数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第 8 章 常微分方程 实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些 性质。但是，只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是 没有解析解的。 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛 的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解。 本章讨论常微分方程的数值解法

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 对于一个常微分方程： 通常会有无穷个解。如： 因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出，如下面的初值问题： 为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在 f 上，要求 f 对 y 满足 Lipschitz 条件：

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法对函数进行运算。 因此，常微分方程的数值解并不是求函数的近似，而是求解函数在某些节 点的近似值。 例：我们对区间做等距分割： 设解函数在节点的近似为 由数值微分公式，我们有 ，则： 向前差商公式 可以看到，给出初值，就可以用上式求出所有的

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 基本步骤如下： ③ 解差分方程，求出格点函数 ① 对区间作分割： 求 在 上的近似值 。称为分割 上的格点函数 ② 由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足： A 、解存在唯一； B 、稳定，收敛； C 、相容 数值方法，主要研究步骤②，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性质。 这种方法 ，称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上，求未知函数 y 在这些 点上的值的近似。 我们的目的，就是求这个格点函数

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论： ① 步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题得真解；即收敛性问题 ② 误差估计 ③ 产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会无限制扩大；稳定性问题

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 8.1 Euler 公式 做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方程。 1 、向前差商公式 所以，可以构造差分方程 称为局部截断误差。 显然，这个误差在逐 步计算过程中会传播， 积累。因此还要估计 这种积累

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定义 在假设 y i = y(x i ) ，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑 的截断误差 R i = y(x i+1 )  y i+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */ 。 定义 若某算法的局部截断误差为 O(h p+1 ) ，则称该算法有 p 阶精度。 记为 2 、收敛性 考察局部误差的传播和积累

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数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 称为整体截断误差 是 1 阶方法

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 3 、稳定性－误差在以后各步的计算中不会无限制扩大。是格式对舍入误差的抑止作用 我们考虑一种简单情况，即仅初值有误差，而其他计算步骤无误差。 设是初值有误差后的计算值，则 所以，我们有： 可以看出，向前差商公式关于初值是稳定的。当初始误差充分小，以后各步的误差 也充分小

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 4 、向后差商公式 是隐格式，要迭代求解 可以由向前差商公式求出

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 5 、中心差商公式 是多步， 2 阶格式，该格式不稳定 6 、梯形法－基于数值积分的公式 对微分方程 做积分，则：

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 类似，可以算出其误差估计式： 2 阶的方法 所以，有格式为： 是个隐式的方法，要用迭代法求解 局部截断误差

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 8.2 Runge － Kutta 法 由 Taylor 展开 记为 所以，可以构造格式 这种格式使用到了各阶偏导数，使用不便。

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 从另一个角度看， 取 (x,y) 及其附近的点做线性组合，表示 F ，问题就好办了。当然，要求此时的展开精 度相同。这种方法称为 Runge － Kutta 法

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 在 (x,y) 处展开， 比较 以 2 阶为例，设

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 有： 1 、改进的 Euler 公式 2 、 Heun 公式

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 一般的 Runge － Kutta 法构造 常见的为 3 阶， 4 阶公式

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 8.3 线性多步法 用若干节点处的 y 及 y’ 值的线性组合来近似 y(x n+1 ) 。 )...( knknnnknknnn ffffhyyyy   其通式可写为： 当   1  0 时，为隐式公 式 ;   1 =0 则为显式公式。

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS  基于数值积分的构造法 将 在 上积分，得到 只要近似地算出右边的积分 ，则可通 过 近似 y(x n+1 ) 。而选用不同近似式 I k ，可得到不 同的计算公式。

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 若积分用节点作为积分点，则有 积分系数 这是显格式， q+1 阶 r+1 步格式。 r=max{p,q} 为积分节点，可以构造 r+1 步 q+1 阶隐格式 局部截断误差 同样，若以

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例：建立 p=1,q=2 的显格式 p=1 ， q=2 ，显格式， 积分区间为 积分节点为 所以

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例：建立 p=2,q=2 的隐格式 p=2 ， q=2 ，隐格式， 积分区间为 积分节点为 所以

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 它的截断误差较 显格式 小，通常也具有更好的稳定性。  Adams 公式 －－ p=0 时候的多步法 参见书

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS §8.4 方程组和高阶方程的数值解法 写成向量的形式：

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 各种方法都可以直接运用过来。 Euler 公式 以两个方程的方程组为例

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Runge-Kutta 公式

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数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 1、1、 2 、确定方法，然后求解 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 4 阶 Runge-Kutta 法， h=1

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 高阶方程

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 则有： 令

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例：考察初值问题 在区间 [0, 0.5] 上的解。 分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。 精确解改进欧拉法 欧拉隐式欧拉显式 节点 x i    10 1    10   10   10   10   10      10   10   10   10   10  7 What is wrong ??!

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS §8.5 差分方程的绝对稳定性 对于一般的差分方程 由初始误差产生了差分解的误差，实际上是同一差分方程，取不同初值所得到的 2 组 差分解之间的差。这个差不仅于差分方程本身有关，而且与微分方程本身有关。如果 微分方程本身是不稳定，那就没理由要求这 2 组解充分接近。因此，差分方程的稳定性 概念是建立在微分方程稳定的基础上的。把这个典型微分方程规定为： 仍然考虑最简单的模型，即只有初值产生误差，看看这个误差的传播。

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 差分方程运用到如上的微分方程后，可以得到 对于给定的初始误差 ，误差方程具有一样的形式

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定义：差分方程称为绝对稳定的，若差分方程作用到微分方程 时，对任意的初值，总存在左半复平面上的一个区域，当 在这个区域时，差分 方程的解趋于 0 。这个区域称为稳定区域 例：向后 Euler 公式的稳定性 误差方程： 210Re Img

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 考察隐式欧拉法 可见绝对稳定区域为： 210Re Img 注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法 的好。

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 3 阶 Runge － Kutta 显式 1~ 4 阶方法的绝对稳定区域为 k=1 k=2 k=3 k= Re Img