§3.7函数的单调性 y x
学习目的： 1.会从几何角度直观了解函数单调性与其导数的关系，并会灵活应用。 2.通过对函数单调性的研究，加深对函数导数的理解，提高用导数解决实际问题的能力，增强数形结合的思维意识。
复习引入： 问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域的单调性 1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时， (1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数. (2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数. 2．由定义证明函数的单调性的一般步骤： (1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，且x1< x2. (2)作差f(x1)－f(x2)，并变形. (3)判断差的符号，从而得函数的单调性.
例1 讨论函数y=x2－4x＋3的单调性. 解：取x1<x2∈R， f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3） =（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4） 则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)， 那么 y=f(x)单调递减。 当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)， 那么 y=f(x)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。
函数y=x2－4x＋3的图象： y x 2
例2 讨论函数y=x+ 的单调性。 x y x 1 2 -1 1 -2 单增区间：(-∞，-1)和 （1，+∞）. 单减区间：(-1，0）和 y x 1 2 -1 -2 单增区间：(-∞，-1)和 （1，+∞）. 单减区间：(-1，0）和 （0，1）.
发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方法呢？下面我们通 过函数的y=x2－4x＋3图象来考 察一下：
. . . . . . . 观察函数y=x2－4x＋3的图象： y x 2 总结:该函数在区间 （－∞，2）上单减, 切线斜率小于0,即其 . 总结:该函数在区间 （－∞，2）上单减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发生改变. . . . . . . 2
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间 如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数. 结论应用：由以上结论可知，函数的单调性与其导数有关，即我们可以利用导数法去探讨函数的单调性。现举例说明：
例3 求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间. 解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x 令6x2-12x>0,解得x<0或x>2， 则f(x)的单增区间为（－∞，0）和 （2，＋∞）. 再令6x2-12x<0,解得0<x<2, 则f(x)的单减区间(0,2). 注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变.
总结：根据导数确定函数的单调性一般需两步： 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.
例4 求函数f(x)=xlnx的单调区间. 解：函数的定义域为x>0, f’(x)=x’lnx+x(lnx)’=lnx+1. 当lnx+1>0时，解得x>1/e.则f(x)的 单增区间是(1/e,+∞). 当lnx+1<0时，解得0<x<1/e.则f(x) 的单减区间是（0，1/e).
例5 判定函数y=ex-x+1的单调区间. 解: f’(x) =ex-1 当ex-1>0时,解得 x>0. 则函数的单增区间为(0,+∞). 当ex-1<0时,解得x<0. 即函数的单减区间为(-∞,0).
例6 讨论函数y= 的单调性. 2x - x2 2x - x2 1 - x 解:函数的定义域为(0,2). y ′= , 单增区间为(0,1). 解不等式y ′<0得:1<x<2,则函数的 单减区间为(1,2). 2x - x2 1 - x
归纳总结: 1.函数导数与单调性的关系: 若函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 2.本节课中,用导数去研究函数的 单调性是中心,能灵活应用导数解 题是目的,另外应注意数形结合在 解题中应用.
巩固提高： 布置练习 作业： 1.证明：方程x- sinx=0只有一个实根x=0. 1 2.当x>0时，证明不等式 <ln(1+x)<x 成立. 2 1 x 1+x 布置练习 作业： P134 练习1 ；2. 习题3.7---1；2. 作业：求函数y=x-2sinx(0≤x≤2π） 单调区间.