5.4 微分一、微分概念二、微分的运算法则与公式三、微分在近似计算上的应用. 引例一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x 0 变到 x 0  x  考查此薄片的面积 A 的改变情况  因为 A  x 2  所以金属片面积的改变量为  A  (x 0 

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第二章导数与微分主讲人：张少强 Tianjin Normal University 计算机与信息工程学院.

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高等数学（ XJD ）第二章导数与微分返回高等数学（ XAUAT ）高等数学（ XJD ）求导法则基本公式导数导数微分微分微分微分求导方法高阶导数微分法则导数与微分关系图导数与微分关系图.

一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分公式及微分法则四、微分在近似计算中的应用五、小结思考题.

1 函数的微分微分的定义微分的几何意义基本初等函数的微分公式与微分的运算法则微分在近似计算中的应用微分的近似计算误差估计基本初等函数的微分公式和、差、积、商的微分法则复合函数的微分法则.

上页下页  结束返回首页一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分公式与微分运算法则微分的定义可微与可导的关系基本初等函数的微分公式函数和差积商的微分法则复合函数的微分法则上页下页  结束返回首页 §2 ． 6 函数的微分.

第一节不定积分的概念及其计算法概述一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质及简单计算四、小结.

第五节函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分形式不变性五、微分在近似计算中的应用六、小结.

第二章导数与微分习题课主要内容典型例题测验题. 求导法则求导法则求导法则求导法则基本公式导数导数微分微分微分微分高阶导数高阶微分一、主要内容.

目录上页下页返回结束习题课一、导数和微分的概念及应用二、导数和微分的求法导数与微分第二章.

一、问题的提出实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量. 再例如, 既容易计算又是较好的近似值问题 : 这个线性函数 ( 改变量的主要部分 ) 是否所有函数的改变量都有 ? 它是什么 ? 如何求 ?

第四节复合函数求导法则及其应用一、复合函数求导法则二、初等函数的求导问题三、一阶微分的形式不变性四、隐函数的导数五、对数求导法六、参数形式的函数的求导公式.

第三章微积分学的创始人 : 德国数学家 Leibniz 微分学导数描述函数变化快慢 --- 变化率 --- 切线斜率 --- 相对误差微分描述函数变化程度 --- 函数值的增量 --- 绝对误差都是描述物质运动的工具 ( 从微观上研究函数 ) 导数与微分导数思想最早由法国数学家 Fermat.

1 主要内容 : 1. 微分的概念. 2. 微分的几何意义. 3. 微分的运算 4. 微分在近似计算中的应用 2.5 微分.

一、问题提出二、微分的定义三、可微的条件四、微分的几何意义五、微分的求解六、微分的应用七、小结.

1 大学数学教研室 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分.

2.8 函数的微分 1 微分的定义 2 微分的几何意义 3 微分公式与微分运算法则 4 微分在近似计算中的应用.

第八章第四节机动目录上页下页返回结束一个方程所确定的隐函数及其导数隐函数的微分法.

第七节函数的微分一、微分概念二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、小结.

1 第二节微分 § 微分概念 § 微分公式和运算法则 § 高阶微分 § 微分在近似计算中的应用举例误差估计.

§5 微分. 是 x 的函数. 如果给边长 x 一个增量的线性部分和的高阶部分 ( ) 2. 因一、微分的概念由两部分组成 : S = x 2 先考察一个具体问题. 设一边长为 x 的正方形, 相应地正方形面积的增量它的面积.

Company LOGO 第四章不定积分 § 4.1 不定积分的概念与性质. 2 第一节不定积分的概念与性质一、不定积分概念三、基本积分公式二、不定积分的性质.

第三章导数与微分第二节求导法则第三节微分及其在近似计算中的应用微分及其在近似计算中的应用第一节导数的概念.

第 4 章不定积分 4.1 不定积分的概念与基本积分公式 4.2 换元积分法 4.3 分部积分法.

复习 1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法极坐标方程求导转化成立的条件？

一、会求多元复合函数一阶偏导数多元复合函数的求导公式学习要求：二、了解全微分形式的不变性.

2.6 隐函数微分法第二章第二章二、高阶导数一、隐式定义的函数三、可微函数的有理幂. 一、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数, 由表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此隐函数求导方法.

第十二章第二节一元函数 y = f (x) 的微分机动目录上页下页返回结束对二元函数的全增量是否也有类似这样的性质？全微分.

§5 微分. 一问题的提出 1 面积问题设有一边长为的正方形 2 自由落体问题二微分的定义 1 定义.

2.5 函数的微分一、问题的提出二、微分的定义三、可微的条件四、微分的几何意义五、微分的求法六、小结.

§1 导数的概念 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §5 微分. 第五章导数与微分.

第 2 章导数与微分 1.1 导数的概念 1.2 导数的运算 1.3 微分结束前页结束后页引出导数概念的实例例 1 平面曲线的切线斜率曲线的图像如图所示, 在曲线上任取两点和，作割线，割线的斜率为 2.1 导数的概念.

第二章导数与微分一. 内容要点二. 重点难点三. 主要内容四. 例题与习题.

§1. 导数的概念 1. 什么是导数（值）？如何表示？ 2. 导数的几何意义？ 3. 函数可导与连续的关系？（了解） §2. 导数的基本运算法则反函数的求导法则？ §3. 导数的基本公式.

第二章导数与微分. 二、微分的几何意义三、微分在近似计算中的应用一、微分的定义 2.3 微分.

全微分教学目的：全微分的有关概念和意义教学重点：全微分的计算和应用教学难点：全微分应用于近似计算.

2.3 函数的微分. 四川财经职业学院课前复习高阶导数的定义和计算方法。作业解析：

第三节微分 3.1 、微分的概念 3.2 、微分的计算 3.3 、微分的应用. 一、问题的提出实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.

第二讲：连续、导数、微分 1 函数的连续性 2 导数的概念 3 函数微分 (1) (2) (3)

第二章导数与微分项目三高阶导数项目二函数的求导方法项目一导数的概念模块一导数. 项目一导数的概念一、导数的定义二、可导与连续的关系三、基本初等函数的导数.

例题教学目的: 微积分基本公式教学重点: 牛顿----莱布尼兹公式教学难点: 变上限积分的性质与应用.

第二节微积分基本定理一、积分上限函数及其导数二、积分上限函数求导法则三、微积分基本公式.

高等数学电子教案第五章　定积分第三节微积分基本定理.

一、原函数与不定积分二、不定积分的几何意义三、基本积分公式及积分法则四、牛顿—莱布尼兹公式五、小结

第四章　函数的积分学第六节　微积分的基本公式一、变上限定积分二、微积分的基本公式.

第四章一元函数的积分 §4.1 不定积分的概念与性质 §4.2 换元积分法 §4.3 分部积分法 §4.4 有理函数的积分

第5章定积分及其应用基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法

第三节函数的求导法则一函数的四则运算的微分法则二反函数的微分法则三复合函数的微分法则及微分形式不变性四微分法小结.

高等数学第三十四讲函数的微分主讲教师：陈殿友总课时： 128.

第五节函数的微分一、微分的概念二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用第二章

3.8 复合函数的导数 [法则4] 如果函数y＝f(u)对u可导，函数u＝g(x)对x可导，

§5 微分及其应用一、微分的概念实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..

第二章　导数与微分第二节　函数的微分法一、导数的四则运算二、复合函数的微分法.

全微分欧阳顺湘北京师范大学珠海分校

第三章导数与微分习题课主要内容典型例题.

2-7、函数的微分教学要求教学要点.

§5 微分及其应用一、微分的概念实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..

第五节函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分在近似计算中的应用返回.

第三章导数与微分第一节导数的概念第二节求导法则第三节微分及其在近似计算中的应用.

§3 微分及其运算一、微分的定义二、基本初等函数的微分公式与微分运算法则.

第5章 §5.3 定积分的积分法换元积分法不定积分分部积分法换元积分法定积分分部积分法.

导数的基本运算.

§2 求导法则 2.1 求导数的四则运算法则下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 .

第五节第二章函数的微分一、微分的概念二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用 *四、微分在估计误差中的应用.

第四模块　函数的积分学第三节　第二类换元积分法.

普通物理学教程力学高等数学补充知识.

第一章函数与极限第一节函数一、函数的概念二、函数的表示法三、分段函数四、反函数五、初等函数六、函数的基本性态

第二章三角函數 2-5　三角函數的圖形.

第三章　函数的微分学第二节　导数的四则运算法则一、导数的四则运算二、偏导数的求法.

第三节函数的微分 3.1 微分的概念 3.2 微分的计算 3.3 微分的应用.

第四章　函数的积分学第七节　定积分的换元积分法　　　与分部积分法一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法.

Presentation transcript:

5.4 微分一、微分概念二、微分的运算法则与公式三、微分在近似计算上的应用

引例一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x 0 变到 x 0  x  考查此薄片的面积 A 的改变情况  因为 A  x 2  所以金属片面积的改变量为  A  (x 0  x) 2  (x 0 ) 2  2x 0  x  (  x) 2  Ax02Ax02 x0x0 x0x0 xx xx x0xx0x x0xx0x (x)2(x)2 当  x  0 时  (  x) 2  o(  x )   A 的主要部分是  x 的线性函数 2x 0  x  2x 0  x 是  A 的近似值 

设函数 y  f(x) 在某区间内有定义  x 0 及 x 0  x 在这区间内  如果函数的增量  y  f(x 0  x)  f(x 0 ) 可表示为  y  A  x  o(  x)  其中 A 是不依赖于  x 的常数  o(  x) 是比  x 高阶的无穷小  那么称函数 y  f(x) 在点 x 0 是可微的  而 A  x 叫做函数 y  f(x) 在点 x 0 相应于自变量增量  x 的微分  记作  即一、微分概念

定理证 (1) 必要性可微的条件

(2) 充分性

说明 : 很小时, 有近似公式故当

微分的几何意义当很小时, 切线纵坐标的增量

例1例1

则有从而导数也叫作微商自变量的微分, 记作

二、微分运算法则与公式 d(x  )  x  1 dx d(sin x)  cos xdx d(cos x)  sin xdx d(tan x)  sec 2 xdx d(cot x)  csc 2 xdx d(sec x)  sec x tan xdx d(csc x)  csc x cot xdx d(a x )  a x ln adx d(e x )  e x dx (x  )  x  1 (sin x)  cos x (cos x)  sin x (tan x)  sec 2 x (cot x)  csc 2 x (sec x)  sec x tan x (csc x)  csc x cot x (a x )  a x ln a (e x )  e x 微分公式 : 导数公式 : 1. 基本初等函数的微分公式

微分公式 : 导数公式 :

2. 函数和、差、积、商的微分法则求导法则微分法则 (u  v)  u  v (Cu)  Cu (u  v)  uv  uv d(u  v)  du  dv d(Cu)  Cdu d(u  v)  vdu  udv

设 y  f(u) 及 u  (x) 可微  则复合函数 y  f[  (x)] 的微分为 dy  y x dx  f (u)  (x) dx  因为  (x)dx  du  所以  复合函数 y  f [  (x)] 的微分公式也可以写成 dy  f (u) du 或 dy  y u du  3. 复合函数的微分法则由此可见  无论 u 是自变量还是另一个变量的可微函数  微分形式 dy  f (u) du 保持不变  这一性质称为微分形式不变性 

例 2 )1ln( 2 x ey   求 dy 解

 例 4 y  tan 2 (1  2x 2 )  求 dy   2tan(1  2x 2 )  sec 2 (1  2x 2 )  4xdx  2tan(1  2x 2 )  sec 2 (1  2x 2 )d(1  2x 2 ) dy  d tan 2 (1  2x 2 )  2tan(1  2x 2 ) d tan(1  2x 2 ) 应用微分法则  得解  8x  tan(1  2x 2 )  sec 2 (1  2x 2 )dx 

三、微分在近似计算中的应用当很小时, 使用原则 : 得近似等式 :

特别当很小时, 常用近似公式 : 很小 ) 证明令得

的近似值. 解设取则例 5 求

的近似值. 解例 6. 计算