3．3 导数在研究函数中的应用 3．3.1 函数的单调性与导数
学习目标 1.了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．
课前自主学案 3.3.1 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案 温故夯基 [1，＋∞) (－∞，1] cosx 增 >
知新益能 般地，在某个区间(a，b)内，函数的单调性与导数有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)＞0 单调_______ f′(x)＜0 f′(x)＝0 常数函数 增函数 减函数
问题探究 在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？ 提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说“f′(x)＞0”是“y＝f(x)在某个区间上递增”的充分不必要条件．
(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行． 课堂互动讲练 考点突破 判断函数的单调性 关于函数单调性的证明问题： (1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行． (2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.
证明：函数y＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数． 【思路点拨】 证明函数f(x)在某区间上是递增的,只需证明f′(x)≥0. 例1
互动探究 把本例中lnx改为ex，其他条件不变，判断函数的单调性． 解：f(x)＝ex＋x，显然定义域为R. 由f′(x)＝(ex＋x)′＝ex＋1，且当x∈R时， f′(x)>1>0. 故函数在其定义域内是单调递增函数．
求函数的单调区间 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间． 【思路点拨】 解答本题可先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f′(x)＞0，f′(x)＜0,并与定义域求交集，从而得到相应的单调区间． 例2
已知函数单调性求参数范围 由函数的单调性求参数的取值范围，这类问题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减)，等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围．
【思路点拨】 先求出导函数，再令f′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立，利用分离参数法求得a的范围．注意验证a取等号结论是否仍成立． 例3 【思路点拨】 先求出导函数，再令f′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立，利用分离参数法求得a的范围．注意验证a取等号结论是否仍成立．
方法感悟 利用导数研究函数单调性时应注意的问题 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间． (2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点． (3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．
(4)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件． (5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常函数．如f(x)＝3，则f′(x)＝3′＝0. (6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律上的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．
知能优化训练
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