1 第二节 微 分 § 2.2.1 微分概念 § 2.2.2 微分公式和运算法则 § 2.2.3 高阶微分 § 2.2.4 微分在近似计算中的应用举例 误差估计.

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第二章 导数与微分 主讲人:张少强 Tianjin Normal University 计算机与信息工程学院.
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高等数学( XJD ) 第二章 导数与微分 返回 高等数学( XAUAT ) 高等数学( XJD ) 求导法则 基本公式 导 数 导 数 微 分微 分 微 分微 分 求导方法 高阶导数 微分法则 导数与微分关系图导数与微分关系图.
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分公式及微分法则 四、微分在近似计算中的应用 五、小结 思考题.
1 函数的微分 微分的定义 微分的几何意义 基本初等函数 的微分公式与 微分的运算法则 微分在近似计算中的应用 微分的近似计算 误差估计 基本初等函数的微分公式 和、差、积、商的微分法则 复合函数的微分法则.
上页下页  结束返回首页 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分公式与微分运算法则 微分的定义 可微与可导的关系 基本初等函数的微分公式 函数和差积商的微分法则 复合函数的微分法则 上页下页  结束返回首页 §2 . 6 函数的微分.
第一节 不定积分的概念及其 计算法概述 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质及简单计算 四、小结.
第五节 函数的微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算 法则 四、微分形式不变性 五、微分在近似计算中的应用 六、小结.
第二章 导数与微分 习题课 主要内容 典型例题 测验题. 求 导 法 则求 导 法 则 求 导 法 则求 导 法 则 基本公式 导 数 导 数 微 分微 分 微 分微 分 高阶导数 高阶微分 一、主要内容.
目录 上页 下页 返回 结束 习题课 一、导数和微分的概念及应用 二、导数和微分的求法 导数与微分 第二章.
一、问题的提出 实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量. 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题 : 这个线性函数 ( 改变量的主要部分 ) 是否 所有函数的改变量都有 ? 它是什么 ? 如何求 ?
第四节 复合函数求导 法则及其应用 一、复合函数求导法则 二、初等函数的求导问题 三、一阶微分的形式不变性 四、隐函数的导数 五、对数求导法 六、参数形式的函数的求导公式.
第三章 微积分学的创始人 : 德国数学家 Leibniz 微分学 导数描述函数变化快慢 --- 变化率 --- 切线 斜率 --- 相对误差 微分 描述函数变化程度 --- 函数值的增量 --- 绝对误差 都是描述物质运动的工具 ( 从微观上研究函数 ) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Fermat.
1 主要内容 : 1. 微分的概念. 2. 微分的几何意义. 3. 微分的运算 4. 微分在近似计算中的应用 2.5 微分.
一、问题提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、 微分的求解 六、 微分的应用 七、 小结.
1 大学数学教研室 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分.
2.8 函数的微分 1 微分的定义 2 微分的几何意义 3 微分公式与微分运算法则 4 微分在近似计算中的应用.
第八章 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个方程所确定的隐函数 及其导数 隐函数的微分法.
第七节 函数的微分 一 、微分 概念 二、微分的几何意义 三、 基本初等函数的微分公 式与 微分运算法则 四 、小结.
§5 微分. 是 x 的函数. 如果给边长 x 一个增量 的线性部分 和 的高阶部分 ( ) 2. 因 一、微分的概念 由两部分组成 : S = x 2 先考察一个具体问题. 设一边长为 x 的正方形, 相应地正方形面积的增量 它的面积.
Company LOGO 第四章 不定积分 § 4.1 不定积分的概念与性质. 2 第一节 不定积分的概念与性质 一、不定积分概念 三、基本积分公式 二、不定积分的性质.
第三章 导数与微分 第二节 求导法则 第三节 微分及其在近似计算中的应用 微分及其在近似计算中的应用 第一节 导数的概念.
第 4 章 不定积分 4.1 不定积分的概念与基本积分公式 4.2 换元积分法 4.3 分部积分法.
复习 1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法 极坐标方程求导 转化 成立的条件?
一、会求多元复合函数一阶偏导数 多元复合函数的求导公式 学习要求: 二、了解全微分形式的不变性.
2.6 隐函数微分法 第二章 第二章 二、高阶导数 一、隐式定义的函数 三、可微函数的有理幂. 一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数, 由 表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此 隐函数求导方法.
第十二章 第二节 一元函数 y = f (x) 的微分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对二元函数的全增量是否也有类似这样的性质? 全微分.
5.4 微 分 一、微分概念 二、微分的运算法则与公式 三、微分在近似计算上的应用. 引例 一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x 0 变到 x 0  x  考查此薄片的面积 A 的改变情况  因为 A  x 2  所以金属片面 积的改变量为  A  (x 0 
高等数学 B ( 1 ) 微分概念及计算. 高等数学 B ( 1 ) 一、微分的概念 在许多实际问题中,我们不仅要知道由自变量 引起的函数变化的快慢程度问题,而且还要了解 函数在某一点当自变量取一个微小改变 量 △ x 时,函数取的相应的改变量 △ y 的大小, 计算△ y 的精确值一般比较繁。先看下面的问题.
§5 微分. 一 问题的提出 1 面积问题 设有一边长为 的正方形 2 自由落体问题 二 微分的定义 1 定义.
2.5 函数的微分 一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、微分的求法 六、小结.
§1 导数的概念 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §5 微分. 第五章 导数与微分.
第 2 章 导数与微分 1.1 导数的概念 1.2 导数的运算 1.3 微分 结束 前页 结束 后页 引出导数概念的实例 例 1 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如图所示, 在曲线上任取两点 和 ,作割线 ,割线的斜率为 2.1 导数的概念.
第二章 导数与微分 一. 内 容 要 点 二. 重 点 难 点 三. 主 要 内 容 四. 例 题与习题.
§1. 导数的概念 1. 什么是导数(值)?如何表示? 2. 导数的几何意义? 3. 函数可导与连续的关系?(了解) §2. 导数的基本运算法则 反函数的求导法则? §3. 导数的基本公式.
第二章 导数与微分. 二、 微分的几何意义 三、微分在近似计算中的应用 一、 微分的定义 2.3 微 分.
全微分 教学目的:全微分的有关概念和意义 教学重点:全微分的计算和应用 教学难点:全微分应用于近似计算.
2.3 函数的微分. 四川财经职业学院 课前复习 高阶导数的定义和计算方法。 作业解析:
第三节 微分 3.1 、微分的概念 3.2 、微分的计算 3.3 、微分的应用. 一、问题的提出 实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.
第二章 导数与微分 项目三 高阶导数 项目二 函数的求导方法 项目一 导数的概念 模块一 导数. 项目一 导数的概念 一、 导数的定义 二、 可导与连续的关系 三、 基本初等函数的导数.
第二节 微积分基本定理 一、积分上限函数及其导数 二、积分上限函数求导法则 三、微积分基本公式.
高等数学电子教案 第五章 定积分 第三节 微积分基本定理.
一、原函数与不定积分 二、不定积分的几何意义 三、基本积分公式及积分法则 四、牛顿—莱布尼兹公式 五、小结
第四章 函数的积分学 第六节 微积分的基本公式 一、变上限定积分 二、微积分的基本公式.
第5章 定积分及其应用 基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
第三节 函数的求导法则 一 函数的四则运算的微分法则 二 反函数的微分法则 三 复合函数的微分法则及微分 形式不变性 四 微分法小结.
高等数学 第三十四讲 函数的微分 主讲教师:陈殿友 总课时: 128.
第五节 函数的微分 一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 第二章
3.8 复合函数的导数 [法则4] 如果函数y=f(u)对u可导,函数u=g(x)对x可导,
§5 微分及其应用 一、微分的概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..
第二章 导数与微分 第二节 函数的微分法 一、导数的四则运算 二、复合函数的微分法.
全 微 分 欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校
第三章 导数与微分 习 题 课 主要内容 典型例题.
2-7、函数的微分 教学要求 教学要点.
§5 微分及其应用 一、微分的概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..
第五节 函数的微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算 法则 四、微分在近似计算中的应用 返回.
§3 微分及其运算 一、微分的定义 二、基本初等函数的微分公式与 微分运算法则.
第5章 §5.3 定积分的积分法 换元积分法 不定积分 分部积分法 换元积分法 定积分 分部积分法.
全国高校数学微课程教学设计竞赛 知识点名称: 导数的定义.
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§2 求导法则 2.1 求导数的四则运算法则 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 .
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第五节 第二章 函数的微分 一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 *四、微分在估计误差中的应用.
第三模块 函数的微分学 第五节 隐函数及参数方程的求 导方法、高阶导数 一、隐函数的微分法 二、由参数方程所确定的函数的微分法
第四模块 函数的积分学 第三节 第二类换元积分法.
第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结 思考题.
第三章 函数的微分学 第二节 导数的四则运算法则 一、导数的四则运算 二、偏导数的求法.
高中数学选修 导数的计算.
2019/5/20 第三节 高阶导数 1.
第三节 函数的微分 3.1 微分的概念 3.2 微分的计算 3.3 微分的应用.
第四章 函数的 积分学 第七节 定积分的换元积分法     与分部积分法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法.
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1 第二节 微 分 § 微分概念 § 微分公式和运算法则 § 高阶微分 § 微分在近似计算中的应用举例 误差估计

2 § 微分概念 一、微分的定义 引例 : 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少 ? 设薄片边长为 x, 面积为 A, 则 面积的增量为 关于△ x 的 线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在 取 得增量 时,时, 变到边长由 其

3 的微分, 定义 1: 若函数 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△ x 的常数 ) 则称函数 而 称为 记作 即 定理 1: 函数 在点 可微的充要条件是 即 在点 可微,

4 定理 2 : 函数 证 : “ 必要性 ” 已知 在点 可微, 则 故 在点 的可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即

5 定理 3 : 函数 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 “ 充分性 ” 已知 即 在点 的可导, 则

6 注:注: 时,时, 所以 时 很小时, 有近似公式 与是等价无穷小, 当 故当

7 例 1 求函数 y  x 2 在 x  1 和 x  3 处的微分  dy  (x 2 )| x  1  x  2  x  函数 y  x 2 在 x  3 处的微分为 dy  (x 2 )| x  3  x  6  x  例 2 求函数 y  x 3 当 x  2   x  0  02 时的微分  y  f(x) 在点 x 0 可微  y  x  o(  x)  dy= f (x 0 )  x  解 函数 y  x 2 在 x  1 处的微分为 解 先求函数在任意点 x 的微分  dy  (x 3 )  x  3x 2  x  再求函数当 x  2  Dx  0  02 时的微分  dy| x=2,  x=0.02 =3  2 2  0.02=0.24  =3x 2 | x=2,  x=0.02

8 当 |  x| 很小时  |  y  dy| 比 |  x| 小得多  因此  在点 M 的邻近  我们可以用切线段来近似代 替曲线段   y 是曲线上点的纵坐 标的增量 ; dy 是过点 (x 0  f(x 0 )) 的切 线上点的纵坐标的增量. 当 x 从 x 0 变到 x 0 +  x 时  二、微分的几何意义 则有 从而 导数也叫作微商 自变量的微分, 记作 记

9 d(x  )  x  1 dx d(sin x)  cos xdx d(cos x)  sin xdx d(tan x)  sec 2 xdx d(cot x)  csc 2 xdx d(sec x)  sec x tan xdx d(csc x)  csc x cot xdx d(a x )  a x ln adx d(e x )  e x dx (x  )  x  1 (sin x)  cos x (cos x)  sin x (tan x)  sec 2 x (cot x)  csc 2 x (sec x)  sec x tan x (csc x)  csc x cot x (a x )  a x ln a (e x )  e x 微分公式 : 导数公式 : 1. 基本初等函数的微分公式 § 微分公式和运算法则

10 微分公式 : 导数公式 :

11 2 、 微分的四则运算法则 设 u(x), v(x) 均可微, 则 (C 为常数 ) 分别可微, 的微分为 微分形式不变 3. 复合函数的微分 则复合函数

12 在求复合函数的导数时  可以不写出中间变量  例 1 y  sin(2x  1)  求 dy   2cos(2x  1)dx  cos(2x  1)  2dx  cos(2x  1)d(2x  1)dy  d(sin u)  cos udu 若 y  f(u)  u  f(x)  则 dy  f (u)du  解 把 2x  1 看成中间变量 u  则 例 2 解

13 例 3. 设 求 解 : 利用一阶微分形式不变性, 有 例 4. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立 : 说明 : 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意 : 数学中的反问题往往出现多值性.

14 § 高阶微分 3 、高阶微分:二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。 1 、二阶微分:一阶微分的微分称为二阶微分。记作 且有 (1)(1) 2 、 n 阶微分: n-1 阶微分的微分称为 n 阶微分,记作 且有 (2)(2) 例 设 分别依公式( 1 )、 ( 2 )求 解 由 得 依公式( 1 )得 类似地,依公式( 2 )得

15 §2.2.4 微分在近似计算中的应用举例 误差估计 1. 函数的近似计算 当很小时, 使用原则 : 得近似等式 :

16 特别当 很小时, 常用近似公式 : 很小 ) 证明 : 令 得

17 的近似值. 解 : 设 取 则 例 1. 求 的近似值. 解:解: 例 2. 计算

18 例 3. 有一批半径为 1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 解 : 已知球体体积为 镀铜体积为 V 在时体积的增量 因此每只球需用铜约为 ( g ) 用铜多少克. 估计一下, 每只球需 要镀上一层铜, 厚度定为 0.01cm,

19 2. 误差估计 某量的精确值为 A, 其近似值为 a, 称为 a 的绝对误差 称为 a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限

20 误差传递公式 : 已知测量误差限为 按公式计算 y 值时的误差 故 y 的绝对误差限约为 相对误差限约为 若直接测量某量得 x,

21 例 4. 设测得圆钢截面的直径 测量 D 的 绝对误差限 欲利用公式 圆钢截面积, 解:解: 计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为 试估计面积的误差. 计算 ( mm )

22 练习 1.

23 4. 设 由方程确定, 解:解: 方程两边求微分, 得 当 时 由上式得 求