第五章 一元函数积分学 第一节 不定积分的概念与性质 第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分法 第二节 不定积分法 第三节 定积分的概念与性质 第三节 定积分的概念与性质 第四节 牛顿 - 莱布尼兹公式 第四节 牛顿 - 莱布尼兹公式 第五节 定积分的换元法与分部积分法 第五节 定积分的换元法与分部积分法 第六节 广义积分 第六节 广义积分 第七节 数学实验四 用 Mathematica 计算积分 第七节 数学实验四 用 Mathematica 计算积分
第五章 一元函数积分学 微分和积分是高等数学中的两大基本运算. 微分的基本 问题是 : 已知一个函数, 求它的导数. 但是, 在许多实际问 题中往往会遇到反问题 : 已知一个函数的导数, 求原来的 函数. 由此产生了积分学. 积分学包括不定积分和定积分 两大部分.
第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数
证
二、不定积分
证
由导数与不定积分定义，很容易得到如下规律： （微分运算与不定积分的运算是互逆的！）
三、不定积分的几何意义
由于不定积分是微分的逆运算，所以根据微分基本公式 就得对应的积公式： 四、基本的积分公式
以上 13 个公式是积分法的基础，必须熟记，不仅要 记住等式右端的结果，还要熟悉左端被积函数的形式！
由导数的运算法则和不定积分的定义，可以得到以下不 定积分的运算法则. 法则 1 对于有限个函数的代数和也是成立的 ! 五、积分的基本运算法则
解
解 解
解 解
解
解
思考题 答案
课堂练习题 答案
第二节 不定积分 利用直接积分法能计算的不定积分是非常有限的，因此有 必要探索计算不定积分的新方法. 本节介绍换元积分法与分部 积法、换元积分法可分为第一类换元法和第二类换元法. 第一类换元积分法（又称凑微分法）是与微分分学中的复 合函数微分法则相应的积分法. 一、第一类换元积分法
注：换元过程可以省略.
一般地，若不定积分被积表达式能写成
下面举例说明 解 解
解 解
以上几例都是直接用凑微分求积分的，下在介绍几个常 用的凑微分的等式供参考
解 解
解
解
解
解法二 解法一
二、第二类换元积分法
解
解
解 图 16-3 辅助直角三角形
解 图 16-4 辅助直角三角形
解 图 16-5 辅助直角三角形
图 16-3 辅助直角三角形 图 16-4 辅助直角三角形图 16-5 辅助直角三角形
第二类换元法常用于被积函数中含有根式的情况， 常用的变量替换可总结如下. 在做三角替换时，可以利用直角三角形的边角关 系确定有关三角函数的关系，按图做代换及还原.
本节一些例题的结果，可当作公式使用，为便于读者使用， 将这些常用的积分公式列举如下.
两类换元法就介绍这里，归纳起来看，它们的实 质就是变量代换，变量代换是求不定积分的最基本的 方法之一。因此，善于恰当地利用变量代换是掌握积 技巧的关键. 想要做到恰当, 第一要熟悉基本积分公式, 因为变量代换最终要化为积分公式中已有的形式 ; 第二 要熟悉微分表, 因为变量代换 ( 或凑微分 ) 时经常用到它, 同时要熟具体函数及其微分特征, 这样才较好地掌握换 元积分法.
三、分部积分法
解
解 解 在此例中, 两次用了分部积分法.
解
解
解
解法二 解法一
解法三 由例 22 可以看出, 求不定积分, 常有多种方法, 比较灵 活, 各种解法都有其特点, 学习中要注意不断积累经验.
思考题 答案
课堂练习题 答案
第三节 定积分的概念与性质 1. 曲边梯形的面积 在初等数学中，已经解决了圆、三角形、矩形及多边 形等图形的面积问题，而对由任意曲线所围成的一般平面 图形的面积计算问题还未解决，其原因是用初等数学方法 是非常困难的. 这里介绍计算曲边梯形的面积的方法，有了 这种方法就可以解决一般封闭图形的面积问题. 一、两个实例
图 16-7 求曲边梯形面积
( 见图 16 — 7)
2. 变速直线运动的路程
以上的两个实例具有不同的实际意义, 但计算这些量时使 用的方法是相同的. 抛开这些问题的具体意义, 由表达式在数 量关系上的共同特性, 抽象出定积分的概念. 二、定积分的定义
关于定积分的定义做以下三点说明.
三、定积分的几何意义
例 1 用定积分表示图 16-9 中四个图形阴影部分的面积 解 16-9(a) 16-9(b)
16-9(c)
(a) (b) (c) (d)
解 图 例 2 图形
由定积分的定义，可以直接推证定积分具有下述性质， 其中所涉及的函数在讨论的区间都是可积的. 性质 1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即 性质 2 两个函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即 （这一结论可以推广到任意有限个多个函数代数和的情况！） 四、定积分的性质
性质 3 对任意点 c ，有 性质 4
性质 5 性质 6 性质 7
证
图 积分中值定理
解
例 4 比较下列各对积分值的大小 解
思考题 答案
课堂练习题 答案
第四节 牛顿 - 莱布尼兹公式 定积分作为一种特定和式的极限，如果按定义计算定 积分是很复杂、很困难的，所以本节将通过对定积分与原 函数的讨论，寻找一种计算定积分简便而效的方法.
一、积分上限函数
图 积分上限函数几何意义
证
这个定理一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另 一方面提供了在定积分与原函数之间建立联系的可能性！
解 解
证 二、牛顿 — 莱布尼兹公式
解 解
解 解
解
解
解
思考题 答案
课堂练习题 答案
第五节 定积分的换元法与分部积分法 前面学习了使用换元积分法求已知函数的原函数，在某 些条件下换元积分法也可以用计算定积分. 式（ 16-9 ）称为定积分的换元公式 一、定积分的换元法
在应用定积分的换元公式（ 16-9 ）时，应注意
解 这一解法没有引入新的积分变量. 计算时，原积分的上、 下限不要改变. 解
解先把被积函数化简
证
在计算对称区间上的定积分时，如果能判定被积函 数的奇偶性，利用这一结果可使计算简化.
解
解
解 图 例 7 几何意义
式（ ）称为定积分的分部积分法，其方法与不定 积分相类似，但其结果不相同. ( 定积分是一个数值，面不定积分是一类函数！ ) 二、定积分的分部积分法
解 解
解
思考题 答案
课堂练习题 答案
第六节 、广义积分 前面曾提到，若被积函数在积分区间上有无穷不连续点 时，不能应用牛顿 - 莱布尼兹公式计算. 这是因为牛顿 - 莱布尼 兹公式的使用受到以下两个条件的限制.
为了使定积分的应用更加广泛，将上述两个条件放宽， 使得公式对积分区间为无穷区间，或被积函数在有限的积 分区间上为无界函数的积分也能使用. 这两种积分称为广 义积分，相应地，前面讨论的积分称为常义积. 本书仅讨 论积分区间为无穷区间的广义积分. 一般地，对于积分区间无限的情形，给出下面的定义.
计算广义积分时，为了书写方便，实际计算中常常 略去极限符号，形式上直接利用牛顿 - 莱布尼兹公式的计 算式（注意是形式上）.
解 解
证
思考题 答案
课堂练习题 答案
第七节 数学实验四 用 Mathematica 计算积分 一、学习 Mathematica 命令
二、求不定积分 例 1 计算下列不定积分： 解
三、求定积分及广义积分 例 2 计算下列积分 解
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