1 第二节 微 分 § 微分概念 § 微分公式和运算法则 § 高阶微分 § 微分在近似计算中的应用举例 误差估计

2 § 微分概念 一、微分的定义 引例 : 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少 ? 设薄片边长为 x, 面积为 A, 则 面积的增量为 关于△ x 的 线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在 取 得增量 时,时, 变到边长由 其

3 的微分, 定义 1: 若函数 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△ x 的常数 ) 则称函数 而 称为 记作 即 定理 1: 函数 在点 可微的充要条件是 即 在点 可微,

4 定理 2 : 函数 证 : “ 必要性 ” 已知 在点 可微, 则 故 在点 的可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即

5 定理 3 : 函数 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 “ 充分性 ” 已知 即 在点 的可导, 则

6 注:注: 时,时, 所以 时 很小时, 有近似公式 与是等价无穷小, 当 故当

7 例 1 求函数 y  x 2 在 x  1 和 x  3 处的微分  dy  (x 2 )| x  1  x  2  x  函数 y  x 2 在 x  3 处的微分为 dy  (x 2 )| x  3  x  6  x  例 2 求函数 y  x 3 当 x  2   x  0  02 时的微分  y  f(x) 在点 x 0 可微  y  x  o(  x)  dy= f (x 0 )  x  解 函数 y  x 2 在 x  1 处的微分为 解 先求函数在任意点 x 的微分  dy  (x 3 )  x  3x 2  x  再求函数当 x  2  Dx  0  02 时的微分  dy| x=2,  x=0.02 =3  2 2  0.02=0.24  =3x 2 | x=2,  x=0.02

8 当 |  x| 很小时  |  y  dy| 比 |  x| 小得多  因此  在点 M 的邻近  我们可以用切线段来近似代 替曲线段   y 是曲线上点的纵坐 标的增量 ; dy 是过点 (x 0  f(x 0 )) 的切 线上点的纵坐标的增量. 当 x 从 x 0 变到 x 0 +  x 时  二、微分的几何意义 则有 从而 导数也叫作微商 自变量的微分, 记作 记

9 d(x  )  x  1 dx d(sin x)  cos xdx d(cos x)  sin xdx d(tan x)  sec 2 xdx d(cot x)  csc 2 xdx d(sec x)  sec x tan xdx d(csc x)  csc x cot xdx d(a x )  a x ln adx d(e x )  e x dx (x  )  x  1 (sin x)  cos x (cos x)  sin x (tan x)  sec 2 x (cot x)  csc 2 x (sec x)  sec x tan x (csc x)  csc x cot x (a x )  a x ln a (e x )  e x 微分公式 : 导数公式 : 1. 基本初等函数的微分公式 § 微分公式和运算法则

10 微分公式 : 导数公式 :

11 2 、 微分的四则运算法则 设 u(x), v(x) 均可微, 则 (C 为常数 ) 分别可微, 的微分为 微分形式不变 3. 复合函数的微分 则复合函数

12 在求复合函数的导数时  可以不写出中间变量  例 1 y  sin(2x  1)  求 dy   2cos(2x  1)dx  cos(2x  1)  2dx  cos(2x  1)d(2x  1)dy  d(sin u)  cos udu 若 y  f(u)  u  f(x)  则 dy  f (u)du  解 把 2x  1 看成中间变量 u  则 例 2 解

13 例 3. 设 求 解 : 利用一阶微分形式不变性, 有 例 4. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立 : 说明 : 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意 : 数学中的反问题往往出现多值性.

14 § 高阶微分 3 、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。 1 、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作 且有 （1）（1） 2 、 n 阶微分： n-1 阶微分的微分称为 n 阶微分，记作 且有 （2）（2） 例 设 分别依公式（ 1 ）、 （ 2 ）求 解 由 得 依公式（ 1 ）得 类似地，依公式（ 2 ）得

15 §2.2.4 微分在近似计算中的应用举例 误差估计 1. 函数的近似计算 当很小时, 使用原则 : 得近似等式 :

16 特别当 很小时, 常用近似公式 : 很小 ) 证明 : 令 得

17 的近似值. 解 : 设 取 则 例 1. 求 的近似值. 解:解: 例 2. 计算

18 例 3. 有一批半径为 1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 解 : 已知球体体积为 镀铜体积为 V 在时体积的增量 因此每只球需用铜约为 ( g ) 用铜多少克. 估计一下, 每只球需 要镀上一层铜, 厚度定为 0.01cm,

19 2. 误差估计 某量的精确值为 A, 其近似值为 a, 称为 a 的绝对误差 称为 a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限

20 误差传递公式 : 已知测量误差限为 按公式计算 y 值时的误差 故 y 的绝对误差限约为 相对误差限约为 若直接测量某量得 x,

21 例 4. 设测得圆钢截面的直径 测量 D 的 绝对误差限 欲利用公式 圆钢截面积, 解:解: 计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为 试估计面积的误差. 计算 ( mm )

22 练习 1.

23 4. 设 由方程确定, 解:解: 方程两边求微分, 得 当 时 由上式得 求