第6章 离散信号与系统的频域分析 6.1 周期信号的离散时间傅里叶级数 6.2 非周期信号的离散时间傅里叶变换 6.1 周期信号的离散时间傅里叶级数 6.2 非周期信号的离散时间傅里叶变换 6.3 周期序列的离散时间傅里叶变换 6.4 离散时间傅里叶变换的性质 6.5 离散傅里叶变换(DFT) 6.6 DFT的性质 6.7 快速傅里叶变换(FFT)简介 6.8 离散系统的频域分析

6.1 周期信号的离散时间傅里叶级数

6.1.1 离散时间傅里叶级数 一周期为T的周期信号f(t)，若满足狄里赫利条件，则有

式中， 为基波角频率。这就是连续信号的傅里叶级数。 若设其基波频率为 ，将积分区间由 移到0~T，则上式可写为

DFS的输入是一个数列，而不是时间连续函数。数列通常是以周期TN秒等间隔、周期地对连续信号采样而产生。如果在周期函数f(t)的一个周期中采集N个样点，则有T=NTN(TN为采样间隔)。这样就得到一个数据序列f(kTN)，可以简记为f(k)。数据的顺序k确定了采样时刻，而采样间隔TN隐含在f(k)中。为了计算数据序列f(k)的傅里叶级数系数，我们对式(6.1 - 4)的符号作如下的演变： 于是得到

(6.1-7)

与连续时间信号傅里叶级数的情况一样，Fn称为离散傅里叶级数的系数，也称为f(k)的频谱系数。通常Fn是一个关于n的复函数。采用与连续时间傅里叶级数中同样的方法，可以证明当f(k)是实周期信号时，其离散傅里叶级数的系数满足

6.1.2 离散时间周期信号的频谱 图 6.1-1 周期性矩形脉冲序列

应用式(6. 1 - 7)可求其傅里叶级数。不过，直接利用式(6 应用式(6.1 - 7)可求其傅里叶级数。不过，直接利用式(6.1 - 7)从0到N-1来计算并不方便，因为这个序列是对k=0对称的， 因此，宜选择一个对称区间，于是f(k)的离散时间傅里叶级数系数为

n≠0, ±N, ±2N, … (6.1-11) n=0, ±N, ±2N, …

据式(6.1 - 11)就可画出f(k)的频谱图，但此频谱图的绘制比较困难。为了更方便地绘制f(k)的频谱图，我们采用与连续时间矩形脉冲信号频谱绘制相似的方法， 先分析Fn的包络。 为此，将(6.1 - 11)式中的 用连续变量ω来代换， 即有 n≠0, ±N, ±2N, …

图 6.1-2 周期矩形脉冲序列的频谱

图 6.1-3 N=10, N1=1时矩形脉冲序列的频谱

6.2 非周期信号的离散时间傅里叶变换 6.2.1 离散时间傅里叶变换 图 6.2-1 离散时间信号

图 6.2 - 1(a)所示fN(k)为一离散时间周期信号，当其周期N趋于无穷大时，周期信号fN(k)就过渡为非周期信号f(k)。 据DFS的定义，图 6.2 -1(a)所示离散时间周期信号fN(k)的离散时间傅里叶级数表示式为

由图 6.2-1(a)可知，当 时fN(k)=0，式(6.2-3)可写为 又由于当|k|≤N1时，fN(k)=f(k)，上式又可写为

则有

6.2.2 常用信号的离散时间傅里叶变换 1. f(k)=akε(k)， |a|＜1 其幅度谱和相位谱示于图 6.2 - 2。从图中可知幅度谱、相位谱都是以2π为周期的周期函数。因而一般只要画出0~2π或-π~π的谱线即可。

2. (0<a<1) 此信号为双边指数序列，并且是k的奇函数。由式(6.2 - 11)可得

图 6.2-2 akε(k)及其频谱 (a)0<a<1;(b)-1<a<0

3. 矩形脉冲信号f(k)

图 6.2-3 矩形脉冲信号及其频谱

4. 单位脉冲序列δ(k) 图 6.2-4 单位脉冲信号δ(k)及其频谱

5. f(k)=1 由此可见， 对应的离散时间傅里叶变换为 ，因此可得，1的频谱为 ，即

图 6.2-5 序列1及其频谱

6. 正负号函数Sgn(k)

图 6.2-6 正负号序列Sgn(k)

7. 单位阶跃序列ε(k) 对照连续信号ε(t)频谱的求法， 我们将ε(k)表示为下面的形式： 由前面的讨论已经知道：

于是有

6.3 周期序列的离散时间傅里叶变换

我们已经知道，f(k)=1是一个周期信号，其对应的离散时间傅里叶变换为 图 6.3-1 所示的频谱可表示为

图 6.3-1 f(k)=e jω0k的频谱

将F(ejω)代入式(6.2 - 10)可求得 从而得到复指数序列e jω0k的离散时间傅里叶变换为 对于复指数序列 ，若设 ，则有 的离散时间傅里叶变换为

如果将n的取值范围选为n=0~N-1，

式(6.3-8)就可以改写成更为简单的形式： 离散时间周期信号f(k)的离散时间傅里叶变换F(ejω)，即有

例 6.3-1 求f(k)=cosω0k的离散时间傅里叶变换。 解 由于 同样可得

图 6.3-2 cosω0k的频谱

例 6.3-2 f(k)为图 6.1 - 1 所示的周期性矩形脉冲序列，它在 的一个周期中可表示为 求其离散时间傅里叶变换。 解 周期序列f(k)的离散时间傅里叶级数系数Fn如式(6.1-11)所示，即 n≠0, ±N, ±2N, … n=0, ±N, ±2N, …

图 6.3-3 周期矩形脉冲序列的频谱(N=10, N1=2)

6.4 离散时间傅里叶变换的性质 1. 周期性 离散时间f(k)的离散时间傅里叶变换F(ejω)对ω来说总是周期性的，其周期为2π。这是它与连续时间傅里叶变换的根本区别。

2. 线性 若 则有

3. 若 则据定义式(6.2 - 11)有 若f(k)为实序列，则f(k)=f*(k), 于是有 此式可进一步表述如下。若

4. 时移和频移 如果f(k)←→ F(ejω)，对f(k-k0)直接应用式(6.2 - 11)求离散时间傅里叶变换并通过变量代换可得时移特性 如果对F(ej(ω-ω0))应用式(6.2 - 10)求其傅里叶反变换，利用变量代换就得频移特性 例如， 应用频移性质， 显然有

5. 时域和频域的尺度变换 对于离散时间信号f(k)，由于k只能取整数，因而f(ak)中a也只能取整数，而且f(ak)的含义与f(at)根本不同。f(ak)并不表示将f(k)沿k轴压缩1/a。比如当a=2时，f(2k)表示由f(k)的偶次项组成的序列，因而f(2k)的离散时间傅里叶变换与f(k)的离散时间傅里叶变换无直接关系。为了讨论离散序列中与连续信号尺度变换类似的性质， 我们定义一个信号f(m)(k) k是m的倍数 (m为整数) k不是m的倍数

f(m)(k)序列相当于将f(k)在k轴扩展而得。 f(m)(k)的离散时间傅里叶变换F(m)(ejω)为

这样就得到离散时间傅里叶变换的尺度变换性质， 即 若f(k)←→ F(e jω), 则有 作为特例，当m=-1时， 有 尺度变换性质表明，对离散序列，当序列在时域里“拉长”， 其对应的傅里叶变换在频域里就“压缩”了。

6. 频域微分特性 若f(k) ←→ F(ejω)，即有 把上式两端对ω求微分，可得 因此，两端乘j, 就有

7. 卷积(和)特性 若f1(k)←→F1(ejω), f2(k) ←→ F2(ejω)，应用与连续时间傅里叶变换卷积特性的证明完全相似的方法，可得时域卷积特性 对于频域卷积特性，由于

所以 交换求和及积分次序， 有 上式右端为F1(ejω)与F2(ejω)的卷积。只不过由于F1(ejω)与F2(ejω)都是以2π为周期的周期函数，其卷积结果亦为以2π为周期的周期函数，因而称之为周期卷积。记为

图6.4-1 尺度变换特性

8. 差分与迭分(累和) 设f(k) ←→ F(e jω)，根据线性和时移特性可得离散序列傅里叶变换的差分性质， 即 离散序列迭分的傅里叶变换为 (6.4 - 15)

当f(k)=δ(k)时， 由于 应用式(6.4 - 15)的迭分特性， 可得

9. 巴塞瓦尔定理 与连续时间信号的情况一样，在离散序列的傅里叶变换中也有类似的巴塞瓦尔定理。 即 若f(k) ←→ F(ejω)，则有 对于周期序列，则相应有

10. 对偶性 若 则有 若非周期序列f(k)的离散时间傅里叶变换为F(ejω)， 即

F(ejω)是周期为2π的频域周期函数，其对应的F(ejt)也是以2π为周期的时域周期函数。我们将周期信号F(ejt)展开为连续时间傅里叶级数，注意到周期T=2π，基波频率 ，于是有 因此有：若f(k)←→ F(ejω)，则

例 6.4-1 已知一周期为2π的连续时间周期信号f(t)的傅里叶级数系数为 解 由题可知，Fn可看作是一个离散时间脉冲序列。其离散时间傅里叶变换如式(6.2 - 15)所示，即为 ， 因此， 依据对偶关系， 就有

如果将对偶性的讨论应用于离散时间傅里叶级数， 则可得到与连续信号傅里叶变换相对应的对偶性。 将周期序列f(k)的傅里叶级数系数表示为F(n)， 则有 如果把上式中的k与n对换， 则有 n换为-n, 则得

上式表明，离散序列F(k)的离散时间傅里叶级数系数为 。 上述结论可记为 DFS 若f(k)←→F(n)，则有 这一对偶性意味着：离散时间傅里叶级数的每一个性质都有其相应的对偶性质。这与连续时间傅里叶变换的情况一样。 比如，对于下式所示性质： 则与其对偶的性质为

6.5 离散傅里叶变换(DFT) 图 6.5-1 产生离散傅里叶变换对的图解说明

6.5.1 离散傅里叶变换的引入 假定f(k)是一个有限长序列，其长度为N，即在区间0≤k≤N-1以外，f(k)为零。将f(k)以周期为N延拓而成的周期序列记为fp(k)， 则有 (r为整数) 上式还可写为

符号((k))N表示将K域序列以周期N延拓。为了便于记述，我们定义矩形脉冲序列 GN(k)： 于是可以将周期序列fp(k)与有限长序列f(k)的关系表示为

周期序列fp(k)的离散时间傅里叶级数表示式为 如果将NFn表示成Fp(n),并令 ， 则上两式可改写为

式中，常数系数1/N置于DFS的正变换或反变换式中，对DFS变换无任何实质影响。 如果将周期序列Fp(n)在主值区间表示为F(n), 0≤n≤N-1，由于以上两式的求和范围均为0~N-1，在此区间内fp(k)=f(k)，因此，“借用”离散傅里叶级数的形式可以得到 0≤n≤N-1 (6.5 - 9) (6.5 - 10) 0≤k≤N-1 式中:

式(6.5 - 9)和式(6.5 - 10)所定义的变换关系就称为离散傅里叶变换。它表明，时域的N点有限长序列f(k)可以变换为频域的N点有限长序列F(n)。很显然，DFT与DFS之间存在以下关系： 与连续时间傅里叶变换的情况类似，DFT的正、反变换之间存在一一对应的关系。或者说，IDFT［F(n)］是惟一的。对此可作如下证明。

由于 m=k+MN (M为整数) m≠k+MN 所以，在区间0~N-1有 0≤k≤N-1 由此可见式(6.5 - 10)定义的离散傅里叶反变换是惟一的。 可记为

例 6.5-1 有限长序列f(k)=G4(k)，设变换区间N=4、8、16时，试分别求其DFT。

当N=16时 n=0,1,…,15 由此可见f(k)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。

设序列f(k)的长度为N，据式(6.2-11)可求得f(k)的离散时间傅里叶变换 0≤n≤N-1

图 6.5-2 F(n)与F(ejω)的关系

6.5.2 DFT的计算 其计算过程可写成矩阵形式，即

l均为整数 设 式中，r是kn被N除得的商数，l是余数。所以有 由于 所以有

表 6.1 按模 8 计算的kn值

6.6 DFT的性质 1. 线性 若 f1(k) ←→ F1(n), f2(k)←→ F2(n)，则 式中，a, b为任意常数。

2. 对称性 若 f (k) ←→ F(n), 则 此性质可以由ＩＤＦＴ式(6.5 - 10)互换变量k和n而证得。

3. 时移特性 有限长序列f(k)的时移序列f(k-m)，从一般意义上讲，是将序列f(k)向右移动m位。即将区间0~N-1的序列f(k)移到区间m~N+m-1。 由于DFT的求和区间是0到N-1，这就给位移序列的DFT分析带来困难。 我们这里所讨论的时间位移并不是指上述一般意义上的位移，而是指循环位移(亦称圆周位移)。所谓循环位移，实质上是先将有限长序列f(k)周期延拓构成周期序列fp(k)，然后向右移动m位得到fp(k-m)，最后取fp(k-m)之主值。这样就得到所谓的循环位移序列fp(k-m)GN(k)。一般可记为

图 6.6-1 有限长序列的循环位移

DFT分析中的时间循环位移特性告诉我们： 若f(k)←→ F(n)，则 上述结论可直接对位移序列f((k-m))NGN(k)求DFT得到。

4. 频移特性 若f(k)←→ F(n)，则 有 频移特性表明，若时间序列乘以指数项 , 则其离散傅里叶变换就向右循环位移l单位。这可看作调制信号的频谱搬移， 因而也称为调制定理。

5. 采用ＤＦＴ的IDFT 若f(k)←→ F(n)，则 有 这个性质的意义在于，利用DFT正变换的算法既可计算其正变换，又可计算其反变换，这就为DFT的计算带来了程序通用化的方便。

6. 时域循环卷积(圆卷积) 我们知道，卷积在系统分析中起着非常重要的作用。两序列f1(k)和f2(k)(长度分别为L和M)的卷积得到长度为L+M-1的另一个序列， 即 k=0，1, 2， …, L+M-2

这就是所谓的线卷积。而这里所讨论的是循环卷积，也称圆卷积。循环卷积的含义为：两长度均为N的有限长序列f1(k)和f2(k)，其循环卷积结果仍为一长度为N的序列f(k)。循环卷积的计算过程与线卷积相似，只不过求和式中的位移项f(k-m)应按循环位移处理。因而，有限长序列f1(k)与f2(k)的循环卷积可记为

图 6.6-2 线卷积与圆卷积比较

在DFT中，循环卷积(圆卷积)具有如下的性质： 若f1(k)←→ F1(n)，f2(k)←→ F2(n)，则有 对原序列应作如下处理：对长度分别为L和M的有限长序列f1(k)和f2(k)用补零的方法将其开拓成长度为N≥L+M-1的增广序列 和

于是，增广序列 与 的循环卷积就得到长度为N≥L+M-1的序列 , 与原序列线卷积的结果相同。 对于增广序列的循环卷积显然可以应用DFT处理。 图 6.6-3 应用DFT求序列f1(k)与f2(k)的线卷积

7. 频域循环卷积(频域圆卷积) 若f1(k)←→ F1(n)，f2(k)←→ F2(n)，则有 式中：

8. 奇偶虚实性 设f(k)为实序列，f(k) ←→ F(n)，令 式中，Fr(n)是F(n)的实部，Fi(n)是F(n)的虚部。由DFT的定义式 可写出 于是有

由此可见，实序列的离散傅里叶变换为复数， 其实部为偶函数， 虚部为奇函数。 若实序列f(k)为k的偶函数， 即 上面讨论的性质可用如下的表示式说明：

即，对于实数序列，其变换式的实部为n的偶函数，虚部为n的奇函数。 由此可知，F(n)与F(-n)呈共轭关系， 即 (6.6 - 17) 由于F(n)具有周期性，故F*((-n))NGN(n)=F*(N-n)，因此，式 (6.6 - 17)可写为 (6.6 - 18) 式(6.6 - 18)的共轭关系反映其模相等， 幅角(arg)反号，即

图 6.6-4 实序列DFT的|F(n)|对称分布示例

若f(k)为纯虚序列，它的DFT F(n)也可分解为实部和虚部之和， 仍以式(6 若f(k)为纯虚序列，它的DFT F(n)也可分解为实部和虚部之和， 仍以式(6.6 - 11)表示。容易证明，Fr(n)是n的奇函数， 而Fi(n)是n的偶函数。即纯虚序列的离散傅里叶变换为复数， 其实部为奇函数, 虚部为偶函数。同样可证，虚偶函数的DFT是虚偶函数，而虚奇函数的DFT为实奇函数。因此, 对于纯虚序列有

9. 巴塞瓦尔定理 若f (k)←→ F (n)，则有 如果f(k)为实序列，则有 巴塞瓦尔定理表明，在一个频域带限之内， 功率谱之和与信号的能量成比例。

6.7 快速傅里叶变换(FFT)简介

6.7.1 DFT矩阵WE及其因子化 当N=8，kn值以模8运算，据定义式有：

显然，这样的方程式用矩阵表示更为简明方便。一般情况下， 我们可将DFT的定义式写成矩阵的形式: 它们都是列矩阵。WE称为DFT矩阵 .

它们都是列矩阵，WE称为DFT矩阵，当N=8时

在分析一个系统时，. 往往是确定的，因而WE矩阵的关键是矩阵中 在分析一个系统时， 往往是确定的，因而WE矩阵的关键是矩阵中 的指数排列次序。为此，我们将WE矩阵中各元素 的指数单独组成矩阵E，使问题更加简单明了。当N=8时

同理，IDFT也可写成矩阵形式。 设N=22=4，则有 n=0, 1, 2, 3 式中，

令n的排序为0， 2， 1， 3， 则可写出其矩阵表示式为 可见，在n按0, 2, 1, 3排序情况下，DFT矩阵为

每个子矩阵可以写成下面的形式：

矩阵WE可以写为

若令 则 稀疏矩阵

6.7.2 基2FFT概述 对于N=22=4，据DFT定义式(6.7 - 1)有

利用DFT矩阵因子化的结论式(6.7 - 10)，可将上式写成

列矩阵F1(k)：

利用中间矢量F1(k)就可进一步完成式(6.7-12)的计算：

直接算法的计算时间对FFT算法的计算时间之比有下列近似的关系： 图 6.7-1 N=22的FFT信号流程图

例如，对于结点F1(2)有 表 6.2 自然顺序与二进制逆序(N=8)

6.8 离散系统的频域分析 6.8.1 基本信号ejωk激励下的零状态响应 对一任意的周期离散信号f(k)，利用离散傅里叶级数可以将其表示为指数信号  的线性组合，即 式中：

同样，利用离散时间傅里叶变换可以将任一非周期离散信号f(k)表示为指数信号ejωk的线性组合，即 式中： 因此，与连续信号的情况一样，我们将指数信号ejωk称为基本信号。指数信号 实质上与基本信号ejωk一样，它只不过是当 时的特例。

设稳定离散LTI系统的单位响应为h(k)，则据上一章的讨论可知， 系统对基本序列e jωk的零状态响应为 式中的求和项正好是h(k)的离散时间傅里叶变换，记为H(ejω)，即 称H(ejω)为传输函数或频率响应。

一个稳定的离散LTI系统，对ejωk这一基本信号的零状态响应是基本信号ejωk本身乘上一个与时间序数k无关的常系数H(ejω)， 而H(ejω)为系统单位响应h(k)的离散时间傅里叶变换。H(ejω)一般是ω的连续函数， 而且是复函数， 即 称为系统的幅频响应或幅度响应，φ(ω)称为系统的相频响应或相位响应。 设输入周期正弦序列为

应用欧拉公式，可将f(k)写成 f(k)通过一个频响函数为H(ejω)的离散LTI系统的稳态响应可表示为 (6.8 - 10) 式中：

由于|H(ejω)|为ω的偶函数，而φ(ω)为ω的奇函数，因而式(6.8 - 10)可写为

例 6.8-1 已知描述一离散LTI系统的差分方程为 若输入正弦序列 求该系统的稳态响应ys(k)。 解

则有 由输入正弦序列的表达式可知，其ω=π/2，所以有 则该离散系统的稳态响应为

若输入正弦序列改 , 即ω改为π，则据 从而其输出的稳态响应为

6.8.2 一般信号f(k)激励下的零状态响应 该系统的零状态响应yf(k)为 应用离散时间傅里叶变换的有关性质，上式在频域中可以表示为

对一个离散LTI系统而言，其输出y(k)与输入f(k)间的N阶线性常系数差分方程一般具有如下形式： 式中，ai和bi都是常数。若系统是稳定的，对上式两端求离散时间傅里叶变换，并应用离散时间傅里叶变换的时移性质， 可以得到 从而得到该系统的频率响应

例 6.8-2 描述一稳定离散LTI系统的差分方程为 解

若给该系统施加信号f(k)=(0.5)kε(k)，则该系统的零状态响应yf(k)据式(6.8-13)即可求得。 由于 则有 同理，将Y(ejω)展开成部分分式有

利用式(6.2 - 13)的变换对， 可得零状态响应 若f(k)是一个有限长序列，系统的h(k)也是一个有限长序列，则在满足由循环卷积求线卷积的条件下，它们的DFT满足 此时，由DFT利用FFT算法可以求得系统的响应y(k)。