。 1）频谱的结构

2.频谱特点 (2) 频谱具有离散性、谐波性和衰减性 (3) 其最大值在 n=0 处 （4） 存在使得Fn=0的频率。 (2) 频谱具有离散性、谐波性和衰减性 (3) 其最大值在 n=0 处 （4） 存在使得Fn=0的频率。 （5） 有效频谱宽度：第一个零分量频率。 占有频带 例：语音信号频率约为 300 ~ 3400Hz 音乐信号频率约为 50 ~15,000Hz 扩大器与扬声器有效带宽约为 15~20,000Hz

3. 频谱随参数的变化 （1）设f(t)中的 E不变，不变，当周期变化时，频谱如何变化？ 结论：当周期变大时 零分量频率不变：B 或Bf不变； 减小，谱线间距减小，谱线变密； 有效谱带内谐波分量增多； 谱线振幅减小，变化缓慢。

（2） 设f(t)中的 E不变，周期不变，当 变化时，频谱如何变化？ 结论：增大时： 不变，谱线间距相等； 零分量频率减小：B 或Bf变小； 有效谱带内谐波分量减少； 谱线振幅较大，减小变化急速。

讨论： （2）矩形脉冲信号的频带宽度： 或 占有带宽与脉宽成反比 对于一般信号，频带宽度定义为幅值下降为 （3）矩形脉冲频谱特点：离散性，谐波性，收敛性 离散频谱  连续频谱 周期函数  非周期函数

4、周期信号的功率 定义： 计算： 例：求图示信号f(t)的功率。 【解】

3-4 非周期信号频域分析 一. 频谱密度函数 周期信号的傅氏级数： 周期信号的频谱： （2）可写为： 令 单位频带上的频谱值 则： f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数。

（1）可写为： 令 则： 周期信号  非周期信号 离散谱  连续谱，幅度无限小 二. 傅立叶变换对 正变换： 象函数 原函数 反变换：

讨论： 1、F(j)反映单位频率上幅值与相位分布情况， 故称频谱密度函数。 2、 F(j)为复变函数 3、付氏变换存在的充分条件：

4、f(t)的分解 连续指数信号之和。 连续余弦信号之和。 l 任意信号f(t)可分解为无穷多个幅度为无穷小的

三. 典型非周期信号频谱函数 1、单边指数信号 2、单位阶跃信号

3、偶双边指数信号

4、直流信号

5、奇双边指数信号

6、符号函数信号

7、单位冲激函数 8、矩形脉冲信号

小结：

3-5 傅立叶变换的基本性质 一. 线性性质 若： 则： 例：利用线性性质求解U（t）的频谱函数

二、折叠性 三、对称性 例1： 解：

例2： 解： 例3： 解：

四、时频展缩性（尺度变换） 例： 解：

五、 时移性 则有： 例： 解： 六、频移性 则有 例1：

六、频移性 则有 例1： 解：

例2 解：

七、时域微分性 则有 八、时域积分性 则有 例1： 例2： 解：

例3 解： 注意：当已知f(t)的频谱求其微分后的频谱时可用微分性； 当已知f(t)微分后的频谱求f(t)频谱时用积分性。

九、频域微分性 则有 十、 频域积分性 则有 当f（0）=0时， 例1： 例2：

十一. 时域卷积定理 则有 十二. 频域卷积定理 则有 时域卷积定理证明： （得证） 卷积定理揭示了信号时域与频域的运算关系，在通讯、信息传输等工程领域中具有重要理论意义和应用价值。

例1 解： 例2 利用频域卷积定理求F(j)。 解：

例3 解： 1）利用微积分性质求

2）利用频域卷积定理求解 其中 3）利用傅立叶变换定义求

3）利用傅立叶变换定义求

十三、帕塞瓦尔(Parserval)定理 推广： 意义：能量守恒。即：信号时域能量等于频域能量。

例1： 解： 由Parserval定理 可得： 例2：

例2： 解： 由Parserval定理 可得：

例3： 解：

3-6 周期信号的傅立叶变换 一、基本周期信号的傅立叶变换

二、单位冲激序列信号的傅立叶变换 展为傅立叶级数： 三、任意周期信号的傅立叶变换

例： 解：方法1： 方法2：

方法2： *

例3：已知半个余弦脉冲 f(t)的傅立叶变换为 求图示周期性半个余弦脉冲信号y(t)的傅立叶变换Y(j)。 解：

3-7 功率信号与能量信号的频谱 一、功率信号与能量信号 定义：1、功率有限的信号称为功率信号，即 3-7 功率信号与能量信号的频谱 一、功率信号与能量信号 定义：1、功率有限的信号称为功率信号，即 例：周期信号、部分非周期信号U(t)、Sgn(t)等、随机信号 2、能量有限的信号称为能量信号，即 说明：1）若P<，则 W； 2）若W<，则 P=0； 3) 非功率非能量信号，如tU(t)。 例：G(t)、单个三角信号、 指数衰减信号等

功率信号的频谱密度函数，即：信号在单位频率的功率。记为D(). 二、 功率谱 ： ( 功率密度谱 ）

能量信号的频谱密度函数，即：信号在单位频率的能量。记为G(). 三、 能量谱 ： ( 能量密度谱 ）

例1： 解： 由Parserval定理：

例2： 解：

结论： （1）时域内信号平均功率等于频域平均功率； （2）时域内信号的能量等于频域的能量； （3）在信号有效频谱宽度B内，集中信号90%以上的能量。 (信号占有频宽B) （4）在信号有效持续时间内，集中信号90%以上的能量。 (信号有效持续时间) （5）信号有效频谱宽度B 与有效持续时间成反比。

本章要点： 1、周期信号频域分析： 傅立叶级数形式、性质、频谱特点 2、非周期信号频域分析： 傅立叶变换与反变换 常用信号的频谱函数

3、 傅立叶变换的基本性质 4、功率信号和能量信号及频谱的概念 线性性质 折叠性 频域微分性 对称性 频域积分性 时频展缩性 时域卷积定理 时移性 频移性 频域卷积定理 时域微分性 帕塞瓦尔定理 时域积分性 4、功率信号和能量信号及频谱的概念