微积分的思想与方法 王显花 临夏分校

内容介绍 微分学包含两个系统：概念系统和算法系统。 概念系统中最重要的概念是导数和微分。在算法系 统中包含求导运算与微分运算。 微分是微分学中除了导数之外的另一个基本概念， 它与导数概念密切相关。微分概念是在解决直与曲 的矛盾中产生的，具体说来，它在微小局部可以用 直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线 性化。微分具有双重意义，它表示一个微小的量， 同时又表示一种与求导密切相关的运算，微分是微 分学转向积分学的一个关键概念。不定积分就是微 分运算的逆运算。

明 确 思 路明 确 思 路明 确 思 路明 确 思 路 二、重、难点内容提示 二、重、难点内容提示 二、重、难点内容提示 一、学习本章内容需要弄清楚的问题 一、学习本章内容需要弄清楚的问题 一、学习本章内容需要弄清楚的问题 四、练习题及其答案 四、练习题及其答案 四、练习题及其答案 三、本章内容辅导 三、本章内容辅导 三、本章内容辅导 五、自学资源 五、自学资源 五、自学资源 五、自学资源 六、师生互动，交流反馈 六、师生互动，交流反馈 六、师生互动，交流反馈 六、师生互动，交流反馈

１、微分学基本问题是什么？ ２、函数的微分和导数是什么关系，它们的几 何意义是什么？ ３、微分学的基本运算。 ４、何谓函数的一阶微分形式不变性？ ５、微分的线性化有什么应用？

二、重、难点内容提示 １、重点内容： １、重点内容：一阶微分形式不变性和基本初 等函数的微分法。 ２、难点内容： ２、难点内容：运用微分公式求函数的微分。

1 、微分的定义 设 y=f （ x ）在点 x 处可导，则 f ’ （ x ） Δx 称为函数 y=f （ x ） 在点 x 处的微分，记 dy=f′ （ x ） dx 。 2 、微分公式 定理 7.1 设函数 u=u （ x ）， v=v （ x ）均在点 x 处可微， 则有（表中 u=u （ x ）， v=v （ x ）， α ， β ∈ R ） 1 d （ cu ） =cdu ， c 是常数 2 d （ αu±βυ ） =αdu ， αβ 是常数 3 d （ uυ ） =υdu+udυ 4 d （ u/υ ） = （ υdu-udυ ） /υ2

3 、复合函数的微分公式（一阶微分形式不变性） 定理 7.2 设函数 u=φ （ x ）在点 x 处可微， y=f （ x ）在对 定理 7.2 设函数 u=φ （ x ）在点 x 处可微， y=f （ x ）在对 应点 u 处可微，则复合函数 y=f[φ （ x ） ] 在点 x 应点 u 处可微，则复合函数 y=f[φ （ x ） ] 在点 x 处可微，且 dy=f′ （ u ） du ，其中 du=φ （ x ） dx 处可微，且 dy=f′ （ u ） du ，其中 du=φ （ x ） dx 由微分定义和复合函数求导公式，得 由微分定义和复合函数求导公式，得 dy=[fφ （ x ） ]′du=f′(u)φ′(x)dx=f′ （ u ） du dy=[fφ （ x ） ]′du=f′(u)φ′(x)dx=f′ （ u ） du 由此可见，无论 u 是自变量，还是另一变量的可 由此可见，无论 u 是自变量，还是另一变量的可 微函数，微分形式 dy=f′ （ u ） du 保持不变，这 微函数，微分形式 dy=f′ （ u ） du 保持不变，这 一性质称为一阶微分形式的不变性。 一性质称为一阶微分形式的不变性。

例 1 ：求函数 y=e x 分别在点 x=0 与点 X=1 处的微分。 解： dy= （ e x ） ′| x=0 dx=dx 解： dy= （ e x ） ′| x=0 dx=dx dy= （ e x ） ′| x=1 dx=edx dy= （ e x ） ′| x=1 dx=edx 例 2 ：求函数 y=sin （ 2x+1 ）微分 解： dy=d[sin(2x+1)]=cos(2x+1)d(2x+1) 解： dy=d[sin(2x+1)]=cos(2x+1)d(2x+1) =2cos(2x+1)dx =2cos(2x+1)dx 例 3 ：计算 y=e -ax sinbx 微分 解： d(e -ax sinbx)=sinbxd(e -ax )+e -ax d(sinbx) 解： d(e -ax sinbx)=sinbxd(e -ax )+e -ax d(sinbx) = sinbxe -ax d(-ax)+e -ax cosbx · d(bx) = sinbxe -ax d(-ax)+e -ax cosbx · d(bx) =e -ax (bcosbx-asinbx)dx =e -ax (bcosbx-asinbx)dx

基本初等函数微分法表

4 、微分的几何意义： 为了对微分有直观的了解, 现在说明微分的几 何意义, 如图 7.2 所示，函数 y=f （ x ）的图形是 一条曲线, 对于某一固定的 x 0 值, 曲线上有一定 点 M(x 0,y 0 ), 当自变量 x 有微小增量 Δx 时, 得到曲 线上另一点 N(x 0 +Δx,y 0 +Δy) ， MT 是曲线在点 M 处的切线，从图中可知 为了对微分有直观的了解, 现在说明微分的几 何意义, 如图 7.2 所示，函数 y=f （ x ）的图形是 一条曲线, 对于某一固定的 x 0 值, 曲线上有一定 点 M(x 0,y 0 ), 当自变量 x 有微小增量 Δx 时, 得到曲 线上另一点 N(x 0 +Δx,y 0 +Δy) ， MT 是曲线在点 M 处的切线，从图中可知 MQ=Δx ， QN=Δy ， MQ=Δx ， QN=Δy ， QP=f′(x 0 )Δx=dy 。 QP=f′(x 0 )Δx=dy 。

由此可见，对于可微函数 y=f (x) ，可言， Δy 是 曲线 y=f (x) 上的纵坐标的增量时， dy 就是曲线的 切线上的纵坐标的相应增量： QP=f′(x 0 )Δx=dy 这 就是微分的几何意义。 由此可见，对于可微函数 y=f (x) ，可言， Δy 是 曲线 y=f (x) 上的纵坐标的增量时， dy 就是曲线的 切线上的纵坐标的相应增量： QP=f′(x 0 )Δx=dy 这 就是微分的几何意义。 由图 7.2 可见，当 dx 很小时， Δy=NQ≈dy=QP ， 这就是说 “ 曲线 ” y=f (x) 的改变量 Δy 可以用 “ 直线 ” （即切线）的改变量求近似地代替。 由图 7.2 可见，当 dx 很小时， Δy=NQ≈dy=QP ， 这就是说 “ 曲线 ” y=f (x) 的改变量 Δy 可以用 “ 直线 ” （即切线）的改变量求近似地代替。

答案：

1 、课本主教材及其配套练习册。 2 、学员注册登陆中央电大网站： 根据本课程的辅导时间安排自助学习。 根据本课程的辅导时间安排自助学习。 3 、甘肃电大： 4 、临夏电大：

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