一、可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程. 解法 为微分方程的解. 分离变量法 §2 一阶常微分方程

例 1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分

通解为 解

解 由题设条件 衰变规律

例 4例 4 有高为 1 米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为 1 平方厘米 ( 如图 ). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度 h( 水面与孔口中心间的距离 ) 随时 间 t 的变化规律. 解 由力学知识得, 水从孔口流 出的流量为 流量系数孔口截面面积 重力加速度

设在微小的时间间隔 水面的高度由 h 降至, 比较 (1) 和 (2) 得 :

即为未知函数的微分方程. 可分离变量 所求规律为

解 例5例5 某车间体积为 立方米, 开始时空气中 含有 的, 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒 2000 立方米的鼓风机 通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动 6 分 钟后, 车间内 的百分比降低到多少 ? 设鼓风机开动后 时刻 的含量为 在 内, 的通入量 的排出量

的通入量 的排出量的改变量 6 分钟后, 车间内 的百分比降低到

一阶线性微分方程的标准形式 : 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 二、一阶线性常微分方程 例如 线性的 ; 非线性的.

齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 ( 使用分离变量法 )

2. 线性非齐次方程 讨论 两边积分 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比 :

常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质 : 未知函数的变量代换. 作变换

积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为 : 对应齐次 方程通解 非齐次方程特解

解 例1例1

例 2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段 PQ 之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线. 两边求导得 解 解此微分方程

所求曲线为

伯努利 (Bernoulli) 方程的标准形式 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 二、伯努利方程 解法 : 需经过变量代换化为线性微分方程.

求出通解后，将 代入即得 代入上式

解 例 3例 3

例 4 用适当的变量代换解下列微分方程 : 解 所求通解为

解 分离变量法得 所求通解为

解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解

一阶线性微分方程的标准形式 : 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 二、一阶线性常微分方程 例如 线性的 ; 非线性的.

齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 ( 使用分离变量法 )

2. 线性非齐次方程 讨论 两边积分 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比 :

常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质 : 未知函数的变量代换. 作变换

积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为 : 对应齐次 方程通解 非齐次方程特解

解 例1例1

例 2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段 PQ 之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线. 两边求导得 解 解此微分方程

所求曲线为

伯努利 (Bernoulli) 方程的标准形式 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 二、伯努利方程 解法 : 需经过变量代换化为线性微分方程.

求出通解后，将 代入即得 代入上式

解 例 3例 3

例 4 用适当的变量代换解下列微分方程 : 解 所求通解为

解 分离变量法得 所求通解为

解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解

三、齐次方程 的微分方程称为齐次方程. 2. 解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 1. 定义

例 1 求解微分方程 微分方程的解为 解

例 2 求解微分方程 解

微分方程的解为

例 3 抛物线的光学性质 实例 : 车灯的反射镜面 旋转抛物面 解 如图

得微分方程 由夹 角正 切公 式得

分离变量 积分得

平方化简得 抛物线

为齐次方程. （其中 h 和 k 是待定的常数） 否则为非齐次方程. 2. 解法 1. 定义

有唯一一组解. 得通解代回 未必有解, 上述方法不能用.

可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程. 可分离变量.

解 代入原方程得

分离变量法得 得原方程的通解 方程变为

例 5 求解微分方程 解 令 再令 两边积分后得 变量还原得

例 6 求解微分方程 解 令

令 令

两边同时积分得 变量还原后得通解

利用变量代换求微分方程的解 解代入原方程 原方程的通解为

四、全微分方程 1. 定义 : 则 若有全微分形式 例如 全微分方程 或恰当方程 所以是全微分方程.

2. 解法 :  应用曲线积分与路径无关. 通解为  用直接凑全微分的方法. 全微分方程

解 是全微分方程, 原方程的通解为 例1例1

解 是全微分方程, 将左端重新组合 原方程的通解为 例2例2

定义 : 问题 : 如何求方程的积分因子 ?

1. 公式法 : 求解不容易 特殊地 :

2. 观察法 : 凭观察凑微分得到 常见的全微分表达式

可选用的积分因子有 解 例3例3 则原方程为

原方程的通解为 ( 公式法 ) 可积组合法

解 将方程左端重新组合, 有 例 4 求微分方程 原方程的通解为

解 将方程左端重新组合, 有 原方程的通解为 可积组合法 例 5 求微分方程

解1解1 整理得 A 常数变易法 : B 公式法 : 例6例6

解2解2 整理得 A 用曲线积分法 : B 凑微分法 :

C 不定积分法 : 原方程的通解为