水静力学的任务：是研究液体的平衡规律及其实 液体的平衡状态有两种：一种是静止状态； 第一章 水静力学 水静力学的任务：是研究液体的平衡规律及其实 际应用。 液体的平衡状态有两种：一种是静止状态； 另一种是相对平衡状态。 静止状态：液体相对地球没有运动，处于静止状态。 相对平衡：所研究的整个液体相对于地球在运动，但液体相对于容器或液体质点之间没有相对运动。例如，等速直线行驶或等加速直线行驶小车中所盛的液体，等角速度旋转容器中所盛的液体。
学完本章，你应该掌握： 1、静水压强的特性、等压面的概念与性质。 2、静水压强基本公式的意义及其计算方法。 3、静水压强的单位和三种表示方法； 绝对压强、相对压强和真空度； 位置水头、压强水头和测管水头意义 4、压强的量测方法和差压计的计算。 5、作用在平面上的静水总压力的计算：静水压强分布图法和解析法。 6、曲面上静水总压力的计算：压力体的绘制以及曲面上静水总压力的计算方法。 掌握本章，需要您完成一定数量的习题！
1－1 静水压强及其特性 一、静水压力与静水压强 如图所示：
静水压强： 作用在与之接触的表面上的水压力称为静水压 力，常以字母Fp表示。 静水压力：静止（或处于相对平衡状态）液体 作用在与之接触的表面上的水压力称为静水压 力，常以字母Fp表示。 静水压强： 取微小面积 ，令作用于 的静水压力为 ，则 面上单位面积所受的平均静水压力为 静水压强 静水压力Fp的单位：牛顿（N）； 静水压强p的单位：牛顿／米2（N／m2）， 又称为“帕斯卡”（Pa）。
二、静水压强的特性 静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面。 证明过程如下： 图 静水压强方向示意 Ⅰ Ⅱ dPn dPτ dP α
2．任一点静水压强的大小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。 (a) (b)
1-2 液体的平衡微分方程式及其积分 一、 液体平衡微分方程 液体的平衡方程: 液体处于平衡状态时，作用于液体上的各种力及其坐标间的微分关系 。
x x0 x0+δ x0-δ O 高等数学知识：
设想在平衡液体中取出一块平行六面微元体 （任何其他的形状都是可以的，但六面体最方便） 设形心点坐标为 A=A(x,y,z) ，边长为dx,dy,dz 该六面体在所有质量力和表面力的作用平衡
设形心点坐标为 A=A(x,y,z) ，边长为dx,dy,dz O A dy dx dz z 表面力 设形心点坐标为 A=A(x,y,z) ，边长为dx,dy,dz 右侧面 左侧面 面积 压强 侧面中心点
以 除上式，并化简，得到液体平衡微分方程形式1
瑞士学者（Euler）1775年首先提出的 液体平衡微分方程形式1——微分形式 物理意义 静水压强沿某个方向的变化率 与该方向单位体积上的质量力相等 欧拉平衡微分方程式
上式是否有解析解？在什么情况下才有解析解？这就需要对质量力的性质进行讨论。 液体平衡微分方程形式2——积分形式 +) × dx × dy × dz 上式是否有解析解？在什么情况下才有解析解？这就需要对质量力的性质进行讨论。
将欧拉方程前两式分别对y和x取偏导数，由混合偏导数相等可得： 由式可见， 二、 质量力性质 1.2 液体的平衡微分方程及其积分 将欧拉方程前两式分别对y和x取偏导数，由混合偏导数相等可得：
力势函数的全微分应等于单位质量力在空间移动距离所作的功： 同理可得 满足上式必然 存在力势函数 有 力势函数的全微分应等于单位质量力在空间移动距离所作的功： 上式表明：作用在液体上的质量力必是有势力液体才能保持平衡 故有
有势力所做的功与路径无关， 而只与起点和终点的坐标有关。 重力、惯性力都属于有势力。
二、积分方程 对 进行积分可得 或者 式中， 为自由液面上的压强和力势函数。
如果已知平衡液体边界上（或液体内）某点的压强为 、力势函数为U0，则 积分常数 C＝ 得 结论：平衡液体中，边界上的压强将等值地传递到液体内的一切点上；即当 增大或减小时，液体内任意点的压强也相应地增大或减小同样数值。 这就是物理学中著名的巴斯加原理。
1－3 等压面 等压面：静水压强值相等的点连接成的面（可 能是平面也可能是曲面）。 2．等压面与质量力正交。 等压面性质： 1－3 等压面 等压面：静水压强值相等的点连接成的面（可 能是平面也可能是曲面）。 等压面性质： 1．在平衡液体中等压面即是等势面。 2．等压面与质量力正交。
等压面性质证明： 性质1： 平衡液体中，等压面就是等势面 对于不可压缩液体，ρ为常数， 故在等压面上 p = constant ， 即 dU =0 , U = constant 等压面性质证明：
性质2．等压面与质量力正交 证 明： 有一质点M 质量为dm，在质量力作用下 图 等压面和质量力正交 有一质点M 质量为dm，在质量力作用下 沿等压面移动一个微分距离ds = (dxi+ dyj+ dzk) 证 明： y x z O F ds M θ
则质量力所作的功为 在等压面上有 ，则 也即等压面和质量力正交。 图 等压面和质量力正交 y x z O F ds M θ
1－4 重力作用下静水压强的基本公式 实际工程中，作用于平衡液体上的质量力常常只有重力，即所谓静止液体。
由液体平衡微分方程，则 积分上式，则 重力作用下静水压强计算公式（1） 重力作用下 式中，C为积分常数，可由边界上压强条件确定。
式中， h 为m点在液面下的淹没深度。 自由液面条件：
重力作用下静水压强基本公式（2） 由重力作用下静水压强的计算公式: 式中，C 为常数，对于具体的问题是一个唯一的常数。
①静止液体内部各点的测压管水头维持同一常数； 该公式表示的物理意义是： ①静止液体内部各点的测压管水头维持同一常数； ②静止液体内部各点的势能守恒，位能与压能之间相互转化。
1－6 绝对压强与相对压强 以 表示绝对压强，p表示相对压强， 则表示当地的大气压强。则有 1－6 绝对压强与相对压强 一、 绝对压强 设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强，称为绝对压强。总是正的。 二、 相对压强 把当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。可正可负。 以 表示绝对压强，p表示相对压强， 则表示当地的大气压强。则有
大气压强：是地面以上高达二百多公里的大气层在单位面积上造成的压力. 标准大气压：大气在北纬45°、温度为15℃,海平面上所产生的压强。 我国法定计量单位中，把98223.4 Pa称为一个标准大气压。 当地大气压：具体位置（经度、纬度、高度）条件下的大气压强，用pa表示。
绝对压强总是正值，相对压强可能为正也可能为负。 三、真空及真空度 绝对压强总是正值，相对压强可能为正也可能为负。 相对压强为负值时，则称该点存在真空。 真空度是指该点绝对压强小于当地大气压强的数值。
p ≤0，该点存在真空。 绝对压强计算基准面 相对压强计算基准面 pN p’N pa pK p’C p’ p N C
真空度： 1标准大气压 ＝ 1 （atm） = 98223.4 (N/m2) = 10.023 (mH2O) 1工程大气压 ＝ 1 （ate） = 133280×0.736 = 98094 (N/m2) ≈10 (mH2O) 计算中取 1 （atm）＝ 10 (mH2O) ＝ 98000 (N/m2) ＝ 98 (kN/m2)
P0》0
P0《0
1－7 压强的测量 一、压强量测方法： 量测压强的仪器有多种，从测压原理上来分，常见的有以下三种。 1－7 压强的测量 一、压强量测方法： 量测压强的仪器有多种，从测压原理上来分，常见的有以下三种。 (一） 液柱式测压计：利用压强可用液柱高度表示的原理来测定液体或气体中某点的压强。该方法是一种基本的压强量测方法。 （二） 金属测压计：金属测压计常见的有压力表和真空表。它是利用金属材料受压变形的大小来测定压强。 （三） 非电量电测仪表 非电量电测仪表是利用传感器将压强这一非电学量转化为各种电学量，如电压和电流，用电学仪表量出这些量，再经过相应的换算求出压强。这需要较多的设备，仪器的率定也比较复杂，但量测精度高，适用于研究复杂的问题。
重点介绍一些利用水静力学原理设计的液体测压计。 一、测压管 若欲测容器中 A 点的液体压强，可在容器上设置一开口细管。则A、B 点位于同一等压面，两点压强相等。 式中h称为测压管高度或压强高度。 一、测压管 若欲测容器中 A 点的液体压强，可在容器上设置一开口细管。则A、B 点位于同一等压面，两点压强相等。 式中h称为测压管高度或压强高度。
当A点压强较小时： 1.增大测压管标尺读数， 提高测量精度。 2.在测压管中放入轻质 液体（如油）。 3.把测压管倾斜放置（见图）。 A点的相对压强为 当A点压强较小时： 1.增大测压管标尺读数， 提高测量精度。 2.在测压管中放入轻质 液体（如油）。 3.把测压管倾斜放置（见图）。 A点的相对压强为 当A点压强较小时： 1.增大测压管标尺读数， 提高测量精度。 2.在测压管中放入轻质 液体（如油）。 3.把测压管倾斜放置（见图）。 A点的相对压强为
二、U形水银测压计 当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以改用U形水银测压计。
对测压计右支 对测压计左支 A点的绝对压强 A点的相对压强 式中， 与 分别为水和水银的密度。 在U形管内，水银面N-N为等压面，因而1点和2点压强相等。 对测压计右支 对测压计左支 A点的绝对压强 A点的相对压强 式中， 与 分别为水和水银的密度。
三、差压计 差压计是直接测量两点压强差的装置。若左、右两容器内各盛一种介质，其密度分别为 和 。 因c-c面是等压面，于是
1-8 压强的液柱表示法，水头与单位势能 一、压强的表示法 1. 以单位面积上的压力数值即千帕 （KPa）来表示。 2. 用液柱高表示。 1-8 压强的液柱表示法，水头与单位势能 一、压强的表示法 压强大小的表示方法： 1. 以单位面积上的压力数值即千帕 （KPa）来表示。 2. 用液柱高表示。 3.用大气压强的倍数表示。 98kPa =1个工程大气压 ＝10m水柱 ＝736mm水银柱
压强度量单位的换算关系 pa 压强度量方法 单位名称 单位符号 单位换算关系 应力单位法 帕 1pa=1N/m2 液柱高度法 米水柱 mH2O 1mH2O=9.8103pa 毫米汞柱 mmHg 1mmHg=13.6mmH2O=133.3pa 工程大气压法 工程大气压 at 1at=10mH2O=736mmHg=9.8104pa 压强度量单位的换算关系
二、水头和单位势能 z：位置水头，静止液体内任意点在参考坐标平面 以上的几何高度。 ：压强水头，是该点的压强高度。 ： 测压管水头。 在静水压强的基本方程式 中： z：位置水头，静止液体内任意点在参考坐标平面 以上的几何高度。 ：压强水头，是该点的压强高度。 ： 测压管水头。 静止液体中的能量守恒定律： 代表了单位重量液体所具有的位能。 代表了单位重量液体所具有的压能。
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静水压强分布图是指某一受压面上压强随水深的变化关系图，是压强分布规律的图示，它实质上反映的是水力荷载集度 水工建筑物常常都与水体直接接触，计算某一受压面上的静水压力是经常遇到的实际问题。工程实际中常见的受压面有：闸门、挡水坝、闸墩、渡槽、储气罐、锅炉、蓄水池等。 一、作用于矩形平面上的静水总压力的求解 （ 一）压力图法： 1．静水压强分布图的绘制： 1-9 作用于平面上的静水总压力 静水压强分布图是指某一受压面上压强随水深的变化关系图，是压强分布规律的图示，它实质上反映的是水力荷载集度
由于建筑物四周都处于大气包围之中，各个方向上的大气压强是互相抵消的，因此，在绘制压强分布图时，仅需绘出相对压强分布图即可。 绘制静水压强分布图的理论依据：①静水压强的两个基本特性；②静水压强基本公式。 静水压强分布图的绘制原则： (1)按一定比例，用线段长度代表该点静水压强的 大小；(2)用箭头表示静水压强的方向，并与作用面垂直。 由于建筑物四周都处于大气包围之中，各个方向上的大气压强是互相抵消的，因此，在绘制压强分布图时，仅需绘出相对压强分布图即可。
(a) (b) (c)
这是一些静水压强分布图实例
作用点：Fp的作用点位于纵向对称轴O-O上，同时还应通过压强分布图的形心点Q。 2．静水总压力的计算： 平面上静水总压力的大小等于压强分布图形的面积与受压面宽度的乘积。 Ω为压强分布图形的面积， b 为受压面宽度； 方向：垂直指向受压面。 作用点：Fp的作用点位于纵向对称轴O-O上，同时还应通过压强分布图的形心点Q。
作用点：1、当压强为三角形分布时，压力中心D离底部 距离为 ；
2、当压强为梯形分布时，压力中心离底的距离 。
二、作用于任意平面上的静水总压力 受压面为任意形状， 静水总压力的计算较为复杂。取一任意形状平面EF，倾斜置放于水中，与水平面的夹角a，平面面积为A，平面形心点在C。
作用在围绕点M的微分面积dA的静水压力 整个平面EF上的静水总压力为： 而 为平面F形心点C在液面下的淹没深度， 为形心点C的静水压强 。 1．总压力的大小 作用在围绕点M的微分面积dA的静水压力 整个平面EF上的静水总压力为： 而 为平面F形心点C在液面下的淹没深度， 为形心点C的静水压强 。
设总压力作用点的位置在D，它在坐标系中的坐标值为（ ）。 2．静水总压力的作用点 设总压力作用点的位置在D，它在坐标系中的坐标值为（ ）。 令 则有 于是有
化 简 可见，LD > LC 即，总压力的作用点在形心之下 （平面水平放置时重合） 上式控制总压力作用点深度位置。
再将静水压力对OL轴取矩： 令 可得 上式用于确定总压力作用点的左右位置。一般情况下，若平面有一个沿水深方向的纵向对称轴，则bD=0。 只要求出LD及bD，则压力中心D的位置即可确定。
两个公式可确定总压力作用点位置。
1-10 作用于曲面上的静水总压力 在水利工程上常遇到受压面为曲面的情况，如拱坝坝面、弧形闸墩或边墩、弧形闸门等等。
研究思路： 由于曲面上各点静水压强方向不同， 只能将将曲面上静水总压力分解为 水平分力和垂直分力， 最后再将两个分力合成为总压力。
作用于曲面上任意点的相对的静水压强，其大小仍等于该点的淹没深度乘以液体的单位体积的重量，其方向也是垂直指向作用面的．这里着重分析二向曲面的静水总压力计算如图：
一、曲面静水总压力的水平分力 曲面静水压力水平分力求解示意 dPx dPz y dP x O z F E α h dAx dAz dA
hC F E Ax x y O z 曲面静水压力水平分力求解示意
静水总压力水平分力 式中， Ax 为曲面在铅垂面yoz上的投影面积（平面） hc 为其投影面形心点处的水深（淹没深度） 上式表明作用在曲面上静水总压力 的水平分分力的大小等于曲面在有水的 一侧投影面上的静水总压力。投影面为平面，故可按平面静水总压力的计算方法求其水平分力。方向：垂直指向投影面，作用线应通过投影面的压力中心。 作用点：Px 通过Ax平面的压力中心
二、曲面静水总压力的垂直分力 α x y o z F E 曲面静水压力水平分力求解示意 底部 顶部 侧部
式中，V 为压力体。 上式表明：作用于曲面上静水总压力 P的铅垂分力Pz 等于压力体内的水体重量 Pz的作用线通过压力体的体积形心
实压力体（有水），方向铅垂向下；虚压力体（无水），方向铅垂向上。 静水总压力的垂直分力： V：称为压力体。作用于曲面上静水总压力的垂直分力大小等于压力体内的液体体重。 垂直分力的作用线，应通过压力体的体积形心。 垂直分力的方向：与压力体的虚实有关。 实压力体（有水），方向铅垂向下；虚压力体（无水），方向铅垂向上。
三、曲面静水总压力的合力 大小： 方向： 作用点： 从Pz作用线和Px 作用线交点K 沿 P 方向的延长线交于曲面与D ， 即为总压力的作用点。
液面或液面延长面（液面上相对压强为零！！) 四、压力体（体积）的构成 底： 曲面本身。 顶 ： 液面或液面延长面（液面上相对压强为零！！) 侧部: 曲面边沿各点向液面或液面延长面作铅垂投影线围成。 铅垂分力的方向: 由受力分解法确定，或根据有水、无水判定。 复杂曲面: 采用分段处理。
B C D A C D A B
C D A B C D A B
C D A B A B C D
A B C D