第二章 导数与微分
二、 微分的几何意义 三、微分在近似计算中的应用 一、 微分的定义 2.3 微 分
微分学所要解决的两类问题 : 函数的变化率问题 函数的增量问题微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法, 叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫 做微分学.
一、微分的概念 引例 : 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少 ? 设薄片边长为 x, 面积为 A, 则 面积的增量为 关于△ x 的 线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在当 x 在 取 得增量 时,时, 变到 边长由 其
例如，球体积函数 ，体积增量 函数增量比函数本身还要复杂. 注意到 是 的高阶无穷小，可舍去. 即 事实上 等价于
定义 1( 微分定义 ) 设函数 在点 可导，则称 为函数 在点 的微分． 注意 : 1. 在 较小时有 2. 通常, 称 为自变量 的微分, 因此
求法 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1. 基本初等函数的微分公式
2. 函数和、差、积、商的微分法则
例1例1 解:解:
例2例2 解:解:
M N T ） 几何意义 :( 如图 ) P 二、微分的几何意义
三、微分在近似计算中的应用 当 充分小时，有 即 或 或
例 3 在 附近求函数 的一次近似式, 并近似 计算. 解:解: 令 ，有 因而
类似地, 可推出一些常见的函数在 附近的一次近 例如，当 充分小时，有 似式.
例 4 求 的近似值． 解:解: 因为 令 于是,
设 ，则复合函数 的微分为 由于 ，所以上式可以写成 无论 是自变量还是另一个变量的函数, 上式保持不变. 这一性质称为一阶微分的形式不变性．
例5例5 解:解:
例6例6 解:解: